лекция 13

ЛЕКЦИЯ 13. Моменты инерции сложных сечений. Главные оси инерции и главные моменты инерции. Формулы перехода

К сложным сечениям относят сечения, состоящие из нескольких простых фигур. Для определения геометрических характеристик составных сечений используется следующий подход. Сечение разбивают на несколько простых фигур, моменты инерции которых известны. В центре тяжести каждой фигуры назначают локальную систему координат. Выбирают систему координат относительно которой будет производиться расчет. Затем все геометрические характеристики отдельных частей суммируются, а геометрические характеристики отверстий вычитаются.

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей. Сечение сложной формы (рис. 13.1) разбивается на три прямоугольника (1), (2), (3), назначаются локальные системы координат с началом в центре тяжести каждого прямоугольника. За начало отсчёта выбрана система координат yz. Ось y - проходит через левую, а ось z - через нижнюю грань составного сечения. При вычислении геометрических характеристик необходимо помнить, что статический момент площади фигуры относительно центральных осей всегда равен нулю, так же, как и центробежный момент инерции симметричного сечения.

Здесь S_z, S_y, I_z, I_y, I_zy геометрические характеристики сложного сечения, вычисленные относительно осей y и z; - статические моменты площадей простых фигур (1 - 3) относительно осей y и z; осевые и центробежные моменты инерции прямоугольников (1 - 3) относительно осей y и z; А₁, А₂, А₃ – площади прямоугольников (1 - 3); - расстояния от центров тяжести прямоугольников до осей z и y соответственно; осевые моменты инерции относительно собственных центральных осей прямоугольников (1 - 3).

Для простых сечений справедливо следующее.

Осевой момент инерции сечения относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Центробежный момент инерции сечения относительно любых взаимно перпендикулярных осей равен центробежному моменту относительно центральных осей, параллельных заданным, плюс произведение площади фигуры на координаты её центра тяжести в заданных осях.

Следует отметить, что зависимости (13.1) позволяют переходить к параллельным осям только от центральных осей.

Понятие о главных осях инерции. При повороте осей координат на 90⁰ центробежный момент инерции любой фигуры непрерывно меняется и изменяет свой знак. Это значит, что при любом положении начала координат относительно заданной фигуры всегда существует такая пара взаимно перпендикулярных осей, относительно которых центробежный момент равен нулю. Такие оси называют главными осями инерции, относительно этих осей моменты инерции принимают экстремальное значение и называются главными моментами инерции. В дальнейшем интерес будут представлять главные центральные оси, т.е. те из центральных осей координат, относительно которых центробежный момент равен нулю.

Изменение моментов инерции при повороте осей. Аналогично формулам изменения нормальных и касательных напряжений при ПНС получены зависимости для моментов инерции. Таблица величин-аналогов представлена ниже.

Таблица 13.1

Теория ПНС	σx	σy	τyx				σmax	σmin
Теория МИ	Iz	Iy	Izy				Imax	Imin

Эти зависимости (13.2) показывают, что два осевых и центробежный моменты инерции относительно произвольных взаимно перпендикулярных координатных осей определяют осевые и центробежный моменты инерции относительно других координатных осей, повёрнутых на угол α.

Главные моменты инерции определяют, как

Положение главных осей инерции можно найти с помощью формулы

Сумма осевых моментов инерции при повороте взаимно перпендикулярных осей остаётся постоянной

2