11-09-12_13-37-11 / ТТ-ДИ

С А М А Р С К И Й Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т П У Т Е Й С О О Б Щ Е Н И Я

К А Ф Е Д Р А

В Ы С Ш Е Й

М А Т Е М А Т И К И

Т Р Е Н И Р О В О Ч Н Ы Й Т Е С Т П О К У Р С У « Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е »

№

З

А

Д

А

Н

И

Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

А. Отношение приращения функции к приращению

Какое из ниже перечисленных предложений

определяет

аргумента;

Б.

Предел отношения функции к прира-

1.

производную функции (когда приращение аргумента стре-

щению аргумента;

В. Отношение функции к пределу

аргумента;

Г.

Отношение предела функции к аргу-

мится к нулю)?

менту;

Д. Предел отношения приращения функции к

приращению аргумента.

А. Скорость изменения функции;

Б.

Направление

2.

Первая производная функции показывает…

функции; В. Приращение функции;

Г. Приращение

аргумента функции.

А. Отношению значения функции к значению аргу-

мента в этой точке; Б. Значению производной функ-

3.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графи-

ции в этой точке;

В. Значению дифференциала функ-

ку функции в некоторой точке, равен…

ции в этой точке;

Г. Значению функции в этой точке;

Д. Значению тангенса производной функции в этой

точке.

На рисунке изображен график функцииy

у

В

С

А. CD / AD;

Б. BD / AD;

4.

= f (x). Тогда

А

D

В. BD;

Г. AD / CD;

а) производная f (x)

равна ...

Д. AB / AD;

б) дифференциал dy равен …

0

х х + x х

Е. AB.

На рисунке изображен график функции

у у=f(x)

А. 1;

Б. 0;

5.

2

В. 1,5;

Г. 3;

y = f (x). Значение f (1,5).

0

0,5 1,5

х

Д. 2.

А. Отношению приращения функции к приращению

аргумента; Б. Произведению приращения функции на

6.

Дифференциал функции равен …

приращение аргумента;

В. Произведению производ-

ной на приращение аргумента;

Г. Приращению функ-

ции; Д. Приращению аргумента.

7.

Для любой линейной функции дифференциал функции ра-

А. Приращению функции; Б. Приращению аргумента;

вен…

В. Постоянной;

Г. Производной этой функции.

Укажите точки на (a; b), в которых

y

А. Нет;

функция, изображенная на рисунке …

Б. р;

а) не дифференцируема;

8.

В. а;

б) имеет максимум;

0 а s

c p

b x

С. s;

в) принимает наименьшее значение;

Д. s, c.

г) производная функции обращается в ноль.

Для дифференцируемой функции f (x) из приведенных ус-

А.

f (x0 ) 0 ;

Б.

f (x) 0 ;

ловий выберите

9.

а) достаточное условие убывания;

В.

f (x) 0 ;

С.

f (x) 0 ;

б) достаточное условие выпуклости (выпуклости вверх);

Д.

f (x) 0 .

в) необходимое условие точки перегиба.

Укажите частное приращение функции f (x; y) по перемен-

А. f (x +

x; y) – f (x; y);

Б. f (x; y +

y) – f (x; y);

10.

ной у:

В. f (x +

x; y +

y) – f (x; y); Г. f (x +

x; y +

y);

Д. f 'x x;

Е. f 'y y.

11.

Уравнение касательной к графику функции y =

1

в

А. у = х;

Б. у = 1;

x2 1

В. у = –х;

Г. у = –1;

точке (0; 1) имеет вид...

Д. у = х – 1.

12.

Угловой коэффициент

касательной

к

графику

функции

А. 1;

Б. 2;

y ln x в точке

x0 1 равен…

В. ;

Г. 0;

Д. –1.

13.

А. x = 1;

Б. x = –1;

В. x = 1, x = 0;

Функция y (x 1)

x2

не имеет производной в точках …

Г. x = 0;

Д. x = –1, x = 0.

14.

Значение производной функции y

x

в точке х = 0…

А. 1;

Б. –1;

В. 0;

Г. Не существует;

Д. .

1, x 0,

А. 0;

Значение производной функции у sign x

x 0,

Б. 1;

15.

0,

В. + ;

Г. –1;

в точке х = 0 равно…

1, x 0

Д. – .

В интервале (0; 1) функции

y 4x и

y log0,5 x …

А. Обе возрастают;

Б. Обе убывают;

16.

В. Первая убывает, вторая возрастает;

Г. Первая возрастает, вторая убывает.

№

З

А

Д

А

Н

И

Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

17.

Если производная функции у = f (x) С (Х) меньше 0 на

А. Монотонно убывает;

Б. Равна 0;

В. Постоянна;

промежутке Х, то сама функция на этом промежутке…

Г. Монотонно возрастает;

Д. Имеет разрыв.

18.

Для функции y x3

3x2

точка x = 0 является точкой …

А. Разрыва I рода;

Б. Минимума;

В. Перегиба;

Г. Максимума;

Д. Разрыва.

19.

Для функции y

sin x

точка

x 0 является точкой…

А.Непрерывности; Б.Разрыва II рода; В.Разрыва I ро-

да;

Г. Устранимого разрыва;

Д. Точкой экстремума.

x

Производная

f (x) функции, непрерыв-

у

1

А. В точке х = 0;

Б. В точке х = 1;

–1 0

В. В точке х = –1;

20.

ной на [–1,

1], задана графически.

Тогда

х

функция принимает наименьшее значение…

Г. В точках х = 1 и х = –1 одновременно;

f (x)

Д. Во всех точках.

1

Функция у

А. 1), 2);

xsin x , x 0, обладает свойствами…

Б. 1), 4);

21.

0, x 0

В. Всеми;

1) непрерывная в точке х = 0;

Г. 2), 3);

2) дифференцируемая в точке х = 0;

3) периодическая;

Д. 3), 4).

4) ограниченная в области определения.

22.

Функция y x4 4x 2 на всей числовой оси…

А.Монотонно убывает; Б.Выпукла вниз; В.Постоянна;

Г. Выпукла вверх;

Д. Монотонно возрастает.

23.

Если дана функция

y (2x 1)3 , то

y (0) равно…

А. 3;

Б. 6;

В. 1;

Г. –1;

Д. –3.

24.

Если производная функции

y (x 2)3 (x 3)3 , то сумма

А. –1;

Б. –3;

абсцисс точек экстремума равна…

В. 1;

Г. –2;

Д. 2.

x 4

А. Только вертикальную асимптоту;

Б. Только го-

25.

График функции y

имеет …

ризонтальную асимптоту;

В. И вертикальную и гори-

x2

зонтальную асимптоты;

Г. Не имеет асимптот;

Д. Только наклонную асимптоту.

Асимптоты кривой

у

1 х

имеют уравнения…

А. х

5

; у

1

;

Б.

х

5

; у

1

; В.х

5

; у 1;

26.

2

2

2

2

2

2х 5

С. х 1; у 2х ;

Д. х 1; у 2х 5 .

График

какой

y

y

функции

на

всем

I.

II.

А. Все графики;

отрезке

[a,

b]

одно-

0

a

b x

0

a

b x

Б. Только I и IV;

временно

удовле-

27.

В. Только II и III;

творяет

трем

усло-

y

y

Г. Только II;

виям: y > 0; y > 0;

IV.

III.

Д. Только III.

y < 0?

0

a

b x

0

a

b x

Установите соответствие между графиком функции и ха-

А. 1, 3;

рактером локального экстремума или разрыва в точке х = а.

а) Точка максимума;

у

1

2

3

4

5

Б. 2, 4;

28.

б) Точка минимума;

В. 5;

в) В точке экстремума нет;

Г. 1, 2;

г) Точка разрыва;

0

a

a

a

a

a

х

Д. 3, 4, 5.

д) Точка непрерывности.

Наименьшее значение функции

f (x)

1

x3

x2

2

на

А. –3;

Б. –2 / 3;

29.

3

В. –2;

3

Д. –5 / 3.

отрезке [–1, 1] равно…

Г. –4 /3;

30.

Если u sin x y z2 , то uz

в точке M (1; 1; 0) равна …

А. 2;

Г. 1;

Б. –2;

Д. –4.

В. 0;

31.

Если и = cos(x2 – y + z3), то значение uу

в точке (0;– / 2; 0)

А. 1;

Б.

В. 0;

Г. –

Д. 1 / 2.

2 / 2 ;

3 / 2 ;

равно ...

32.

Скорость материальной точки, движущейся по закону S(t)

А. 14;

Б. 18;

= 3t2 + 2, к концу третьей секунды равна …

В. 29;

Г. 12;

Д. 20.

А.

;

Б.

;

33.

Градиент скалярного поля u xy yz z2 в точке А(0; 1; 1)

i

j

k

i

j

k

имеет вид…

В.

i

j

k ;

Г. i

j

k ;

Д. i j

k .

Издержки z полиграфического предприятия на выпуск од-

А. x = 4; y = 5;

ного журнала определяются формулой z = 100 – x2y + x + y,

где x – расходы на оплату рабочей силы, тыс. р., (x > 0), y –

Б. x = 6; y = 3;

34.

Г.

x = 5,5; y = 3,5;

затраты на материалы, тыс. р., (y > 0).При каких значениях x

и y издержки производства будут минимальными, если за-

В. x = 4,5; y = 4,5;

Д. x = 3; y = 6.

траты на один журнал составляют 9 тыс. р.

№

З

А

Д

А

Н

И

Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

35.

Для функции z 1 x2 y 1 2

точка M 0, 1 является …

А. Точкой максимума;

Б. Точкой минимума;

В. Седловой точкой;

Г. Точкой перегиба.

36.

Кривизна параболы у = –(х + 1)2 в ее вершине равна…

А. 0;

Б. –2;

В. 1;

Г. –1;

Д. 2.

37.

Производная второго порядка функции y = ln 5x равна …

А.

1

;

Б.

1 ;

В.

1

;

Г.

1

; Д.

1

.

5х

х2

25х2

5х2

5х2

2 z ,

А.

2у

Б.

2у

В.

2х 2у2

38.

Найти

если z ln(x y2 ) .

(х у2 )2

;

(х у2 )2 ;

(х у2 )2

;

x y

Г.

2у/(х у2 ) ;

Д. 1/(х у2 ) .

3u

xy

А. yexy;

Б. exy + xyexy;

В. xyexy;

39.

Найти

x y z , если u ze

.

Г. exy;

Д. xexy.

40.

Стационарной точкой функции

z = x2 + xy + y2 + 3y + 4

А. (0; 0);

Б. (1; 2);

В. (1; –2);

Г. (2; –1);

Д. (–2; 1).

является…

x

x

2 ;

1

x .

41.

d 2 z 1 dx2

2 dxdy

dy

2 , тогда z

.равно …

А.

1 ;

Б.

; В.

Г.

;

Д.

1

x

y

y2

xy

x

y2

y

y

x y2

А.3 x

0

x

o( x) ;

Б. 3 x 1

x o( x) ;

3

x02

0

3 3 x02

Значение функции у = 3

х

в точке х0 + х можно вычис-

42.

В.

3 x

0

1

x

o( x) ; Г. 3

x

x

o( x) ;

лить по формуле 3 x0 x …

3 3

x02

0

3

x02

Д.

x0

x

o( x) .

2

x0

43.

Производная скалярного поля

u x2

2yx 4y

в точке (–

А. 4;

Б. 2;

В. 0;

1; –1) в направлении единичного вектора e (1; 0) равна…

Г. –4;

Д. –2.

Укажите функции, для которых существует конечная про-

А. Только 1), 2);

Б. Только 3), 4), 5);

44.

изводная в каждой точке числовой оси:

В. Все;

1) y = ln x; 2) y = |sin x|;

3) y = x3;

4) y = 3x ; 5) у 3

х .

Г. Только 2), 3);

Д. Только 3), 4).

Укажите ВСЕ верные утверждения: если функция диффе-

А. Только 1), 2);

ренцируема в некоторой точке, то в этой точке …

Б. Только 3), 4), 5);

1) Функция не определена;

2) Функция непрерывна;

45.

В. Все;

3) Нельзя провести касательную к графику функции;

Г. Только 2), 4);

4) Можно провести касательную к графику функции;

Д. Только 3), 4).

5) Функция имеет экстремум.

Дифференциал постоянной равен…

А. Только 1), 2);

1) Этой постоянной;

Б. Только 4);

46.

2) Произведению данной постоянной на величину x;

В. Только 5);

3) Бесконечно большой величине;

Г. Только 2), 4);

4) Нулю;

5) Нет правильного ответа.

Д. Только 3), 4).

у

1

у

2

у

3

На каком из ри-

0

2

х

2

2

А. 1;

сунков изображена

область

определе-

–2

0

2

х

0

2

х

Б. 3;

47.

у

В. 2;

ния

функции

4

у

5

Г. 4;

z ln(2 x y) ?

2

Д. 5.

x y

0

2 х

0

2

х

–2

Если непрерывная в замкнутой

области D функция

z =

А. Только 1), 2);

f (М) принимает в точке Р наибольшее значение, но Р не яв-

ляется точкой максимума функции, то можно утверждать…

Б. Только 4);

48.

1) Р – точка экстремума функции;

В. Только 5);

2) Р – внутренняя точка функции;

Г. Только 2), 4);

3) Р – точка разрыва функции;

Д. Только 3), 4).

4) Р – граничная точка функции.

Функция функции у = f (x)

у

В

А. f (x) не существует (ни конечная, ни бесконечная);

задана

графически.

Значения

49.

производной функции в точках

A

45

С 135 F

45

Б. –1;

В. – ;

a) A, б) В, в) С, г) D, д) E, е) F

0

D

х

Г. + ;

Д. 1;

равны соответственно...

E

Е. 0.

№

З

А

Д

А

Н

И

Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

x3 ,

x 1,

А. а = 2, b = –3;

Б. а = 2, b = –1;

50.

При каких значениях а и b функция

f x ax b, x 1

В. а = 3, b = –2;

Г. а = 1, b = –1;

Д. а = 2, b = 1.

непрерывна и дифференцируема в точке х0 = 1?

Расстояние между точками перегиба по оси Ox функции

А. –4;

Б. –2;

51.

y x

2

16

равно...

В. 4;

Г. 2;

3x2

Д. 1.

А. 2(x – 2)4 + 11(x – 2)3 + 15(x – 2)2;

Разложение функции

Б. (x – 2)4 + 5(x – 2)3 – 6(x – 2) + 4;

52.

f (x) = 2х4 – 5x3 – 3x2 + 2x + 4

В. 2(x – 2)4 + 11(x – 2)3 + 15(x – 2)2 + 4(x – 2);

по степеням (x – 2) по формуле Тейлора равно ...

Г. 2(x – 2)4 + 11(x – 2)3 + 15(x – 2)2 – 6(x – 2) – 12;

Д. 2(x – 2)4 + 11(x – 2)3 + 4(x – 2).

Нормальный вектор к поверхности

А. (1, 2, –5);

Б. (0, 2, 4);

53.

х2 + у2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0

В. (–3, 3, –1);

Г. (–4, 0, –1);

в точке M(2, 1, –1) равен…

Д. (1, –2, 5).

Нормальный вектор к поверхности

А. (1, 2, –5);

Б. (0, 2, 4);

54.

z = у2 – х2 + 2xy – 3y

В. (–3, 3, –1);

Г. (–4, 0, –1);

в точке M(1, –1, 2) равен…

Д. (–4, –3, –1).

А. –2(x + 2) – 12(y –1) + 4(z – 2) = 0;

Уравнение касательной плоскости к поверхности

Б. (x + 2) + 6(y –1) – 3(z – 2) = 0;

55.

х2 – 4у2 + z2 + 2xy = 0

В. 5(x – 1) – (z – 1) = 0;

в точке M(–2, 1, 2) равно…

Г. (x + 2) – 12(y –1) + 4(z – 2) = 0;

Д. –(x + 2) + 6(y –1) + 4(z – 2) = 0.

Уравнение касательной плоскости к поверхности

А. –2(x + 2) – 12(y –1) + 4(z – 2) = 0;

Б.(x + 2) + 6(y –1) – 3(z – 2) = 0; В. 5(x – 1) – (z – 1) = 0;

56.

z = х2 – у2 – 2xy – х – 2у

в точке M(1, –2, 1) равно…

Г. (x + 2) – 12(y –1) + 4(z – 2) = 0;

Д. –(x + 2) + 6(y –1) + 4(z – 2) = 0.

Линейная зависимость у = ах + b между переменными x, y

А. у = –х + 5;

по методу наименьших

квадратов по экспериментальным

значениям (xk, yk)

Б. у = 0,5х + 5;

k 1,3,

указанным в таблице,

57.

В. у = х – 5;

xk

1

2

3

Г. у = –0,5х + 5;

равна...

yk

5

7

6

Д. у = –х – 5.

Какие из приведенных утверждений являются неверными?

А. Только 1);

1) в точке экстремума производная функции равна нулю

или не существует;

Б. Только 1), 2) и 4);

58.

2) в точке экстремума функция меняет знак;

В. Только 3) и 4);

3) в точке экстремума производная меняет знак;

Г. Только 1), 3) и 4);

4) в точке, в которой производная равна нулю или не су-

Д. Только 2) и 3).

ществует, может не быть экстремума.

59.

Множитель Лагранжа при исследовании функции z = х + у

А. 0;

Б. 2;

на условный экстремум при х2 + у2 = 1 / 2 имеет значение...

В. 1 / 2;

Г. 1;

Д. 4.

Верными утверждениями относительно свойств функции

z(x, y) в зависимости от наличия частных производных в М0

являются…

А. Только 1);

1) если функция непрерывна в точке М0, то она имеет част-

Б. Только 1), 2) и 4);

60.

ные производные в этой точке;

fx (M0 ),

В. Только 3) и 4);

2) если функция

имеет

частные

производные

Г. Только 1), 3) и 4);

fy (M0 ) в точке М0, то она непрерывна в этой точке;

Д. Только 2) и 3).

3) если функция имеет в точке М0

непрерывные частные

производные, то она непрерывна в этой точке.

Верными утверждениями относительно свойств функции у

= f (x) в зависимости от существования производной и диф-

А. Только 1);

ференцируемости функции в точке x0 являются…

1) если функция непрерывна в точке, то она имеет произ-

Б. Только 1), 2) и 4);

61.

водную в этой точке;

В. Только 3) и 4);

2) если функция имеет в точке производную, то она непре-

Г. Только 1), 3) и 4);

рывна в этой точке;

Д. Только 2) и 3).

3) если функция дифференцируема в точке, то она непре-

рывна и имеет производную в этой точке.

О Т В Е Т Ы :

1Д, 2А, 3Б, 4а)Б, 4б)В, 5Д, 6В, 7А, 8а)Д, 8б)С, 8в)А, 8г)Б, 9а)Б, 9б)С, 9в)А, 10Б, 11Б, 12А, 13Г, 14Г, 15В, 16А, 17А, 18Б, 19А, 20Б, 21Б, 22Г, 23А, 24А, 25В, 26А, 27Г, 28а)А, 28б)Б, 28в)В, 28г) Г, 28д)Д, 29В, 30В, 31А, 32Б, 33Г, 34Б, 35Б, 36Д, 37Б, 38А, 39Б, 40В, 41Г, 42В, 43Г, 44Д, 45Г, 46Б, 47Д, 48Б, 49а)А, 49б) Е, 49в) Б, 49г) В, 49д)Д, 49е) Г, 50В, 51В, 52Г, 53Б, 54Д, 55А, 56В, 57Б, 58Г, 59Г, 60Д, 61Д