7.6.5. Поле центральных сил. Движение в поле центральных сил

Примером центрального силового поля, т.е. такого, в котором силы действуют вдоль прямой, соединяющей центры взаимодействующих масс, является поле тяготения.

При движении тела ( материальной точки, системы ) в поле тяготения силы, действующие со стороны поля, совершают работу. Так как величина силы зависит от положения тела, то величина работы определяется только начальным и конечным положениями системы и не зависит от формы траектории, по которой происходило перемещение этого тела. В этом легко убедиться, рассчитав работу сил тяготения по перемещению некоторой массы, начальное положение которой определяется радиус-вектором r₁, a конечное - радиус-вектором r₂.

Элементарная работа по перемещению массы на элементарном отрезке dr:

dA = Fdr = Fdrcos = - F_rdr. (7.68)

Знак «минус»указывает на то, что перемещение происходит в направлении, противоположном направлению действующей силы.

Работа по перемещению этой массы из положения, определяемого радиус-вектором r₁, в положение, определяемое радиус-вектором r₂:

. (7.69)

Из полученного соотношения видно:

1) если взаимодействующие тела приближаются друг к другу, то работа положительна (A>0) - работа совершается силами тяготения;

2) если взаимодействующие тела удаляются друг от друга, то работа отрицательна (A<0) - работа совершается против сил тяготения;

3) если r₁ = r₂, то работа A = 0, т.е., действительно, она не зависит от формы траектории, по которой, например, приближается (удаляется) одно тело по отношению к другому.

Рассмотрим характер движений, которые могут совершать некоторые массы M и m (M>>m) под влиянием только сил тяготения.

Так как M>>m, то тело, масса которого равна M, практически неподвижно, т.к. ускорение, сообщаемое ему телом, масса которого m, мало. Таким образом, задача сводится к определению характера движения тела массой m. Решение этой задачи, приближенно, определяет движение планет солнечной системы вокруг Солнца или движение спутников вокруг планет.

При скорости движения тела v₀<<с для рассматриваемого случая оказывается справедливым второй закон Ньютона: F = ma. С другой стороны, между массами действует численно равные силы тяготения . Следовательно, уравнение движения массы m будет иметь вид

. (7.70)

Откуда

. .(7.71)

Полученное ускорение, значение которого определено, направлено к центру большей массы. Интегрируя выражение (7.71), можно найти уравнение траектории движения массы m для различных начальных условий. В зависимости от них тело может двигаться по эллипсу, параболе или гиперболе.

В случае, когда сила притяжения будет равна центростремительной силе, то

. (7.72)

Ускорение, сообщаемое телу массой m – центростремительное. Тело движется по окружности, радиус которой r = r₀. Если v₀ не удовлетворяет условию (7.72), то при определенных условиях оно движется по замкнутой траектории - эллипсу, в одном из фокусов которого находится тело массой M. В этом случае в перигелии «П» и афелии «А» силы тяготения перпендикулярны орбите и тело будет испытывать только центростремительное ускорение

, (7.73)

где r - радиус кривизны траектории в точках «П» и «А».

Скорость в перигелии больше, чем в афелии, т.к. момент импульса относительно оси, проходящей через центр притягивающего тела перпендикулярно плоскости орбиты, должен оставаться постоянным. Значение скоростей тела в перигелии и афелии определяются следующими соотношениями:

; . (7.74)

Используя закон сохранения и превращения механической энергии, можно определить значение начальной скорости тела, орбита которого разомкнутая (не замкнутая).

На основании закона сохранения механической энергии W_а=W_п, где

(7.75)