В) Расчетные формулы

При последовательном логическом соединении ве­роятность безотказной работы системы равна произве­дению вероятностей безотказной работы элементов. Функция надежности системы

где Pj(t) — функция надежности /-го элемента.

Поэтому интенсивность отказов системы из n эле­ментов

(2.2)

(предполагается, интенсивности отказов элементов постоянны).

Соответственно средняя наработка системы до отказа

(2.3)

где m_tj—средняя наработка до отказа /-го элемента.

Для параллельного нагруженного логического соеди­нения вероятность отказа системы равна произведению вероятностей отказа элементов. Функция ненадежности системы

(2.4)

где q_j(t) – функция ненадежного j-го элемента.

Так как q_с(t)=1-p_c(t), то

.

В данном случае речь идет о нагруженном резервировании, когда основные и резервные элементы находятся в одинаковых рабочих условиях.

При параллельном ненагруженном логическом соединении функция надежности участка логической схемы, состоящего из k одинаково надежных элементов, вычисляется по формуле:

(2.5)

Вычисление функции надежности системы иногда ведется при двух крайних значениях _мин и _макс элементов.

Когда значений р_с близки к единице, удобно исполь­зовать приближенные формулы:

(2.6)

(2.7)

Общий недостаток изложенного выше приближенно­го расчета надежности — малая и недостоверная инфор­мация о надежности типовых элементов.

Расчеты надежности при проектировании целесообразно завершить моделированием процессов появления отказов систем и испытанием первых опытных образцов. В ходе моделирования выявляются интенсивности отказов

систем из-за постепенных изменений параметров элементов. При испытаниях уточняются действующие на элементы нагрузки и данные о надеж­ности отдельных элементов.

Г) Коэффициентный способ расчета

Этот способ применяется, когда имеется достоверное значение интенсивности отказов лишь одного элемента системы.

Предполагается, что при различных режимах работы справедливо соотношение

(2.8)

где _i – интенсивность отказов рассматриваемого элемента; ₀ – достоверно известная

интенсивность отказов одного элемента (основного элемента расчета). Значения коэффициентов k_i, найденные путем анализа данных по интенсивностям отказов различных элементов, приведены в табл.2.1. При вычислении этих коэффициентов за основной элемент расчета были приняты резисторы.

Таблица 2.1

Наименование элементов	kiмин	kiмакс	Наименование элементов	kiмин	kiмакс
Электровакуумные приборы Генераторные лампы Конденсаторы Резисторы Потенциометры Полупроводниковые ДИОДЫ	18,3 70 0,33 1 7,2 11,2	26, 6 77 0,61 ^: 1 12 15,4	Селеновые и купроксные выпрямители Электродвигатели Преобразователи Гироскопы Штепсельные разъемы	16,7 17 3,3 97,5 10,7	20 22 5,5 100 15,3

Для получения значений интенсивностей отказов эле­ментов системы необходимо значение ₀ интенсивности отказов основного элемента расчета (в данном случае резистора) умножить на соответствующее значение ко­эффициента Кi. Этим коэффициентный способ расчета надежности

отличается от изложенного выше. При до­пущении (2.8) можно, используя формулы (2.1) и (2.2), написать:

(2.9)

или

(2.10)

где

(2.11)

здесь n_l — число элементов l-го типа; d—число типов элементов.

При коэффициентном способе расчета надежности также вычисляются два значения интенсивности отказов системы с..мин ис..макс, соответствующие крайнимзна­чениям коэффициентов ki всех элементов системы. Если вместо функций надежности построить зависимости ве­роятности безотказной работы в функции _0t, то полу­ченные зависимости можно считать инвариантными в отношении условий эксплуатации системы. Действительно, на основании допущения (5.8) при изменении условий эксплуатации системы будет изменяться лишь интенсивность отказов ₀ основного элемента расчета, т.е.будет меняться лишьмасштаб по оси абсцисс зависисмости p(₀t).

Для сравнения вариантов системы по надежности при коэффициентном способе ее расчета нет необходимости знать ₀. Для вариантов системы Z и Y имеем согласно (2.11):

(2.12)

где d1, d2— число типов элементов в системах Z и У; Nzl, N_yl —количество элементов типа l в соответствую­щей системе.

д) Применение формулы полной вероятности

при расчете надежности систем

При использовании формулы полной вероятности учитываются гипотезы H1, H2, . . ., Hn – несовместимые события, образующие полную группу. Вместе с одним из этих событий может произойти рас­сматриваемое событие X — безотказная работа системы в течение заданной наработки (0, ti). Вероятность по­явления события X равна сумме произведений вероят­ности каждой гипотезы P(Нj) на условную вероятность Р(X| Нj) события при этой гипотезе:

(1.13)

При использовании формулы полной вероятности для расчета надежности выбирается определенная группа элементов логической схемы, и формируются гипотезы о том, что же произошло с этой группой элементов в те­чение заданной наработки. Гипотезы могут являться сложными событиями. В каждой из гипотез учитывает­ся, что для любого элемента рассматриваемой группывозможными исходами являются либо безотказная рабо­та,либо отказ.

При вычислении условной вероятности безотказной работы системы P(X\Hj) при гипотезе Hj предполагает­ся, что произошли соот­ветствующие события (безотказная работа

пли отказ одного пли несколь­ких элементов) и рассма­триваются соответствую­щие условные логические схемы.

В качестве примера применения формулы полнойвероятности рассмотрим расчет надежности системы, ло­гическая схема для расчета надежности которой приве­дена на рис. 2.2. Рассмотрим группу из первого и треть­его элементов. Здесь возможны четыре гипотезы о со­стояниях элементов: оба элемента остались работо­способными; первый элемент отказал, второй остался работоспособным; первый элемент остался работоспособ­ным, третий отказал;обаэлемента отказали. Гипотезыи соответствующие им вероятности приведены в табл.2.2. Знаком 1 обозначеныработоспособные со­стояния элементов, знаком 0 — неработоспособные.

Подставив выражения для P(H_j) иP(X|H_j) в (2.13), получим после преобразований выражение для вероятности безотказной работы системы:

Таблица 2.2

Гипотеза	Что произошло с элементами		Вероятность гипотезы P(Hj)	Условная вероятность безотказной работы системы при гипотезе Hj P(X|Hj)
	1	2
H1	1	1	p1p3	1
H2	0	1	(1-p1)p3	p2
H3	1	0	p1(1-p3)	p4

p_c = p₁p₃ + (1 - p₁)p₃p₂ + p₁(1 - p₃)p₄ + (1 - p₁) (1 - p₃)p₂p₄ = p₁p₃ + p₂p₃ + p₁p₄ + p₂p₄ - (p₁p₂p₃ + p₁p₃p₄ + p₁p₂p₄ + p₂p₃p₄) + p₁p₂p₃p₄ (2.14)

В ряде случаев удобно применять формулу полной вероятности для вычисления вероятности отказа рассма­триваемой системы.

В любом случае цель применения формулы полной вероятности — сокращение объема математических пре­образований и вычислений.

з) Переход от логической схемы для расчета надежности к графу состояний системы

Такой переход необходим при смене метода расчета надежности, при сопоставлении результатов расчетов, выполненных различными методами, для вычисления выигрыша в надежности при переходе от невосстанав­ливаемой к восстанавливаемой системе и в других слу­чаях. Кроме того, составление графа состояний восста­навливаемой системы обычно облегчается, если предва­рительно составить логическую схему для расчета на­дежности системы, условно считая ее неремонтируемой.Чтобы облегчить переход, целесообразно выделить типовые структуры графа состояний, соответствующие типовым соединениям на логической схеме для расчета надежности. Такие типовые структуры для неремонти­руемых систем приведены в табл. 2.3. Для переходак графам состояний соответствующих восстанавливае­мых систем необходимо в графах состояний табл. 2.3 добавить стрелки с интенсивностями восстановленийэлементов.

В табл. 2.3 видно, что последовательному логическо­му соединению соответствует простой ветвящийся граф состояний системы; параллельному ненагруженному со­единению — простой неветвящийся граф (последователь­наяцепочка состояний). Параллельному нагруженномусоединению соответствует сложный граф треугольной структуры. Приведенные в табл. 2.3 графы состояний при нагруженном дублировании и двукратной избыточ­ности (три параллельно соединенных на логической схе­ме элемента) охватывают часто встречающиеся на прак­тике случаи.

В табл. 2.3 номера состояний обозначены кодом, в котором число знаков равно числу элементов, место знака соответствует номеру элемента, 1 обозначаетра­ботоспособное состояние, 0 обозначает неработоспособ­ное состояние элемента.

При равнонадежных элементах соответствующие гра­фы состояний становятся проще. Особенно значительноупрощается графсостояний, соответствующий параллель­ному нагруженному

соединению на логической схеме. Вместе с тем именно при таком логическом соединении на практике часто применяют одинаковые равнонадежные элементы.

При построении графасостояний целесообразно учитывать типовые структуры

табл. 2.3.

При элементах с различной надежностью система переходит из начального состояния (все элементы работоспособны) к состояниям, каждое из которых соответст­вует неработоспособности одного из элементов, входящих в последовательные или параллельные нагруженные соединения на логической схеме; при этом остальныеэлементы работоспособны. При нагруженном дублирова­нии пути графа сходятся к одному состоянию, соответст­вующему неработоспособности обоих элементов. Состоя­ния, соответствующие неработоспособности элементов ненагруженного резерва, всегда расположены последова­тельно с состояниями, соответствующими неработоспо­собности действующих элементов.

Учитывая эти особенности структуры графа состоя­ний, целесообразно осуществлять переход от логической схемы для расчета надежности к графу состояний в сле­дующей последовательности.

1. В логической схеме для расчета надежности выде­ляют соединения последовательно-параллельные (нагру­женные) и параллельные ненагруженные, объединив элементы в соответствующие подсистемы. Например, для логической схемы рис. 2.3 можно выделить основную (работающую) подсистему, состоящую из первого — третьего элементов, и подсистему в ненагруженном ре­зерве, состоящую из четвертого и пятого элементов.

2. Вначале строят граф состояний последовательно-параллельной подсистемы из п± элементов, начиная с со­стояния, соответствующего работоспособности всех эле­ментов. Каждое следующее состояние получается из пре­дыдущего путем применения следующих правил:

Таблица 2.3

Тип соединения на логической схеме для расчета надежности	Графы состояний
	При элементах различной надежности	При равнонадежных элементах

все неработоспособные для данной подсистемы со­стояния являются конечными;

все работоспособные для данной подсистемы состоя­ния являются промежуточными;каждому промежуточномуi-му состоянию соответст­вуетn_1-i следующих состояний, различающихся нера­ботоспособностью одного из элементов, бывших работо­способными при i-м состоянии системы;

новые состояния добавляются до тех пор, пока все состояния не станут конечными;

одинаковые состояния (т. е. совпадающие по состоя­ниям элементов) объединяются.

3. По данным правилам строят графы состояний раз­дельно для нагруженных (работающих) подсистем и подсистем, находящихся в ненагруженном резерве.

4. Конечные состояния графа состояний нагруженной (работающей) подсистемы являются начальными верши­нами графа состояний для подсистемы, находящейся в ненагруженном резерве. К каждой из этих вершин необходимо подсоединить граф состояний ненагруженного резерва.

На рис. 2.3 приведен пример логической схемы для расчета надежности исоответствующего ей графа состояний.