5.2. Закон больших чисел и предельные теоремы

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Или иначе: При большом числе случайных величин их средней результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Среднее квадратическое отклонение ошибок выборки

, (5.7)

. (5.8).

Зная выборочную среднюю и предельную ошибку выборкиможно определить границы, в которых размещена генеральная средняя.

Предельная ошибка выборки может быть определена по формуле

.

Величина дисперсии генеральной совокупности принципиально не известна и можно говорить лишь о ее оценке по результатам одной выборки.

–для простой случайной выборки.

Выборочное наблюдение

Наименование показателя	Вид выборки
	повторная	бесповторная
Случайная выборка Средняя ошибка
Средняя ошибка доли признака
Объем выборки
Типическая выборка Средняя ошибка
Объем выборки
Серийная выборка Средняя ошибка
Объем выборки

Величина ошибки зависит от колеблемости признака в генеральной совокупности и от объема выборки. Т.е. чем больше вариация тем больше ошибка, чем больше выборка, тем меньше ошибка. Величину называют предельной ошибкой выборки. Следовательно, предельная ошибка выборки, т.е. предельная ошибка равнаt-кратному числу средних ошибок выборки.

t– коэффициент доверия

n – объем выборки;

N – объем генеральной совокупности;

s - число отобранных серий;

S – общее число серий;

- средняя из групповых дисперсий;

- межгрупповая дисперсия.

5.3 Формы организации выборочного наблюдения

Типическая (стратифицированная) выборка: общий список разбивается на отдельные списки (однородной группы). Общий объем выборки n разбивается пропорционально между списками:

1-й вариант

, (5.24)

где n – объем выборки

N – объем генеральной совокупности

n_i – число наблюдений из i-ой типической группы

N_i – объем i-ой типической группы в генеральной совокупности.

2-й вариант – равномерный (из каждой группы поровну)

, (5.25)

где k – число групп.

3-й вариант – оптимальный (для групп с большей вариацией признака объем наблюдений увеличивается)

. (5.26)

Серийная (гнездовая) выборка – в случайном порядке отбираются серии сплошного контроля. Тогда в сериях определяется без случайной ошибки. При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки определяется

,(5.27)

где s – число серий;

δ – межгрупповая дисперсия.

При бесповторном отборе

, (5.28)

где S – общее число серий в генеральной совокупности.

Механическая выборка – при ранжировании генеральной совокупности устанавливается шаг отбора в зависимости от предполагаемого % отбора. Если совокупность не ранжирована, то это случайный отбор, т.е. по известным формулам.

, (5.29)