- •Глава 9. Криволинейные и кратные и кратные интегралы
- •9.1. Интегралы по компактной фигуре
- •9.1.1. Определение и существование интегралов по фигуре
- •9.1.2. Свойства интегралов
- •9.1.3. Геометрический и физический смысл интегралов по фигуре
- •9.2. Криволинейные интегралы
- •9.2.2. Криволинейный интеграл iIрода
- •9.3. Двойные интегралы
- •9.3.1. Вычисление двойных интегралов. Основным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к повторным однократным интегралам. Сначала рассмотрим случай прямоугольной области.
- •9.4. Поверхностные интегралы
- •9.4.1. Вычисление поверхностного интеграла Iрода.
- •9.4.2. Поверхностный интеграл iIрода.
- •9.4. Тройные интегралы
- •9.4.1. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •9.5. Интегралы, зависящие от параметра
- •9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
- •9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве. Будем рассматривать интегралы вида:
- •9.6. Контрольные вопросы
- •9.7. Задания для самостоятельной работы
9.3. Двойные интегралы
9.3.1. Вычисление двойных интегралов. Основным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к повторным однократным интегралам. Сначала рассмотрим случай прямоугольной области.
Теорема 11. Пусть для функции в прямоугольнике(рис.12) существует двойной интеграли для каждогосуществует однократный интеграл .
Тогда существует повторный интеграл , причём справедливо равенство
(9)
Разобьём область с помощью точек,и прямых параллельных осям координат начастичных прямоугольников,,.
Положим ,. Обозначимиточные грани функциина частичном прямоугольнике. Тогда всюду в этом прямоугольнике получаем
. (10)
Положим в (10) , гдеи проинтегрируем по переменной. Получим:
.
Теперь суммируя по всем j от 1 до n, получаем:
или
Рис.19
Умножим на и просуммируем по всем от 1 до , тогда
. (11)
Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников стремится к нулю, т.е.. Из определения двойного интеграла, в этом случае части слева и справа в последнем неравенстве стремятся к двойному интегралу. Переходя к пределу в (11) получим, что существует и предел среднего члена. Но этот предел по определению равен
.
Замечание. В теореме 11 можно поменять ролями х и у, т.е. можно предположить существование однократного интеграла , тогда теорема будет утверждать существование повторного интеграла.
Теорема 12. Пусть выполняются следующие условия:
область D ограничена, замкнута и такова, что любая прямая параллельная оси Oy пересекает границу этой области не более чем в двух точках, ординаты которых есть и, где;
существует двойной интеграл ;
существует однократный интеграл (для любого х) ,
тогда существует повторный интеграл , гдеa и b наименьшая и наибольшая абсциссы точек области D тогда справедливо равенство
. (12)
Рис.13
.
Замечание. В теореме 12 можно поменять местами интегралы по переменным и, т.е. предположить, что:
D такова, что любая прямая параллельная оси Ox пересекает границу этой области не более чем в двух точках, абсциссы которых есть и;
функция допускает существование двойного интеграла и (для любогоу) однократного интеграла .
Тогда существует повторный интеграл и справедлива формула
, (13)
где c и d наименьшая и наибольшая ординаты точек области D.
З
Рис.14
.
В каждой такой области применима теорема 12.
Пример 6. Вычислить , если– область, ограниченная кривымии.
Решение. Область является правильной в направлении осит.к. любая прямая параллельная осиимеет одну точку входа и одну точку выхода, причем все точки расположены на параболе, а выход – на прямой(рис. 15), причем. Тогда по формуле (12) будем иметь:
.
Рис.15
Также область является правильной относительно оси, поэтому для вычисления интеграла можно применить и формулу (13). Вэтом случае точка входа расположена на прямой, а точка выхода на параболе,. Получим:
.
Пример 7. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .
Решение. Кривые ,и отрезок прямойограничивают область, изображенную на рис. 16а. Данный повторный интеграл равен двойному интегралу по этой области. Чтобы изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, нужно разбить область на три части, как показано на рис. 16б. Криваяявляется верхней полуокружностью окружности. Решая это уравнение относительно, получим два решения:. В областяхипеременнаяизменяется от 0 до 1, а при каждом значениипеременнаяизменяется в областиот(значениена кривой) до(значениена окружности), а в области– отдо 2. Поэтому получаем
Рис.16
.
Аналогично для области имеем
.
Таким образом, окончательно получаем
.
9.3.2. Формула Грина. Введём предварительно понятия положительной и отрицательной ориентации контура на плоскости. Ориентация контура, т.е. замкнутой кривой, L называется положительной, если при обходе по контуру L область D, ограниченная им, остаётся слева (такой обход обычно называют обходом контура против часовой стрелки). В противном случае ориентация считается отрицательной. Обозначать положительную ориентацию контура будем , а отрицательную –.
Будем называть область D простой относительно оси Оу, если её граница состоит из двух непрерывных на функцийи, где, и может быть из отрезков прямыхи. Аналогично определяется область простая относительно осиОх.
Область D, ограниченная кусочно-гладким контуром L, называется простой, если её можно разбить на конечное число простых областей относительно обеих осей координат.
Теорема 13. Если область D простая, ограниченная контуром , а векторная функциянепрерывна вместе с частными производнымиив, то имеет место формула Грина
. (14)
Докажем формулу для простой области относительно оси Оу и оси Ох.
Сведём двойственный интеграл к повторному интегралу:
. (15)
Определённый интеграл можно заменить криволинейным интегралом по кривойNKM (рис.17):
.
А
.
Н
Рис.17
.
Р
Рис.18
.
Т.к. , то, в силу аддитивности интеграла слева, имеем:
.
Каждый из контурных интегралов перепишем в виде
,
.
Так как , тогда, складывая, получаем
.
Таким образом, формула Грина справедлива в случае . Для случая справедливость доказывается аналогично.
Замечание 1. Формула Грина остаётся справедливой и при более общих предположениях, когда функции и Q непрерывны в замкнутой области , а и непрерывны в открытой области.
Замечание 2. Формула Грина справедлива и для многосвязной области D, ограниченной объединением кусочно-непрерывных . Для этого область превратим в односвязную (рис. 26). Для неё справедлива формула Грина, но криволинейный интеграл по и взаимно уничтожится.
З
Рис.26
Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл:
,
где кривая АО – верхняя полуокружность ,,
(рис. 19).
Рис.19
Так как , то по формуле Грина находим,
где область – верхняя половина круга радиуса. Поэтому
.
Вычислим интеграл по отрезку ОА оси Ох. Учитывая, что на этом отрезке ,, получим. Таким образом,.
9.3.3. Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемое, взаимно-однозначное отображение односвязной области G переменных (u,v) на односвязную область D переменных (x,y):
и (16)
При этом пусть обратное отображение непрерывно дифференцируемо. В силу теоремы об отличии от нуля якобианов таких отображений, якобиан этого отображения отличен от нуля
.
Предположим, что область простая вдоль оси Ох: .
Пусть – граница области , является простым замкнутым контуром, ограничивающим . – образ контура при отображении (16), при этом – образ замкнутой области .
Будем считать, что замкнутые области и , таковы, что можно пользоваться формулой Грина. Пусть функция непрерывно дифференцируемая в области . Выберем функцию так, чтобы , где . Например, пусть , где – непрерывно дифференцируемая функция на интервале , которая удовлетворяет условию . Воспользовавшись формулой Грина при , получим
. (17)
В криволинейном интеграле, стоящем в правой части формулы (17), сделаем замену переменных по формулам (16):
.
Теперь, стоящий справа криволинейный интеграл, снова преобразуем по формуле Грина:
.
Таким образом, из последней формулы и формул (16) и (17) имеем
.
Знак «+» берётся перед двойным интегралом в том случае, если граница проходится в положительном направлении, и знак «–», когда в отрицательном. Направление обхода определяется якобианом . Можно показать, что, если в области , то проходится в положительном направлении, если , то в отрицательном. Тогда
. (18)
Эта формула называется формулой замены переменных в двойном интеграле.
Наиболее распространённая замена на практике заключается в переходе к полярным координатам по формулам: ,,. Якобиан этого отображения равен
,
тогда переход к вычислению интеграла в полярной системе координат осуществляется по формуле:
.
Замечание. Полагая в формуле (18) и пользуясь теоремой о среднем, получим
, где ,
или
.
Отсюда следует, что модуль якобиана есть средний коэффициент изменения площади при отображении (16).
Пример 8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
; ;.
Пример 9. В двойном интеграле , где– круг, ограниченный окружностью, перейти к полярным координатам с полюсом в точкеи вычислить полученный интеграл.
Решение. Круг , изображен на рис. 20а. Уравнения, связывающие и полярные координатыс полюсом в точкеимеют вид:,. При этом. Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид. Его решением являетсяи. Эти две кривые на плоскостиприограничивают область(рис. 20б), являющуюся прообразом области . Якобианна границеобласти. Подынтегральная функцияв новых переменных равна.
Рис.20
Получаем
.