- •В.М. Полунин, г.Т.Сычев
- •Физические основы механики
- •Конспект лекций
- •Содержание
- •От авторов
- •Лекция 1. Вводная
- •Лекция 2. Элементы кинематики
- •2.1. Механика и ее разделы. Физические модели: материальная точка (частица), абсолютно твердое тело (система материальных точек), сплошная среда
- •2.2. Пространственно-временные отношения. Развитие представлений о свойствах пространства и времени в механике
- •2.3. Системы отсчета и описание движений. Элементы кинематики материальной точки: перемещение, скорость и ускорение
- •2.4. Элементы кинематики материальной точки и тела, совершающих вращательное движение: угол поворота, угловые скорость и ускорение. Их связь с линейной скоростью и линейным ускорением
- •2.5. Гармонические колебательные движения и их характеристики: смещение, амплитуда, период, частота, фаза, скорость и ускорение
- •2.6. Методы сложения гармонических колебаний. Векторные диаграммы. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения
- •2.7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •Лекция 3.Элементы динамики материальной точки и твердого тела
- •3.2. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета
- •3.3. Описание движения в неинерциальных системах отсчета
- •3.3.1. Силы инерции при ускоренном движении системы отсчета
- •3.3.2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета
- •3.3.3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (сила Кориолиса)
- •Силы инерции, возникающие в неинерциальной системе отсчета в зависимости от состояния частицы
- •3.5. Основной закон динамики вращательного движения
- •3.6. Сопоставление формул динамики вращательного и динамики поступательного движений
- •Сопоставление формул динамики поступательного движения и динамики вращательного движения
- •Лекция 4. Физика колебаний. Гармонический осциллятор. Нормальные моды
- •4.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение
- •4.2. Примеры гармонических осцилляторов. Физический, математический и пружинный маятники. Определение их периодов и частот
- •4.2.1. Пружинный маятник
- •4.2.2. Физический и математический маятники
- •4.3. Свободные (затухающие колебания). Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Характеристики затухающих колебаний
- •4.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Лекция 5.Ангармонические колебания
- •5.1. Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность
- •5.2. Автоколебания. Обратная связь. Условие самовозбуждения. Роль нелинейности. Предельные циклы
- •Лекция 6. Физика волн. Волновые процессы
- •6.1. Кинематика и динамика волновых процессов. Плоская стационарная и синусоидальная волна
- •6.2. Уравнение плоской волны
- •6.3.Волновое уравнение
- •6.4. Интерференция волн. Стоячие волны
- •Лекция 7.Энергия, работа, мощность
- •7.1. Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл
- •Из (7.1) следует, что при
- •7.1.1. Работа, совершаемая внешними силами при вращательном движении относительно неподвижной оси
- •7.2. Мощность
- •Различают мгновенную мощность и среднюю мощность.
- •Поскольку
- •7.3. Энергия как универсальная мера различных форм движений и взаимодействий
- •7.4. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе
- •7.5. Энергия системы, совершающей вращательное движение
- •Подставив значение VI в (7.35) будем иметь
- •То есть работа внешних сил, действующих на вращающуюся относительно неподвижной оси материальную точку (тело, систему), равна изменению кинетической энергии:
- •7.6. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Потенциальная энергия и устойчивость системы
- •7.6.1. Связь между потенциальной энергией и силой
- •7.6.2. Внутренняя энергия
- •7.6.3. Силовые поля. Поле как форма существования материи. Поле как форма существования материи осуществляющая силовое взаимодействие между материальными объектами. Характеристики силовых полей
- •Второй характеристикой силового потенциального поля является потенциал.
- •7.6.4. Потенциальная энергия материальной точки (тела, системы) во внешнем силовом поле
- •7.6.5. Поле центральных сил. Движение в поле центральных сил
- •Элементарная работа по перемещению массы на элементарном отрезке dr:
- •Из полученного соотношения видно:
- •В случае, когда сила притяжения будет равна центростремительной силе, то
- •Подставляя значения vа и vп в формулу (7.41), будем иметь
- •Подставив в формулу (7.83) значения r и V, будем иметь t 92 мин.
- •7.7. Энергия упругой деформации
- •7.8. Энергия системы, совершающей колебательное движение
- •Кинетическая энергия системы, совершающей гармоническое колебание, находится по формуле
- •Лекция 8. Законы сохранения в механике
- •8.1. Закон сохранения энергии в механике
- •8.1.1. Общефизический закон сохранения энергии
- •8.1.2. Закон сохранения и превращения механической энергии
- •8.2. Закон сохранения импульса. Центр инерции. Закон движения центра инерции
- •8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов
- •В векторной форме
- •8.4. Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям (удару)
- •8.4.1. Абсолютно неупругий удар шаров
- •Лекция 9. Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика
- •9.1. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике
- •9.2. Постулаты и представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности
- •9.3. Преобразования Лоренца для координат и времени
- •9.4. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.4.1. Закон сложения скоростей в теории относительности
- •9.4.2. Сокращение движущихся масштабов длин
- •9.4.3.Замедление хода движущихся часов
- •Лекция 10.Релятивистская динамика
- •10.2. Четырехмерное пространство - время. Преобразования в четырехмерном пространстве
- •10.2.1. Основные понятия
- •10.2.2. Кинематика четырехмерного пространства-времени
- •10.2.3. Динамика четырехмерного пространства-времени
- •10.3. Столкновения релятивистских частиц. Законы сохранения энергии и импульса
- •10.4. Значение теории относительности
- •Библиографический список Основной
- •Дополнительный
- •Физика Физические основы механики Конспект лекций
Лекция 5.Ангармонические колебания
Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность. Автоколебания. Условие самовозбуждения колебаний. Роль нелинейности. Предельные циклы.
5.1. Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность
Известно, что осциллятор - физическая система, совершающая колебания. Термином "осциллятор" пользуются для любой системы, если описывающие ее величины периодически меняются со временем.
Классический осциллятор - механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия (например, маятник, груз на пружине). В положении равновесия потенциальная энергия U системы имеет минимум. Если отклонения x от этого положения малы, то в разложении U(x) по степеням x можно принять
, (5.1)
где k - постоянный коэффициент.
При этом квазиупругая сила
F = -dU/dx = - kx. (5.2)
Такие осцилляторы называются гармоническими, их движение описывается линейным уравнением
, (5.3)
решение которого имеет вид
x = A sin (t + ), (5.4)
где m - масса осциллятора;
A - амплитуда колебаний;
= - циклическая частота;
- начальная фаза колебаний;
t - время.
Полная энергия гармонического осциллятора
(5.5)
является суммой периодически меняющихся в противофазе кинетической (Т) и потенциальной (U) энергий, независящей от времени:
W = T + U. (5.6)
Когда отклонение x нельзя считать малым, в разложении U(x) необходим учет членов более высокого порядка - уравнения движения становятся нелинейными, т. е. такими, в которых переменные и их производные входят в высших степенях, например - в третьей степени. Это внесло математические затруднения в решении этих и подобных им проблем.
Примером такого уравнения может служить уравнение генератора электромагнитных волн
, (5.7)
которое содержит третью степень производной от y.
Голландский физик Ван дер Поль в ряде работ (с 1920 г.) дал приближенные решения некоторых нелинейных уравнений и тем самым положил начало изучению нелинейных колебаний.
Большой вклад в развитие теории нелинейных колебаний внес А.А. Андронов (1901 -1952), академик, профессор Горьковского университета.
Осцилляторы, удовлетворяющие нелинейным уравнениям, называют нелинейными или ангармоническими.
Понятие осциллятор применяется также к немеханическим колебательным системам. В частности, колебательный контур является электрическим осциллятором. Колебания напряженностей электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне также можно описывать с помощью понятия осциллятор.
В квантовой механике задача о линейном (с одной степенью свободы) гармоническом осцилляторе решается с помощью уравнения Шредингера (с U= kx2/2). Решение существует лишь для дискретного набора значений энергии
, (5.8)
где n = 1, 2, ...
Важной особенностью энергетического спектра осциллятора является то, что уровни энергии Wn расположены на равных расстояниях. Так как правила отбора разрешают в данном случае переходы только между соседними уровнями, то (хотя квантовый осциллятор имеет набор собственных частот n = 2∙Wn/h) излучение его происходит на одной частоте , совпадающей с классической = (k/m)1/2. В отличие от классического осциллятора возможное наименьшее значение энергии (при n = 0) квантового осциллятора равно не нулю, а h/4 (нулевая энергия).
Понятие осциллятор играет важную роль в теории твердого тела, электромагнитного излучения, колебательных спектров молекул.
Нелинейные системы - колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов.
Нелинейными являются: механические системы, в которых модули упругости тел зависят от деформаций последних или коэффициент трения между поверхностями тел зависит от относительной скорости этих тел (скорости скольжения); электрические системы, содержащие сегнетоэлектрики, диэлектрическая проницаемость которых зависит от напряженности электрического поля.
Указанные зависимости в механических системах приводят соответственно либо к нелинейности связей между напряжениями и деформациями (нарушению закона Гука), либо к нелинейной зависимости сил трения от скорости скольжения, либо к нелинейной связи между действующей на тело силой и сообщаемым ему ускорением (если при этом скорость тела меняется по величине). Каждая из этих нелинейных связей приводит к тому, что дифференциальные уравнения, описывающие поведение нелинейных систем, оказываются нелинейными. Поэтому и системы называются нелинейными.
Все физические системы являются нелинейными. Поведение нелинейных систем существенно отличается от поведения линейных систем. Одна из наиболее характерных особенностей нелинейных систем - нарушение в них принципа суперпозиции.