1151

В сечении С поперечная сила равна нулю. Найдем координату z2С сечения С.

0 40 40 z2С z2С 1м .

Вычислим значения Q и М в сечениях К1, В и С:

QK1 Q( 0 ) 40 кН ; QB Q( 2 ) 40 кН ;

M K1 M( 0 ) 80 кН м ; M С M( z2c ) 60 кН м ; M B M( 2 ) 80 кН м .

По найденным значениям на 2-м участке строим эпюры Q (рис.5e) и M (рис.5f и 5g).

Участок К2-В

Составим уравнения равновесия правой отсеченной части (рис.5d):

Fy 0;	40 Q 0 ;		Q 40 кН ;
Ms 0;	40 z3 M 0 ;		M 40 z3 , где 0 z3 2м .
Вычислим значения М в сечениях К2 и В:
M К 2 М( 0 ) 0 ;	M В М( 2 ) 80 кН м .

По найденным значениям на 3-м участке строим эпюры Q (рис.5е) и M (рис.5f и 5g).

2.3. Расчет необходимого по прочности двутавра

Из эпюры изгибающих моментов (рис.5f или рис.5g) находим максимальный

момент

М

мах

М

В

М

К 1

80 103 Н м .

Момент сопротивления, определяемый из условия прочности по максимальным

нормальным напряжениям (5), равен

W

М

max

80000

400 10 6 м 3

400 см 3 .

x

200 10

6

По таблице ГОСТ 8239—89 [1] выбираем двутавр № 30 с моментом сопротивления Wx 472 см 3 , моментом инерции Jx = 7080 см4 и площадью Адв = 46,5 см2.

Найдем максимальное напряжение, соответствующее выбранному профилю:

	мах						max		80000			Нм 169 106 Па 169МПа .
					М
					Wx					472 10 6		м3
Вычислим недогрузку		max
									100%		200 169		100% 15,5% .
												200
												11

2.4. Определение перемещений

Расчет вертикального перемещения сечения К1.

Для определения вертикального перемещения сечения К1 следует приложить вертикальную единичную силу в сечении К1 (рис.6а). Найдем реакции опор из уравнений равновесия балки (рис.6b):

M A 0; RB1 4 1 2 0 RB1 0,5 ;

Fy 0; RA1 1 RB1 0 RA1 0,5 .

y	1
		B
A			K2
	K1 2м
2м			2м

RA1	1		RB1
		B
A			K2
	K1
0,5	1		0,5
A		B	K2
	K1
0,5	_

M1

A s _ z1 Q1

0,5	1			_
A	K1		s	_M1
				Q1
	2м	z2
				_
				M1
				_	s	K2
				Q1		z3
_
M1	1
						z

z

	_	1
	M1

	y			1
			B
a)	A			K2	i)
		K1 2м
	2м			2м

		RA1			RB1		1
b)	A			B			K2	j)
		0,25			0,25		1
c)	A			B			K2	k)
	0,25		_
d)	A		M2					l)
		s	_
		z1		_
			Q2				1
				M2
					_	s	K2	m)
					Q2
		_					z2
e)
		M2		0,75
							z	n)
		0,25	0,5	1			1
f)
					1		1
			0,5
		0,25
							z	o)
		_		0,75
g)		M2
h)

Рис.6. К определению перемещения сечения К1 и угла поворота сечения К2

12

Изобразим найденные реакции на схеме (рис.6c). Сделаем проверку:

M К2 0,5 6 1 4 0,5 2 0.

Полученное тождество показывает, что реакции вычислены правильно.

Далее, используя метод сечений, строим эпюру изгибающего момента М 1 . Делаем

сечение на участке АК1 и составляем уравнение равновесия моментов для левой отсеченной части (рис.6d):

M s 0; 0,5 z1 M 1 0 M 1 0,5 z1 .

Вычислим значения момента при z1 = 0 и z1 = 2: M 1 ( 0 ) 0; M 1 ( 2 ) 1.

Затем делаем сечение на участке К1В и рассматриваем левую отсеченную часть (рис.6е). Уравнение равновесия моментов:

M s 0; 0,5 2 z2 1 z2

1 0 ;

1

0,5 2 z2 1 z2 .

M

M

В сечении К1 при z2 0

1 1,0 , в сечении В при z2 2м M 1 0 .

M

Делаем сечение на участке ВК2

(рис.6f) и, составив уравнение

равновесия

моментов для правой отсеченной части, видим, что на этом участке

M

1 0.

По найденным значениям строим эпюру М 1

(рис.6g — для

инженеров-

транспортников и рис.6h — для инженеров - строителей).

Вертикальное перемещение сечения К1 определяется с помощью интегралов Мора, а сами интегралы вычисляем по правилу Симпсона, рассматривая последовательно

участки АК1, К1В, ВК2.	При вычислении учитываем,	что модуль	упругости	равен
Е = 2 1011 Па, момент	инерции выбранного двутавра	равен Jx =	7080 10-8	см4 и

изгибающий момент М переводим из килоньютонов, умноженных на метр, в ньютоны, умноженные на метр:

								M						10 3 2 0 4 40 0,5 80 1
						Кверт1			M	1		dz
								EJ x								6		2 1011			7080 10 8
							l
	10 3 2 80 1 4 60 0,5 80 0																	10 3 2 0 0 0											0,0094 м 0,94 мм.
						6 2 1011	7080 10 8											2 1011 7080							10 8
																6
Проверим правильность вычислений, применив метод Верещагина.
Площадь эпюры М на участке АК1 равна 1																						0,5 80 2 80 кН м2 ; ордината из
				1 под центром тяжести площади 1																			1С	2	1			2
эпюры		М																равна				M										м .
																					3							3
На участке К1В эпюру моментов М рассматриваем как разность прямоугольника и
"горбушки".						Площадь прямоугольника равна														2	80 2 160 кН м2 ;															ордината из
																			2								1С					1	1	1
эпюры М 1						под центром		тяжести					площади									равна				M										м ; площадь
																																2		2

13

	горбушки равна							2		20 2 26 ,667 кН м												2 ; ордината из эпюры				под центром
					3																			М	1
							3
	тяжести площади 3					равна							1С	1		1		1	м .
												M
											2					2
	Вычисляем перемещение способом Верещагина
			3				2									1					1
	10			80							160						26 ,667
	верт						3									2					2		0,94 10 3 м 0,94 мм .
	К 1						2 1011 7080									10 8

Как видим, результаты вычисления интегралов Мора, полученные с помощью метода Верещагина и через формулу Симпсона, одинаковы. Знак "минус" перед перемещением свидетельствует о том, что сечение К1 перемещается вверх, в сторону, противоположную направлению единичной силы.

Расчет угла поворота сечения К2.

Для определения угла поворота сечения К2 следует приложить единичный момент в сечении К2, (рис.6i), и построить эпюру изгибающих моментов М 2 , возникающих в

балке при таком нагружении.

Найдем реакции из уравнений равновесия балки (рис.6j):

M A 0; RB2				1
	4 1 0			RB2 0,25			,
				м
Fy 0; RA2						1
	RB2 0			RA2 0,25				.
						м
Изобразим найденные реакции опор на схеме (рис.6k). Для проверки найдем сумму
моментов относительно точки	К2: M К		2	0,25 6 0,25 2 1 0.					Следовательно,
реакции вычислены верно. Далее строим эпюру изгибающего момента									M 2 , используя
метод сечений.
Делаем сечение на участке АВ и рассматриваем левую отсеченную часть (рис.6l).

Из уравнения равновесия моментов получим

2 0,25 z1 . Затем вычисляем моменты

M

в сечениях А и В: в сечении А при z1 0

2 0 ,

т.е.

A 0 ; в сечении В при z1

4м

M

M

2 0,25 4 1,0 .

M

Делаем сечение на 2-м участке

и рассматриваем правую

отсеченную

часть

(рис.6m). Составим уравнение равновесия моментов

Ms 0;

1

2 0 ;

2 1.

M

M

По найденным значениям

строим эпюру

М 2

(рис.6n —

для инженеров -

транспортников и рис.6o — для инженеров - строителей). Затем вычислим угол поворотаК 2 сечения К2, используя правило Симпсона для вычисления интегралов Мора:

14

				M					10 3 2 0 4 40 0,25 80 0,5
		к 2			M	2	dz
				EJ x					6			2 1011 7080 10 8
			l
	10 3	2 80 0,5	4 60 0,75					80 1				10		3 2 80 1 4 40 1 0 1					0,0108 рад.
		6 2 1011	7080 10 8											6 2 1011 7080 10 8

2.5. Подбор квадратного, прямоугольного, круглого и кольцевого сечений

Итак, в разделе 2.3 из условия прочности мы получили необходимую величину момента сопротивления сечения Wx 400 см 3 .

Для прямоугольного сечения, у которого h = 1,5b, момент сопротивления изгибу равен Wx = bh2/6 = b(1,5b)2/6 = 400.

Отсюда находим b 3 6 400 = 10,22 см, h = 1,5b = 15,33 см.

1,5 2

Площадь прямоугольного сечения равна Апр = bh = 156,7 см2.

В случае квадратного сечения, у которого h = b = а, момент сопротивления изгибу равен Wx = аа2/6 = а3/6 = 400.

Отсюда находим а 36 400 = 13,39 см.

Площадь квадратного сечения равна Акв = а2 = 179,3 см2.

Для кольцевого сечения, у которого D = 1,5d, момент сопротивления изгибу равен

Wx = ( /32)D3[1-(d/D)4] = ( /32)D3[1-(1/1,5)4] = 400.

32 400

Отсюда находим D 3 [ 1 1 / 1,5 4 ] = 17,19 см, d = D/1,5 = 11,46 см.

Площадь кольцевого сечения равна

Атр = ( /4)D2[1-(d/D)2] = ( /4)17,192[1-(1/1,5)2] = 128,9 см2.

Для сплошного круглого сечения момент сопротивления равен Wx = ( /32)D3 = 400.

	Отсюда находим D 3		32 400		= 15,97 см.

Площадь круглого сечения равна

Акр = ( /4)D2= ( /4)15,972 = 200,4 см2.

Так как объем материала, который необходимо затратить на изготовление балки, прямо пропорционален площади ее поперечного сечения, то и масса балки оказывается пропорциональной площади поперечного сечения. Поэтому относительную массу балки при разных вариантах поперечного сечения можно оценить по отношению площадей

15

поперечных сечений, рассчитанных по условию равной прочности. Сравнение площадей поперечных сечений разной формы, с площадью равнопрочного двутавра, проведено в таблице.

	Форма сечения	Круг	Квадрат	Прямоугольник	Кольцо	Двутавр
	Площадь	200,4	179,3	156,7	128,9	46,5
	сечения А, см2
	Отношение	4,31	3,86	3,37	2,77	1
	площадей А Адв

Как видим, рассчитываемая балка будет иметь наименьшую массу, если ее

изготовить из двутаврового профиля. Балка, имеющая сплошное круглое поперечное сечение, будет самой массивной из рассмотренных пяти вариантов. Она оказалась в 4,31 раза тяжелее, чем двутавровая. Двутавровое сечение наиболее рационально при изгибе.

3. РАСЧЕТ РАМЫ

Для рамы, нагруженной сосредоточенным моментом 20 кНм, сосредоточенной силой 32 кН и погонной нагрузкой 8кН м (рис.7), требуется:

1)определить реакции опор и сделать проверку;

2)построить эпюры внутренних силовых факторов;

3)из расчета на прочность по максимальным нормальным напряжениям подобрать

номер двутаврового профиля, из которого следует изготовить раму, приняв допускаемое напряжение 160 МПа (или расчетное сопротивление R 160 МПа );

4)с помощью интегралов Мора найти вертикальное и горизонтальное

перемещение сечения А и угол поворота	сечения В, приняв модуль упругости
Е 200ГПа .
3 м	4 м
20 кНм
C	32 кН
A	B

8 кН/м

D

Рис.7. Расчетная схема рамы

16

3.1. Определение реакций опор

Найдем реакции HD, VD и VB (рис.8) из уравнений равновесия рамы.

M D 0; VB 4 8 6 3 20 32 6 0 VB 7 кН ,Fx 0; H D 8 6 32 0 H D 16 кН ,

Fy 0; VD VB 0 VD VB 7 кН .

Сделаем проверку, вычислив сумму моментов относительно произвольной точки, например, относительно точки С:

M С VB 4 8 6 3 20 H D 6 7 4 8 6 3 20 16 6 0 .

Следовательно, реакции опор найдены правильно.

3 м		4 м		3 м		4 м
20 кНм			20 кНм
		32 кН	A	III			z2	32 кН
	C				C
A		B		z3		II		B
		VB						7 кН
		8 кН/м				8 кН/м
					I
	D				D	16 кН
HD
				7 кН
		VD

Рис.8. К определению реакций опор

Рис.9. К расчету N, M, Q

3.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов от заданных нагрузок

Для расчета эпюр нормальной силы N, поперечной силы Q и изгибающего момента M используем метод сечений.

На участке CD рассечем раму сечением I (рис.9). Нормальная сила в этом сечении равна сумме проекций на направление CD всех сил, приложенных ниже сечения, то есть

N = 7 кН.

Поперечная сила в сечении I равна сумме проекций на перпендикуляр к CD всех сил, приложенных ниже сечения, то есть

Q = -16 + 8z1.

17

Тогда получим следующие значения поперечной силы на границах участка:

Q(0) = -16 кН, Q(6) = 32 кН.

Изгибающий момент в сечении I равен сумме моментов относительно центральной оси этого сечения всех сил, приложенных ниже сечения, то есть

М = -16z1 + 8(z1)2/2.

Экстремум момента достигается в том сечении, где Q = 0, то есть при z1 = 2. Величина момента в этом сечении равна М(2) = -16 кНм. Значения момента на границах и в середине участка равны

М(0) = 0; М(3) = -12 кНм; М(6) = 48 кНм.

Рассчитанные таким образом на участке CD эпюры N, Q, M показаны на рис. 10 и 11.

	32
C	A	C	B
A	B
			2
	32
N	Q
[кН]	[кН]
7			16
	D
		D

Рис. 10. Эпюры нормальных сил N и поперечных сил Q

На участке CВ рассечем раму сечением II (рис.9). Нормальная сила в этом сечении равна сумме проекций на направление CB всех сил, приложенных справа от сечения, то есть

N = 32 кН.

Поперечная сила в сечении II равна взятой с обратным знаком сумме проекций на перпендикуляр к CB всех сил, приложенных справа от сечения, то есть

Q = -7 кН.

Изгибающий момент в сечении II равен взятой с обратным знаком сумме моментов относительно центральной оси этого сечения всех сил, приложенных справа от сечения, то есть

М = - (- 7z2) = 7z2.

18

Значения момента на границах и в середине участка равны

М(0) = 0; М(2) = 14 кНм; М(4) = 28 кНм.

Рассчитанные таким образом на участке CВ эпюры N, Q, M показаны на рис. 10 и 11.

На участке АC рассечем раму сечением III (рис.9). Так как слева от сечения III нет внешних сил, то и нормальная и поперечная силы в этом сечении равны нулю:

N = Q = 0.

A	48	28
	20	C	14	B
	M		12
[кН . м]			16
	а)	D

20		C	48
A	28		14	B
M	12
[кН . м]		16
б)		D

Рис. 11. Эпюры изгибающих моментов М:

а - на сжатом волокне; б - на растянутом волокне

Изгибающий момент в сечении III равен сумме моментов относительно центральной оси этого сечения всех сил, приложенных слева от сечения, то есть

М = - 20 кНм.

Рассчитанные таким образом на участке АВ эпюры N, Q, M показаны на рис. 10 и 11.

3.3. Расчет необходимого по прочности двутавра

Из эпюры изгибающих моментов (рис.11) находим максимальный момент

М max = 48 кНм = 48000 Нм.

Момент сопротивления, определяемый из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям (5), равен

W				М	max		48000		300	10 6	м 3 300 см 3 .
	x						160 10	6

По таблице ГОСТ 8239—89 [1] выбираем двутавр № 27 с моментом сопротивления Wx 371 см 3 , моментом инерции Jx = 5010 см4.

Найдем максимальное напряжение, соответствующее выбранному профилю:

19

	мах						max		48000	Нм 129 106 Па 129 МПа .
					М
					Wx				371 10 6	м3

Вычислим недогрузку

	max 100%	160 129	100% 19% .
		160

3.4. Определение перемещений

Расчет горизонтального перемещения сечения А Для определения горизонтального перемещения сечения А следует приложить

горизонтальную единичную силу в этом сечении (рис.12) и построить эпюру моментов М 1 от такой силы.

1	A	6		B	1	A	C	6
										B
		C	3
							6
									3
				1,5
										1,5
									4 м
		3	4 м				3
		D	_						_
			M1					D	M1
		1
						б)	1
	а)	1,5						1,5

Рис.12. Эпюры моментов М 1 от горизонтальной единичной силы: а - на сжатом волокне; б - на растянутом волокне

Реакции опор найдем из уравнений равновесия рамы, подобно тому, как это делалось в разделе 3.1 (рис.12):

M D 0; VB 4 1 6 0 VB 1,5 ;

Fx 0; H 1 0 H 1;

Fy 0; VD VB 0 VD 1,5 .

Далее, используя метод сечений так же, как это делалось в разделе 3.2, строим эпюру изгибающего момента М 1 (рис.12).

Горизонтальное перемещение сечения А определяется с помощью интегралов Мора, а сами интегралы вычисляем по правилу Симпсона, рассматривая последовательно участки СD и CB. При вычислении используем рисунки 11 и 12, а также учитываем, что модуль упругости равен Е = 2 1011 Па, момент инерции выбранного двутавра равен Jx = 5010 10-8 см4 и изгибающий момент М переводим из килоньютонов, умноженных на метр, в ньютоны, умноженные на метр:

20