МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РФ

ДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВ И УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

Самарская государственная академия

Путей сообщения

Кафедра "Строительные конструкции и материалы"

Сопротивление материалов

Статически определимые балки и рамы. Расчеты на прочность и жесткость

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы

для студентов дневной формы обучения

Составители: Е.А.Жичкин

Е.С. Жичкина

Самара 2003

УДК 620.10

Сопротивление материалов. Статически определимые балки и рамы. Расчеты на прочность и жесткость. Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов дневной формы обучения. - Самара: СамГАПС, 2003. – 24 с.

Утверждено на заседании кафедры. Протокол № 3 от 13 марта 2003 г.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы составлены в соответствии с программой курса "Сопротивление материалов" для студентов специальностей С, МТ, Л, ЭТ и В дневной формы обучения.

Составители: Евгений Александрович Жичкин, к.т.н., доцент

Елена Сергеевна Жичкина, к.т.н., доцент

Рецензенты: Сеськин И.Е., профессор СамГАПС, канд. техн. наук,

Любимов В.В., доцент кафедры "Теоретическая механика" СГАУ,

канд. физ.-мат. наук

Редактор И.А.Шимина

Компьютерная верстка: А.В.Эрлих

Подписано в печать 19.03.2003 Формат 60х84 1/16

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 1,5

Тираж 250 экз. Заказ № 32

© Самарская государственная академия путей сообщения, 2003

Содержание

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ 4

2. РАСЧЕТ БАЛКИ 8

2.1. Определение реакций опор 8

2.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов от заданных нагрузок 9

2.3. Расчет необходимого по прочности двутавра 11

2.4. Определение перемещений 11

2.5. Подбор квадратного, прямоугольного, круглого и кольцевого сечений 14

3. РАСЧЕТ РАМЫ 15

3.1. Определение реакций опор 16

3.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов от заданных нагрузок 17

3.3. Расчет необходимого по прочности двутавра 19

3.4. Определение перемещений 20

БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 23

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ

П ри изгибе в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q (рис. 1). Эти силовые факторы вычисляют при помощи метода сечений. При этом изгибающий момент М считается положительным, когда на левом торце правой отсеченной части бруса он направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой отсеченной части — против часовой стрелки. Поперечная сила Q положительна, когда на левом торце правой отсеченной части бруса она направлена вверх, а на правом торце левой отсеченной части — вниз (рис. 1).

Рис. 1. Внутренние силовые факторы, возникающие

в поперечном сечении бруса при изгибе

В произвольном сечении бруса, имеющем координату z, поперечная сила Q и изгибающий момент М являются функциями координаты z, т. е. Q = Q(z) и M = M(z). В конкретных задачах сопротивления материалов функции Q(z) и M(z) рассчитывают по следующим правилам [2].

Изгибающий момент М, действующий в поперечном сечении бруса, по величине и знаку равен сумме моментов относительно центральной оси этого сечения всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, или сумме моментов (относительно той же оси), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части:

; (1)

при этом моменты внешних сил должны быть приняты положительными, когда они действуют по часовой стрелке.

Поперечная сила Q по величине и знаку равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, на нормаль к его продольной оси, проведенной в рассматриваемом поперечном сечении, или сумме проекций (на ту же нормаль), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части бруса:

; (2)

при этом проекции внешних сил на нормаль должны быть приняты положительными, когда они направлены снизу вверх.

Продольная сила N по величине и знаку равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных к левой части бруса, на его продольную ось, или сумме проекций (на ту же ось), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к правой части бруса:

; (3)

при этом проекции внешних сил на ось бруса приняты положительными, когда они направлены справа налево.

Графики зависимостей Q = Q(z) и M = M(z), называемые эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов, строятся для выявления наиболее опасных сечений, в которых сила Q и/или момент М имеют наибольшие абсолютные значения. При построении эпюр моментов традиционно инженеры-машиностроители и инженеры-транспортники откладывают положительные значения моментов вверх от оси бруса, в этом случае ординаты эпюры моментов располагаются со стороны сжатого волокна. Инженеры-строители откладывают положительные значения моментов вниз от оси бруса, в этом случае ординаты эпюры моментов располагаются со стороны растянутого волокна.

При изгибе в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения , которые распределяются по сечению неравномерно. Например, при изгибе бруса двутаврового поперечного сечения эпюра напряжений будет иметь вид, показанный на рис.2.

В случае, когда изгибающий момент М действует в плоскости симметрии сечения (или когда плоскость момента проходит через главную ось сечения), максимальное по абсолютной величине напряжение рассчитывается по формуле

, (4)

где _max — максимальное напряжение в сечении в Па,

W _и — момент сопротивления изгибу в м³.

Рис.2. Распределение нормальных напряжений в сечении двутавра

Момент сопротивления изгибу W_и — это геометрическая характеристика сечения. Для стандартных прокатных профилей геометрические характеристики даются в специальных таблицах, которые можно найти в приложениях к учебникам по сопротивлению материалов [1,2].

Для сечений простой формы моменты сопротивления изгибу вычисляются по формулам:

для трубы ,

где d и D — внутренний и наружный диаметры трубы соответственно;

для прямоугольного сечения ,

где — момент сопротивления изгибу относительно оси х,

b — размер прямоугольного сечения, параллельный оси х,

h — размер прямоугольного сечения, перпендикулярный оси х.

Подбор размеров поперечного сечения осуществляется из условия прочности.

, или , (5)

где — допускаемое напряжение;

R — расчетное сопротивление.

Перемещения, возникающие в стержневой системе, вычисляются при помощи интеграла Мора:

,

где — перемещение сечения А в заданном направлении,

— изгибающий момент от заданной нагрузки,

— изгибающий момент от единичного фиктивного силового фактора, приложенного в сечении А в направлении искомого перемещения,

— модуль Юнга,

— момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной к плоскости

действия изгибающего момента.

Если на некотором участке функция — линейная функция z и жесткость EJ постоянна, то интеграл Мора может быть вычислен методом Верещагина по формуле

, (6)

где — площадь эпюры нагрузочных моментов ,

— ордината эпюры моментов , находящаяся под центром тяжести C эпюры нагрузочных моментов .

Для простейших эпюр моментов значения площадей и координат центров тяжести даны в таблице 1.

Если эпюра не является простейшей, то ее следует расщепить, т.е. представить в виде совокупности простейших эпюр.

Интеграл Мора можно вычислить и по формуле Симпсона. Применение формулы Симпсона для определения перемещений дает точные результаты, если в интеграле Мора функция является линейной или квадратичной функцией z, а — линейной функцией и жесткость EJ постоянна.

Формула Симпсона для вычисления интеграла Мора на некотором участке имеет вид:

, (7)

где , — величины моментов и в начале участка,

, — величины моментов и в середине участка,

, — величины моментов и в конце участка.

Таблица 1

Площади и координаты центров тяжести эпюр

№	Тип эпюры	Эпюра	Площадь эпюры	Координата ц.т. эпюры
1	прямоугольник
2	прямоугольный треугольник
3	криволинейный треугольник
4	половина "горбушки"
5	"горбушка"
	Высота h "горбушки" вычисляется по формуле h=qL^2/8

Метод Верещагина и формула Симпсона дают один и тот же результат. В случае, если эпюры простые, предпочтительней применение метода Верещагина. Если же приходится расщеплять эпюру, то лучше применять интеграл Симпсона.