- •Н. Н. Соколовская, а. В. Ерошенко
- •1. Основы алгебры логики
- •1.1. Логика как наука
- •1.2. Основные операции алгебры логики
- •1.2.1. Инверсия
- •1.2.2. Конъюнкция
- •1.2.3. Дизъюнкция
- •1.2.4. Неравнозначность
- •1.2.5. Эквивалентность
- •1.2.6. Импликация
- •1.3. Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений
- •1.3.1. Логические константы, переменные, выражения и функции
- •1.3.2. Законы алгебры логики и их применение
- •2. Логические основы устройства компьютера
- •2.1. Логические схемы и логические функции
- •2.2. Переход от логической схемы к формуле логической функции
- •2.3. Переход от алгоритма работы к логической схеме
- •3. Применение алгебры логики
- •3.1. Решение текстовых логических задач
- •3.1.1. Методика решения логических задач
- •3.1.2. Примеры
- •3.1.3. Задания
- •3.2. Применение логических операций при решении задач на эвм
- •3.2.1. Примеры
- •3.2.2. Задания
- •3.3. Преобразование логических выражений и схем
- •3.3.1. Примеры
- •3.3.2. Задания
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •644046, Г. Омск, пр. Маркса, 35
1.2. Основные операции алгебры логики
В применении к высказываниям логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Логические операции реализуются в виде функций алгебры логики (логических функций, булевых функций).
Над высказываниями можно производить различные логические операции: инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность и неравнозначность.
Логические функции можно задавать логическими формулами и таблично. В виде таблицы булевы функции задают значениями 0 и 1 на каждом наборе значений ее аргументов. Такие таблицы называются таблицами истинности.
1.2.1. Инверсия
Логическую операцию инверсия (отрицание, операция «НЕ») можно применить как к простому, так и к сложному высказыванию. Логическое отрицание образуется из высказывания А с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что А», «А не имеет места».
Логическое отрицание получает из истинного высказывания ложное, и, наоборот, из ложного – истинное.
Интересует только истинность высказывания, имеющего форму (вне зависимости от его содержания).
Пример 1.1. А = Два умножить на два равно четырем. Это высказывание истинно. Высказывание, образованное с помощью операции логического отрицания, Два умножить на два не равно четырем – ложно.
Пример 1.2. B = Все люди любят молоко. Понятно, что В – ложное высказывание. Неверно, что все люди любят молоко, значение . Следует обратить внимание на то, что высказывание Все люди не любят молоко не является отрицанием высказывания В, т.к. есть люди, которые любят молоко.
Таблица 1.1 | ||||||
Таблица истинности функции отрицание | ||||||
|
Отрицание – это логическая (двоичная) функция одной переменной. Знак операции – черта над аргументом, например, (можно). Такая запись читается: «неa» или «отрицание a». Таблица истинности функции отрицание приведена в табл. 1.1.
1.2.2. Конъюнкция
Таблица 1.2 | |||||||||||||||
Таблица истинности функции конъюнкция | |||||||||||||||
|
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. Высказывая конъюнкцию, утверждают, что выполняются оба события, о которых идет речь в составляющих высказываниях.
Пример 1.3. А = Наступил январь, В = студенты сдают экзамены. Новое высказывание А & В (или А В) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания А и В истинны одновременно, т. е. когда истинно, что наступил январь и что студенты сдают экзамены.
Конъюнкция – это такая логическая функция, которая равна единице тогда и только тогда, когда все аргументы функции равны единице. Другое определение – конъюнкция – это такая логическая функция, которая равна нулю, если хотя бы один аргумент функции равен нулю. Знак операции: «&» или «». Таблица истинности функции конъюнкцияприведена в табл. 1.2.