2565

4. Событие D (среди трех шаров два белых и один черный, красные шары отсутствуют). Общее число вариантов реализации события D является совмещение (одновременное наступление) трех простейших событий, поэтому

·	·	·	·	, (	!	!	).
					!· !	!·

Р(D) = /n = 270/1140≈0,237.

Пример 2. Работниками супермаркета установлено, что в среднем каждые три из десяти посетителей совершают какую - либо покупку. Найти вероятность того, что из трех вошедших в супермаркет посетителей: а) два совершают покупки; б) все три совершают покупки; в) ни один не совершит покупки; г) по крайней мере, два совершат покупки; д) хотя бы один купит товар.

Решение: Обозначим события: А = {из трех посетителей, два совершат покупки}; B = {все три посетителя совершат покупки}; С = {ни один не совершит покупку}; D = {пo крайней мере, из трех два совершат покупки}; Е {хотя бы один купит товар}.

Введем в рассмотрение следующие независимые (элементарные) события: Ai = {i- ый посетитель совершит покупку}; i = {i -ый посетитель не совершит покупку}; где i

=1,2,3.

1.Событие А (любые два из трех посетителей могут приобрести товар, а третий

-нет). Модель ситуации: А = А1А2А3 + А1А2А3+ А1А2А3.

По условию задачи Р(Аi) = 0,3, тогда вероятности противоположных событий

Р(Аi) = 1-Р(Аi) = 0,7.

Р(А) = Р(А1А2А3 + А1А2А3+ А1А2А3)=Р(А1А2А3) + Р(А1А2А3) + Р(А1А2А3) = = 0,3 · 0,3 · 0,7 + 0,3 · 0,7 · 0,3 + 0,7 · 0,3 · 0,3 = (0,3)2 · 0,7 · 3 = 0,189 .

2. Событие В (покупки совершили и первый, и второй, и третий посетители - совмещение элементарных событий А).

Модель ситуации: В = А1А2А3.

Р(В) = Р(А1А2А3) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) = (0,3)3 =0,027.

3.Событие С. C=А1А2А3; P(C)=0,73=0,343.

4.Событие D (покупки совершат любые два покупателя из трех, или все трое). D = A + В, где события А и В рассмотрены выше.

P(D) = Р(А + В)= Р(А) + Р(В) = 0,189 + 0,027 = 0,216.

5.Событие Е (покупки совершат: или один из трех посетителей, или два из трех, или все трое).

E= А1А2А3 + А1А2А3+ А1А2А3+A+B.

Проще использовать противоположный процесс ={ни один из трёх не купит товар}

А1А2А3 ; Р( )= P(C)=0,73=0,343; Р(Е) = 1-Р( ) = 1-0,343=0,657.

21

Пример 3 .Экзаменационный билет по теории вероятностей и математической статистике содержит два вопроса и задачу. Вероятность того, что студент ответит на каждый из вопросов билета равна 0,9, решит задачу - 0,8. Найти вероятность того, что студент успешно сдаст экзамен, если для этого необходимо: а) ответить на оба вопроса и решить задачу (событие А); б) ответить хотя бы на один вопрос и при этом решить задачу (событие В).

Решение: Введем дополнительные события: А1, А2 - студент ответит соответственно на первый и второй вопросы, А3 - студент решит задачу экзаменационного билета; А , А , А - противоположные события.

По условию задачи Р(А1) = Р(А2) = 0,9; Р(А3) = 0,8. Вероятность противоположных событий соответственно составят: Р(А1) = Р(А2) = 1 - 0,9 = 0,1.

Р(А3) = 1-0,8 = 0,2.

1.Событие А - «студент ответит на оба вопроса и решит задачу». А = А1А2А3;

Р(А) = P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0,9 · 0,9 · 0,8 = 0,648.

2.Событие В - «студент ответит хотя бы на один вопрос и при этом решит

задачу».

В = А1А2А3+ А1А2А3+ A1A2A3;

P(B) = P(А1А2А3)+P(А1А2А3)+P(A) = 0,9 · 0,1 · 0,8+0,648= 0,792.

Пример 4. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго - 35%, с третьего - 45% деталей. Первый автомат дает в среднем 2% брака, второй -3% брака, третий -15%. Найти вероятность того, что поступавшая на сборку деталь бракованная.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в том, что поступившая на сборку деталь бракованная. Введем три гипотезы: Нi - деталь изготовлена на i - ом автомате (i=1,2,3). Вероятность гипотез по условию задачи Р(Н1)=0,2; Р(Н2)=0,35; Р(Н3)=0,45. Условные вероятности поступления бракованной детали на сборку: РН1(А) =

0,02

РН2(А) = 0,03, РН3 (А) = 0,015.

По формуле полной вероятности имеем

Р(А) = ∑

·

= 0,2 · 0,02 + 0,35 · 0,03 + 0,45 ·0,015 0,021,

Пример 5. Расследуются причины аварии на железнодорожном транспорте, о которой были высказаны четыре предположения (гипотезы) Н1 , Н2 , Н3 , Н4. По данным статистики вероятности гипотез Р(Н1)=0,2; Р(Н2)=0,4; Р(Н3)=0,3; Р(Н4)=0,1. В ходе расследования обнаружено, что произошло разрушение рельсового пути ( событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистики, равны: РН1(А) = 0,9 , РН2(А) = 0, Р Н3 (А) = 0,2, РН4(А) = 0, 3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

22

Решение: Событие А наступило и необходимо установить вероятности всех четырех предположений (гипотез) реализации этого события, чтобы выделить наиболее вероятную причину аварии.

Используем формулу вероятности гипотез Байеса. Полная вероятность события А

Р(А) = ∑

·

= 0,2 · 0,9 + 0,4 · 0 + 0,3 ·0,2+ 0,1 · 0,3 0,027.

Вероятности гипотез после того, как событие А наступило:

·

=

=	,	,	·	,	0,667;
=	,	,	·	,	0;
=	,	,·		,	0,222;
=	,,		·		0,111.

0,667 0 0,222 0,111 1.

Вывод. Вероятнее всего разрушение рельсового пути произошло в результате реализации первого предположения (гипотезы Н1).

Пример 6. Бланк программированного опроса по одному из разделов учебной дисциплины состоит из 5 вопросов. На каждый вопрос даны четыре ответа, среди у которых один правильный. Какова вероятность, что методом угадывания студенту удается выбрать: а) три правильных ответа (событие А1); б) не менее четырех

правильных ответов (событие А2)

опроса

соответствуют схеме Бернулли: n=5,

Решение. Условия

проведения

Р(А)=р=1/4 - вероятность выбрать правильный ответ случайным образом,

P( ) = q = 1--p = 3/4; Рn(т) =

.

а) Событие А1(т=3).

!

Р(А1)=Р5 (3)=

или 4 или 5 правильных ответов).

б) Событие А2 (студенту удастся! !

выбрать

0.088.

Р(А2)=Р5 (4)+Р5 (5)=

!

!

!

0.016.

Ответ: Р(А1)

0.088

;

Р(А2)

0.016.

! !

!

Пример 7.

изделий,

прошедших предварительную

Предприятие отправило 1000

проверку. Вероятность повреждения изделия в пути, как показал опыт, можно принять равной 0,001. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено: а) одно изделие (событие А1); б) три изделия (событие А2); в) не более трех изделий (событие А3); г) не менее трех изделий (событие А4).

Решение. Имеем: n=1000,p=0,001 q=1-p=0,999.

23

Так как p < 0,1 и nр=1<10 применим формулу Пуассона для маловероятных событий:

a)P(А1) = P!1000(m = 1)

1,

2,718.

, где

0,368;

б) Р(А2) = Р1000(т = 3)!

0

,061;

!

в) Р(А3) = Р1000(0 т

3)

0

1

2

3

!

,981;

!

!

Р(А4) =!

г)

Р(3<т

1000) = 1 - Р(А3)

01-0,981 0,019.

Ответ: P(А1)

0,368; P(А2)

0,061; P(А3)

0,981; P(А4)

0,019.

Пример 8. Автобусный парк насчитывает 80 машин. Вероятность выхода на линию, как показал опыт, можно принять равной 0,9. Для нормальной работы автопарка необходимо иметь исправными не менее 70 машин. Найти вероятность выхода на линию: а) ровно 70 машин (событие А1); б) не менее 70 машин (событие А2).

Решение. а) Событие А1: n=80, m=70, p=0,9, q=1-p=0,1, np=72>10. Используем

асимптотическую формулу Муавра - Лапласа:
											, где														· .
По	таблице√								значений функции√														√		· .(см· . . ,					0.745.				находим				(-0,745)=
																									1			приложение 1)
(0,745)	0,3022.														70														0,3022		0.113.
							2						80.							√80·0,9·0,1
									Ф		т		Ф			, где																		· .
б) Событие А : 70															Используем интегральную функцию Лапласа:
0.745,	,											· .				2,98.									70,					80,		√				√	· . · .
		√								√	· . · .												(см. приложение 2) находим
По таблице значений функции Ф
Р(А2) = Р80							0,745						Ф	0,745										0,2719;				Ф		= Ф	2,98			0,4986.
Ф	= Ф																		0,2719							0
Ответ:						(70,80)					0,49862)					0											,770.
							0.113,						Р(А				,770.
Пример 9. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
																								0при					0,
																									при
																									при0					2,
Требуется: 1) установить закон																		плотности вероятности f(х); 2) построить графики
																				8				1					2.

функций F(x) и f (x); 3) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение НСВХ; 4) найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключение в интервале (1,2).

Решение.

1) Установим закон плотности вероятности, используя формулу f(х) = F'(x):

если х 0	f(х)= 0;
если 0 < х 2	f(x)=(x3/8)`=3x2/8;

24

	если х > 4						f(х) = 0.																								,		при				0,			2,
	Функция плотности вероятности принимает вид:																																при0
																														0,при
	2) Задав ряд значений аргумента х, строим графики функций																												F(x) и f(х).								2.
																													1,
	X		0		1				3/2				2					X		0					1						3/2						2
	F(x)		0		1/8				27/64				1					F(х)		0					3/8						27/32						3/2
	3) математическое ожидание:
					∞								3				3						3					3			2		0					3
Дисперсия					∞
		:										8					8						8 4					32									2.
			∞									3								3			3						9				3			2	0			9
			∞
				96			9		6					8							2				8		5			4				40							4
				40			4		40		отклонение:
	Среднее квадратическое											0,15.

0,15 0,387.

4) Вероятность того, что случайная величина Х попадает в интервал (1, 2) находим, используя формулу:

		3		3				1	2	.		7
1	2						1			1				0,875.
Ответ: M(X)=1,5; D(X)=0,15;		8	0,387;							2	0,875.
			8		3		8				8

Пример 10.

Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества изготовляемых изделий контролер берет из партии не более 4 деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Написать закон распределения числа изделий, проверяемых в каждой партии. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение.

Случайная величина X может принимать значения 1, 2, 3, 4. Она примет значение х1=1, если первое проверяемое изделие окажется нестандартным. Вероятность такого исхода испытания Р(Х= х1 = 1) = 0,1.

Проверка партии ограничивается двумя изделиями, если первое окажется, стандартным, а второе нестандартным. Р(Х = х2 = 2) = 0,9 · 0,1 = 0,09 (используется теорема вероятности произведения двух несовместных событий).

25

Проверяются последовательно три изделия, если первые два окажется стандартными, а другое нестандартным. Р(Х= х2 = 3) = 0,9 · 0,9 · 0,1= 0,081.

Четыре изделия проверяются, если первые три изделия окажутся стандартными. Здесь возможны два случая: или окажутся стандартными все 4 изделия, или первые 3 изделия - стандартные, а четвертое нестандартное. По теореме сложения вероятностей получим

Р(Х=х4 = 4) = (0,9)4 + (0,9)3 · 0,1= 0,6561 + 0,0729 = 0,729.

Получим следующий закон распределения ДСВХ

X:	xi	1	2	3	4
	pi	0,1	0,09	0,081	0,729

Проверка:

∑ =0,1 + 0,09+0,081+0,729=1.

Математическое ожидание

4

M(X) =		=Ь0,1+2.0,09+3-0,081+40,729=3,349.
Дисперсия
4	∑	-(М(Х))2 =1-0,01+4-0,09+9-0,081+16-0,729-(3,3492 =12,763-11,216 = 1,547.
D(X) =
	М(Х) = 3,349; D(X) = 1,547.
Ответ: ∑

Пример 11

Вероятность поступления в магазин со склада комплекта посуды с каким-либо дефектом, как показали наблюдения, можно принять равной 0,1. Составить закон распределения случайной величины X - числа доброкачественных комплектов из пяти поступивших. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВХ.

Решение.

Случайная величина может принимать следующие числовые значения: 0, 1,2, 3, 4, 5,т.е.Х={0, 1,2,3,4,5}.

Вероятность поступления доброкачественного комплекта р = 0,9, дефектного комплекта q = 0,1 (по условию задачи).

Воспользуемся формулой Бернулли:

P(X=m)= =	pm q n-m.
P(X = 0) =	p0 q 5 = 1 · 1 · (0,1) = 0,00001(все комплекты бракованные).
Р(Х = 1) =	p1 q 4 =5 · 0,9 · (0,1)4 = 0,0004 (один комплект доброкачественный).

P(X = 2) = C25p2q3 =10·(0,9)2 ·(0,1)3 =0,0081.

Пример 12

По результатам сдачи сессии одна из групп имела следующий ряд распределения экзаменационных оценок:

	2	3	4	5
	0,1

Найти вероятность получения удовлетворительных, хороших и отличных оценок, если известно, что математическое ожидание (среднее значение) результатов сдачи экзаменов составило 3,7, а среднее квадратическое отклонение 0,9.

26

	Решение.							∑			3,7;									0,9, следовательно
	По условию задачи
		∑					0,81.											∑				1
	Для ряда распределения должно выполняться условие																						.	Получим
следующую систему линейных уравнений:													1
										0,1				3,7				0,81
											3		3,7		1
							2·0,1					4		5				3,7		0,81
						4·0,1				9	16		25		3,7
							3						0,9		3,5
						9					7		2
													16		14,1
							2			3,5	0,9
											3·0,9		0,8								и				Из
						последних уравнения, находим:
	Решая совместно два					7	16			14,1 9·0,9				6			p			0,4		p		0,2.
первого уравнения следует, что
	Ответ. Ряд распределения экзаменационных оценок имеет следующий вид:
							p 0,3.
xi		2	3		4			5
pi		0,1	0,3		0,4			0,2
	Пример 13.
	Диаметр		деталей,		изготовленный						цехом,		является					случайной					величиной,

распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием М(Х) =10 мм и дисперсии D(X) = 0,01. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) от 9,9 до 10,1 мм; б) отличается от математического ожидания не более, чем на 0,2 мм.

Решение.

Из условия задачи следует, что математическое ожидание а = М(Х) = 10 и среднее

квадратическое отклонение σ(Х) =

√

=0,1.

СВХ в интервал (9,9;

10,1). Используем

а) Определяем вероятность попадания0,01

формулу Р(α < X < β) =Ф

Ф

. В нашем случае а = 9/3, 0 = 10,1.

Значения нормированной функции находим по таблицам (см. приложение 2).

Р(9,9 < X < 10,1) =Ф

,

,

Ф

,

,

Ф 1

Ф

1

2Ф 1

2·

0,3413б)

0,6826

Вероятность отклонения диаметра (СВХ) от математического ожидания а не

более чем на σ = 0,2 находим по формуле:

Р(

<σ) = Ф

Р(|

|

<0,2)2=

2

Ф .

,

2

Ф

2

2·0,4774

0,9548.

Ответ|

: 10|

,

|

0,6826;

Р(

10|

20,9548.

Р(8,9 < X < 10,1) =

<0,2) =

27

Контрольная работа №6

Задание 1

Задана выборка X. Для выборки X необходимо:

1)составить интервальный ряд распределения;

2)найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение;

3)найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4)построить гистограмму относительных частот;

5)проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0,05;

6)построить график теоретической плотности вероятности;

7)найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания генеральной совокупности с надежностью 0,95;

1

	82	63	80	60	72	51	70	81	75	66
	70	66	67	85	70	71	78	54	69	84
	75	74	69	66	69	71	92	58	59	81
	62	79	68	78	86	56	75	67	70	91
	74	91	86	63	78	77	70	90	92	81
	60	77	84	85	65	62	79	57	63	69
	57	70	71	78	76	79	88	69	56	75
	77	73	74	73	75	79	73	71	66	77
	76	85	84	71	65	90	85	69	76	54
	68	62	80	83	91	77	81	80	63	64
2
	66	71	66	70	68	48	56	79	63	57
	74	70	70	87	67	68	60	81	76	53
	71	69	78	89	63	77	49	64	76	60
	88	67	56	69	66	86	61	78	69	70
	62	63	73	70	72	64	90	61	80	57
	72	65	61	78	57	62	57	64	60	79
	64	69	75	65	69	70	62	58	63	77
	74	82	70	64	70	54	72	64	73	67
	71	59	61	77	68	67	56	55	56	57
	57	68	49	73	63	74	49	86	79	65

28

3

	53	73	86	73	65	82	95	65	101	82
	102	63	61	84	81	61	100	81	70	74
	79	85	87	83	79	90	98	93	73	68
	86	77	74	92	69	87	73	89	57	68
	98	103	64	90	93	72	72	61	72	76
	93	84	93	75	95	66	79	92	93	47
	115	79	79	79	85	74	52	57	86	86
	92	79	60	78	77	61	79	100	96	65
	80	92	84	87	75	82	50	91	82	82
	69	88	72	78	86	73	83	82	94	98
4
	70	93	87	93	84	71	78	86	68	78
	64	80	72	79	83	66	82	77	90	69
	57	95	79	82	77	89	83	84	74	76
	91	75	76	83	77	93	47	96	79	86
	77	70	99	55	68	82	76	67	89	79
	70	70	69	81	63	62	94	78	87	69
	106	92	73	87	82	65	89	86	94	95
	84	81	58	82	74	98	89	89	79	91
	84	87	74	69	69	80	74	106	81	74
	66	90	69	76	68	77	82	70	89	96
5
	86	89	85	79	92	88	83	87	83	83
	90	83	92	88	92	79	78	92	76	83
	86	88	87	83	84	83	83	86	76	91
	85	84	83	84	87	91	88	90	84	83
	92	89	88	85	89	90	97	86	89	89
	86	87	89	92	79	89	90	88	85	96
	84	86	89	90	86	90	85	96	79	90
	83	82	84	90	90	95	96	89	90	87
	93	90	78	90	81	89	88	80	93	92
	85	89	87	94	79	80	96	87	91	89
6
	73	69	66	54	82	70	78	82	80	71
	76	74	78	74	59	74	59	67	76	70
	79	56	74	54	52	63	51	54	59	62
	71	57	69	65	56	74	67	83	64	70
	70	70	55	57	61	72	69	60	51	67
	66	61	62	59	51	63	59	63	58	65
	57	75	70	60	73	69	62	55	47	64
	72	58	62	62	41	68	75	60	65	66
	67	55	82	68	55	71	68	59	82	73
	73	72	74	70	67	58	49	53	61	79

29

7

	70	66	68	84	63	77	81	80	73	68
	74	65	77	80	82	75	71	69	82	73
	54	75	59	64	74	73	73	75	78	70
	72	71	74	75	61	74	85	80	66	73
	66	69	67	74	77	73	77	84	74	75
	79	69	80	70	74	79	72	75	62	62
	85	63	73	77	81	77	86	76	70	73
	78	72	68	70	73	67	75	74	74	68
	80	65	64	84	90	68	75	69	55	76
	81	70	83	84	68	55	78	71	66	77
8
	67	61	56	83	61	65	71	65	65	63
	59	68	69	58	63	67	70	55	56	56
	60	61	69	62	58	57	68	53	63	62
	66	60	54	65	66	66	67	72	63	56
	62	64	56	59	61	67	66	63	61	64
	61	73	58	60	70	65	70	61	63	63
	62	74	64	65	72	69	71	68	59	72
	61	71	76	75	67	66	68	65	66	61
	54	63	65	62	58	68	69	64	53	68
	56	75	65	67	73	68	64	56	62	65
9
	55	60	46	59	55	68	69	70	91	66
	72	71	61	48	88	55	58	67	43	70
	68	60	69	66	85	68	67	69	71	65
	73	68	72	46	68	76	45	57	54	62
	72	78	75	70	60	65	54	63	54	75
	69	81	68	65	70	70	75	69	79	60
	42	75	74	59	71	71	64	58	87	77
	70	56	62	53	75	69	60	57	72	47
	75	85	71	53	71	54	72	50	66	83
	52	61	51	63	59	56	61	68	81	49
10
	54	90	81	87	51	80	64	82	73	72
	90	76	62	56	78	89	68	76	77	63
	66	68	94	64	78	81	69	84	85	62
	84	64	75	54	67	74	79	71	72	72
	100	54	78	69	71	58	60	80	78	82
	92	75	66	92	68	67	82	92	78	71
	80	73	58	78	62	75	69	73	76	62
	68	80	67	96	66	67	87	77	82	76
	70	73	82	63	70	65	76	57	67	59
	69	64	88	67	72	69	64	59	84	89

30