лекция 10

ЛЕКЦИЯ 10. Кручение прямых стержней круглого поперечного сечения. Определение усилий, напряжений и перемещений. Расчёты на прочность и жёсткость

Кручение – случай простой деформации, при котором в поперечных сечениях возникают только крутящие моменты, а другие внутренние силовые факторы отсутствуют. При этом в поперечных сечениях имеют место только касательные напряжения, а нормальные равны нулю: σ_x=σ_y=σ_z=τ_yz=0, τ_yx≠0.

Кручение стержня вызывается действием нагрузок, дающих моменты относительно его оси. Такие нагрузки называются скручивающими. Они могут быть сосредоточенными и распределёнными по длине стержня. Стержень, работающий на кручение, называется вал. Кручение, как основной вид деформации, характерно для элементов машиностроительных конструкций. В строительных конструкциях кручение может иметь место при пространственной работе элементов стержневых систем, что в большинстве случаев является нежелательным.

Крутящий момент (М_t) в произвольном сечении стержня равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, взятых по одну сторону от сечения, относительно продольной оси. Правило знаков для крутящих моментов принято следующее. При стремлении вращать отсеченную часть по ходу часовой стрелки «+», против хода «-». Смотреть необходимо со стороны сечения.

Примеры построения эпюр крутящих моментов (рис. 10.1).

С целью упрощения расчетов стержней круглого поперечного сечения в сопротивлении материалов приняты следующие гипотезы:

1. Все поперечные сечения круглого стержня при кручении остаются плоскими и только поворачиваются вокруг продольной оси.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и не изменяют свою длину.

3. Расстояния между поперечными сечениями не меняются.

Опираясь на изложенные гипотезы можно заключить, что при чистом кручении круглого стержня в его поперечных сечениях отсутствуют нормальные напряжения, а касательные являются функцией от внутреннего усилия τ=f(М_t) (крутящего момента) и находятся по формуле

τ=(М_t /I_ρ)ρ, (10.1)

где I_ρ – полярный момент инерции сечения, ρ – радиус вектор (расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой определяется напряжение).

Из формулы видно, что касательные напряжения в поперечном сечении меняются по линейному закону. Наибольшие значения они принимают на внешнем контуре сечения, где ρ = r.

Рис. 10.2. Распределение касательных напряжений в поперечных сечениях

Обозначим отношение полярного момента инерции к расстоянию до наиболее удаленной от центра тяжести поперечного сечения точки через полярный момент сопротивления сечения I_ρ / ρ_max = W_ρ. Тогда максимальное по модулю касательное напряжение можно найти как

/τ/_max = /М _t /_max / W_ρ. (10.2)

Условие прочности при кручении имеет следующий вид

/τ/_max =/М _t /_max / W_ρ ≤ R_s , (10.3)

где R_s – расчетное сопротивление срезу. С помощью условия прочности можно определять допустимое значение крутящего момента и размеры поперечного сечения, также выполнять проверку прочности.

Выразим геометрические характеристики поперечного сечения через диаметр. I_ρ=πd⁴/32, ρ_max=d/2, тогда полярный момент сопротивления сплошного круглого сечения можно найти как W_ρ = I_ρ /ρ_max = (πd⁴/32)/d/2 = πd³/16. Для трубчатого поперечного сечения эти выражения примут вид I_ρ = πd⁴_ext(1-α⁴)/32, ρ_max = d_ext/2, W_ρ=I_ρ/ρ_max=πd³_ext(1-α⁴)/16.

Перемещением при кручении является угол закручивания поперечного сечения. Его находят как сумму интегралов от функции внутреннего усилия, отнесенного к жесткости стержня при кручении ( - крутильная жесткость). Интегрирование ведется в пределах грузового участка.

(10.4)

Если в пределах грузового участка длиной внутреннее усилие М_t=const, то угол закручивания можно определить как .

Также различают относительный угол закручивания

. (10.5)

Расчет на жесткость производят с помощью условий жесткости, круг решаемых задач тот же, что и в расчете на прочность. Условия жесткости при кручении имеют вид:

, . (10.6)

В квадратных скобках допустимые значения углов.

Закон Гука при кручении можно записать в виде (10.7).

Примеры построения эпюр перемещений (рис. 10.4).

2