12.2. Поток вектора . Теорема Гаусса

В электростатике было введено понятие потока вектора напряженности электрического поля. Аналогичное понятие можно ввести для магнитного поля. Потоком вектора магнитной индукции (или магнитным потоком) через элемент площадиdS называется скалярная величина

dФ_В = (,d) = BdS cos= B_n dS,

где  - угол между нормалью к элементарной площадке

dS и вектором магнитной индукции на этой

площадке (см. рис. 12.4, а);

d = dS, =1;

В_n= Всоs - проекция вектора на направление нормали (рис. 12.4, б).

В зависимости от ориентации нормали магнитный поток может быть положительным (при 0 ), отрицательным (при  ) или равным нулю (=).

Рис 12.4.

Полный магнитный поток через поверхность S равен сумме магнитных потоков через все элементы поверхности, то есть

Ф_В = (,d) =В_ndS. (12.3)

Для однородного поля и плоской поверхности:

Ф_В = В_n S =BS cos. (12.4)

Формула (12.4) позволяет определить единицу измерения магнитного потока в системе СИ - вебер (Вб): 1Вб – это магнитный поток, проходящий через плоскую поверхность площадью 1м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией 1Т, то есть

1Вб = 1Т  1м.

Очевидно, магнитый поток пропорционален числу силовых линий вектора магнитной индукции, пронизывающих поверхность: Ф_В  N_В.

Если поместить в магнитное поле замкнутую поверхность S (рис.12.5), то поток через нее будет определяться разностью числа входящих в поверхность и выходящих из нее силовых линий, т.к. входящие линии (N_вх) создают отрицательный поток (угол -тупой), а выходящие (N_вых) -положительный (угол - острый). Результирующий поток через произвольную замкнутую поверхность равен

^~ .

Поскольку линии вектора нигде не прерываются, то N_вх= N_вых,, поэтому

(12.5)

Рис. 12.5

Cоотношение (12.5) выражает теорему Гаусса для магнитного поля: поток магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Эта теорема, применимая для любых магнитных полей, отражает факт непрерывности силовых линий магнитного поля, т.е. отсутствия «магнитных зарядов», на которых бы начинались или заканчивались линии магнитной индукции. От интегральной формы записи теоремы Гаусса (12.5) можно перейти к дифференциальной форме:

di = 0 . (12.6)

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потокоcцеплением  этого контура.

12.3 Магнитное взаимодействие токов. Закон Ампера

Практически сразу после открытия Эрстеда (в том же 1820 году) французский физик А. Ампер установил, что проводники с токами оказывают силовое воздействие друг на друга. В частности, одинаково направленные (параллельные) токи притягиваются, антипараллельные – отталкиваются.

Этот факт истолковывается таким образом: каждый из токов создает магнитное поле, пронизывающее пространство и воздействующее с определенной силой на другой ток. Величина этой силы не зависит от потенциала проводников, ее нельзя экранировать проводящим экраном, значит она не является кулоновской. Кроме того, Ампер заметил, что силовое действие малого отрезка провода с током не зависит от плотности вещества провода, формы его поперечного сечения, электропроводности, температуры и т.п., а зависит лишь от произведения силы тока I на длину малого отрезка проводника в направлении тока. Это произведениеназываетсяэлементом тока.

Модель элемента тока играет в электромагнетизме ту же роль, что и модель точечного заряда в электростатике.

Ампер установил, что сила магнитного взаимодействия двух произвольных элементов тока пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то есть

dF 

Это соотношение выполняется, если размеры элементов тока малы в сравнении с расстоянием r между ними. По форме данное выражение очень напоминает закон Кулона, но в данном случае величина силы dF зависит от взаимной ориентации элементов тока. Кроме того, в отличие от кулоновской, данная сила не является центральной, т.е. ее направление не совпадает с прямой, соединяющей элементы тока. Величина силы dF₁₂, действующей со стороны первого элемента на второй (см. рис. 12.6.), равна

dF₁₂ = k ^, (12.7)

где - угол между векторамии;

- радиус-вектор, направленный от первого элемента ко второму;

- угол между и нормалью к плоскостиS, содержащей векторы и(направлениесовпадает с поступательным движением правого буравчика при вращении его рукоятки в плоскостиS от к);

k -коэффициент, зависящий от выбора системы единиц (в системе СИ k = ,)

(- магнитная постоянная).

Рис. 12.6

Вектор перпендикулярени лежит в плоскости S. Сила, с которой элемент токаI₂действует на элементI₁, выражается формулой, аналогичной (12.8), однако силыи не удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.

Итак, закон Ампера (12.7) выражает величину и направление силы взаимодействия между источниками магнитного поля в виде элементов тока и имеет в системе СИ вид:

Вэтой формуле использовано понятие двойного векторного произведения.

Рис. 12.7

Формулу (12.7) можно использовать для вычисления силы взаимодействия двух параллельных бесконечно длинных проводников с токами I₁ и I₂ (рис. 12.7), находящимися на расстоянии R друг от друга.

Сила взаимодействия двух произвольных элементов dl и l этих проводников численно равна

dF =  sin, (sin =1).

Проинтегрировав это выражение после подставок

sin = cos; r = R /cos; l= R tg ; dl= Rd/cos²

(угол меняется от - до +), получим силу, действующую на единицу длины одного из проводников с током со стороны другого проводника:

(12.8)

Формула (12.8) используется для введения единицы силы электрического тока в системе СИ. Ампер - сила такого постоянного тока, который при прохождении по двум бесконечным параллельным прямолинейным проводникам малого кругового сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1м друг от друга, вызывает силу взаимодействия между ними, равную 210^-7Н на каждый метр длины.