54

Глава 9. Криволинейные и кратные и кратные интегралы

9.1. Интегралы по компактной фигуре

9.1.1. Определение и существование интегралов по фигуре

Компактной фигурой в (n=1,2,3) назовём следующие геометрические объекты:

• отрезок [a, b] числовой прямой;

• спрямляемую кривую конечной длины L на плоскости или в пространстве ;

• область D на плоскости , ограниченную замкнутой кусочно-гладкой кривой;

• ограниченную поверхность в пространстве ;

• ограниченную область в пространстве .

Введем для компактной фигуры общее обозначение .

Диаметром компактной фигуры называется точная верхняя грань расстояний между любыми двумя точками этой фигуры, т.е. , .

Геометрически диаметр фигуры есть наибольшая из её хорд. Если , то фигура стягивается в точку. Таким образом, компактная фигура – это фигура с конечным диаметром d.

Для каждой компактной фигуры определим понятие меры . Если , . Если есть кривая на плоскости или в пространстве, то, то есть длина кривой_, согласно определению, сделанному ранее.

Пусть – область на плоскости Oxy, ограниченная замкнутой кривой. Нанесем на область сетку с помощью двух семейств ортогональных прямых, параллельных осям координатОх и Оу соответственно. Тогда область покроется сетью целых прямоугольников() и некоторыми нерегулярными областями вдоль границы области. Площадь каждого прямоугольникаравна, гдеидлина и высота прямоугольника, а– диаметр прямоугольника. Обозначим.

Площадью области называется пределсуммы площадей элементарных прямоугольников, когда

.

Если этот предел существует, то область называется квадратируемой, а площадь области называется мерой области и обозначается.

Рассмотрим в пространстве замкнутую гладкую поверхность , ограниченную кусочно-гладким контуром. Представьте себе, что эта поверхность при помощи двух семейств ортогональных кривых разбита на сеть элементарных поверхностей(). На каждой частивозьмем произвольную точку(). Элементпроецируем на касательную плоскость, проведенную в точке. В проекции получим плоскую фигурус площадью. обозначим, гдедиаметр.

Площадью поверхности называется пределсуммы площадейпри условии

.

Если этот предел существует, то поверхность называется квадратируемой, а площадь поверхности называется мерой поверхности и обозначается.

Теперь пусть есть область в пространствеOxyz, ограниченная замкнутой поверхностью. Разобьем область семейством плоскостей, параллельных осям координатOx, Oy, Oz. Тогда область разобьется на конечное число параллелепипедов() и некоторое число нерегулярных пространственных областей вдоль поверхности, ограничивающей область. Объем каждого параллелепипедаравен, где,идлина, ширина и высота параллелепипеда. Обозначим черездиаметр параллелепипеда, а.

Объемом пространственной области называется пределсуммы объемов элементарных параллелепипедов, когда

.

Если этот предел существует, то область называется кубируемой, а ее объем называется мерой области и обозначается.

Определение 1. Разбиением компактной фигуры называется множество компактных фигур (i=1, 2, …, n), такое, что никакие две различные фигуры не имеют общих внутренних точек.

Разбиение отрезка (рис.1) разбиение кривой(рис.2), разбиение плоской области(рис.3), разбиение ограниченной поверхности(рис.4) и разбиение ограниченного пространственного тела(рис. 5).

Рис. 1

Рис.2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

М

еру элемента разбиения обозначим . Мерами элементов разбиения будут соответственно , ; ; ; .

Пусть на фигуре задана некоторая функция . Для определения интеграла по фигуре сделаем следующие действия:

1. Выполним некоторое произвольное разбиение фигуры , все элементы которого имеют конечную меру , причем если диаметр элемента разбиения стремится к нулю, то число элементов .

2. На каждом элементе разбиения возьмем произвольную точку .

3. Вычислим значение функции f в каждой точке , получим совокупность значений .

4. Каждое значение умножим на меру соответствующего элемента разбиения и составим сумму:

(1)

Эта сумма называется n-ой интегральной суммой (Римана) функции на _{, которая} соответствует данному разбиению и данному выбору точек . Таких сумм можно получить бесконечно много. Обозначим .

Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм (1), если , что при независимо от выбора точек и способа разбиения выполняется неравенство:

Предел I интегральных сумм (1) при называется интегралом от функции f() по фигуре .

(2)

Если предел (2) существует и не зависит от выбора точек , то функция называется интегрируемой по Риману на компактной фигуре .

Ранее, для определенного интеграла Римана были доказаны свойства сумм Дарбу и свойства интегрируемых функций. Аналогичные теоремы имеют место и здесь. Приведём некоторые из них без доказательства. Пусть функция определена на .

Теорема 1 (необходимый признак). Функция , интегрируемая на компактной фигуре , ограничена на ней.

Теорема 2 (1 достаточный признак). Функция , непрерывная на компактной фигуре с кусочно-гладкой границей, интегрируема на .

Теорема 3 (2 достаточный признак). Функция , непрерывная на компактной фигуре всюду, кроме конечных разрывов на конечном числе гладких кривых или поверхностей составляющих , интегрируема на .

Для каждого типа компактной фигуры интеграл по фигуре имеет своё название и обозначение:

1. Если , то – определённый интеграл Римана.

2. Если , или , то – криволинейный интеграл по длине дуги или криволинейный интеграл I рода.

3. Если и , то – двойной интеграл.

4. Если и , то – поверхностный интеграл I рода.

5. Если , , то – тройной интеграл.