6.2. Формирование случайных величин с различными законами распределения и оценка точности результатов моделирования.

Моделирование на ЭВМ процессов функционирования различных систем связано с выработкой большого количе­ства случайных чисел с заданными законами распределения. Для этой цели используется обычно один из следующих способов:

генерирование случайных чисел специальной электрон­ной приставкой к машине — датчиком случайных чисел;

получение случайных чисел в машине в соответствии с заданной программой формирования.

Принцип действия датчика случайных чисел основан на использовании некоторых свойств физических явлений (например, собственные шумы электронных ламп, излу­чение радиоактивных источников). Таким образом, мож­но получить равномерно распределенную последователь­ность, распределение Пуассона и ряд других.

Однако большинство универсальных ЭВМ не имеет датчиков случайных чисел, поэтому наибольшее распро­странение получил программный способ формирования слу­чайных последовательностей, основанный на использовании некоторого рекуррентного соотношения.

При этом в ка­честве основного механизма генерирования случайных величин используется последовательность равномерно распределенных в интервале (0,1) случайных чисел , ко­торые подвергаются дальнейшим преобразованиям для по­лучения заданных законов распределения.

Рассмотрим некоторые из алгоритмических способов формиро­вания равномерно распределенных случайных чисел.

Пусть F(х) и f(х) соответственно функция и плотность распределения некоторой случайной величины X, а _i — случайное число с равномерным законом распределения в интервале (0,1). Тогда для получения случайного числа x_i из совокупности случайных чисел, имеющих заданную функ­цию распределения F(х), необходимо решить относительно x_i следующее интегральное уравнение:

(6.1)

т. е. определить такое значение x_i, при котором функция распределения F (х) равна _i.

Для некоторых частных законов распределения урав­нение (6.1) удается решить непосредственно. В большинстве же практически важных случаев уравнение (6.1) точно не решается. Тогда используют приближенные способы пре­образования случайных чисел, которые можно условно раз­бить на две группы. К первой группе относятся способы, основанные при приближенном решении уравне­ния (6.1):

численное решение уравнения (6.1) в процессе преобра­зования случайных чисел;

предварительная аппроксимация подынтегральной функ­ции в уравнении (6.1) полиномами или другими функциями, обеспечивающими простоту решения уравнения;

использование заранее составленных таблиц, содержа­щих решения уравнения (6.1).

Таблица 6.1

Наименование и параметры распределения	Плотность распределения	Математическое ожидание	Дисперсия	Формула для вычисления случайного числа
Равномерное в интервале (a, b)
Экспоненциальное с параметром 
Сдвинутое экспоненциальное с параметрами  и b (параметр сдвига)
Нормальное с параметрами а (математическое ожидание) и ^2 (дисперсия)		a	^2
Логарифмически нормальное с параметрами а и 				где
Эрланга с параметрами k и 
^2 с параметром n (число степеней свободы)		n	2n
Вейбулла с параметрами  (масштабный параметр) и k (параметр, определяющий асимметрию и эксцесс)
Релея а параметром 			0,429 ^2
Стьюдента с параметром n (число степеней свободы)		0
Фишера с параметрами n1 и n2 (число степеней свободы)
Бета с параметрами n и m (число степеней свободы)

Примечание.

Ко второй группе относятся способы, не связанные с ре­шением уравнения (6.1):

отбор случайных чисел с заданным законом распределе­ния из исходной совокупности случайных чисел с равно­мерным распределением в интервале (0,1);

приближенное моделирование условий предельных тео­рем теории вероятностей.

В табл. 6.1 для различных непрерывных законов приведе­ны формулы для вычисления случайных чисел x_i, полученные с использованием указанных выше способов а также выражения, устанавливающие связи между парамет­рами каждого распределения и его

математическим ожида­нием и дисперсией. Эти формулы обычно используются при исследовании влияния различных типов законов распреде­ления исходных случайных величин на результаты модели­рования.

Часто при решении задач на ЭЦВМ возникает необхо­димость моделирования случайных событий с известным рас­пределением вероятностей. Покажем, как это делается. Предположим, что заданы численные значения вероятнос­тей P₁ , Р₂,, ..., Р_п для независимых событий A₁ , А₂ ,..., А_n , составляющих полную группу. Нужно определить в каждом испытании, какое из этих событий произошло.

Разобьем отрезок (0,1) на п отрезков так, чтобы длина i-го отрезка равнялась вероятности P_i. Выбирая из равно­мерного в интервале (0,1) распределения случайные числа _i, будем определять, на какой участок отрезка попадает число _i. Попадание случайного числа на i-й участок фиксируется как факт свершения события A_i.

Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний количество попаданий на i-й участок будет пропорциональ­но его длине (т. е. значению Р_i), а это означает, что случайные события A_i воспроизводятся в соответствии с распределением вероятностей Р_i.В ЭВМ этот процесс сводится к выбору случайного числа _i и последовательной проверке условия

(6.2)

Для фиксированного _i неравенство (6.2) выполняется лишь при каком-то одном значении k (k = l, 2, ..., п). Это значение k и определяет номер события А_п, которое произошло в данном опыте.

В простейшем случае число возможных исходов равнодвум, т.е. задана вероятность Р(А) события А и в каждом испытании требуется определить, произошло это событие или нет. Тогда процедура сводится к однократной проверке неравенства

_i  Р (А) (6.3)

Если это неравенство выполняется, то фиксируется факт свершения события А.

Моделирование дискретной случайной величины X фак­тически сводится к рассмотренной ранее схеме случайных событий, так как каждому из возможных значений случай­ной величины X ставится в соответствие определенное зна­чение вероятности Р (X = т) того, что случайная величина примет значение, равное m. Алгоритмы для моделирования некоторых дискретных распределений (Пуассона, геометри­ческого и др.) приведены в работе.

Результаты моделирования обладают определенной по­грешностью, источниками которой могут быть: упрощение модели, неточность определения исходных данных, ограни­ченное число реализаций, сбои и т. п. Рассмотрим более по­дробно погрешность, обусловленную ограниченным числом реализаций, и приведем формулы для ее оценки.

Сточки зрения математической статистики, процесс моде­лирования сводится к выбору определенного объема из гене­ральной совокупности. В результате моделирования на основе полученного статистического материала дается количествен­ное описание исследуемых случайных величин, т. е. определя­ются основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, статистическая функция распре­деления и т. д.). При этом вследствие ограниченного числа испытаний вместо точных значений показателей мы полу­чаем их приближенные значения, называемые оценками.

К оценкам искомых показателей следует подходить как к обычным случайным величинам. При этом необходимо учитывать, что закон распределения оценки зависит и от распределения самой случайной величины, и от числа опы­тов. При реализации метода моделирования на ЭВМ число испытаний обычно бывает достаточно большим (от несколь­ких сотен до десятков тысяч). Это позволяет сделать вывод о нормальном законе распределения оценок математического ожидания, дисперсии, вероятности события, что суще­ственно упрощает анализ точности результатов модели­рования.

На практике задача сводится к определению точности результатов по известному числу реализаций¹ п_p или наоборот— к выбору такого значения п_p, которое обеспечива­ет получение результатов с заданной точностью . По су­ществу, это одна задача, решение которой основывается на взаимосвязи трех величин: числа реализаций n_p, точности  и достоверности  результатов. Под достоверностью пони­мается доверительная вероятность

=P{a* -  < a < a* + }, (6.4)

т. е. вероятность того, что интервал (a* -  , a* + ) со слу­чайными границами (доверительный интервал) накроет не­известный параметр а.

В практике моделирования широкое применение получил метод автоматического контроля точности результатов мо­делирования с помощью ЭВМ. Сущность этого метода со­стоит в следующем: задают первоначальное число реализаций n_р* (заведомо заниженное), а затем после каждой последую­щей реализации с помощью машины проверяется условие

 < _тр, (6.5)

где , _тр — соответственно текущее и требуемое значение относительной погрешности результатов.

При выполнении условия (6.5) расчет прекращается, и машина выдает результаты моделирования на печать.

Для оценки относительной погрешности  математиче­ского ожидания некоторой случайной величины X и вероят­ности Р события А используются формулы:

(6.6)

(6.7)

где ;-функция, обратная функции Лапласа, т. е. такое значение аргумента, при котором функ­ция Лапласа равна доверительной вероятности  (значе­ния t_. табулированы и приведены в работе).

Для оценки относительной погрешности при вычисле­нии дисперсии случайной величины X используется выра­жение

(6.8)

из которого при заданном значении t_ нетрудно определить число реализаций n_р, обеспечивающее требуемую относи­тельную погрешность е.

Анализ показывает, что рассматриваемые процессы функ­ционирования промышленных АСУ, как правило, обладают свойствами стационарности и эргодичности. Поэтому моде­лирующие алгоритмы для их исследования построены таким образом, что воспроизводят процессы функ­ционирования систем в течение заданного длительного ин­тервала времени _мод (моделируется одна длинная реализа­ция), обеспечивающего получение статистически устойчивых результатов решения. Обычно длина интервала моделиро­вания _мод задается ориентировочно с таким расчетом, чтобы в течение этого времени каждый из элементов исследуемой системы отказал несколько раз.