Практикум (лабораторный)

Лабораторная работа №1. Частотный анализ в базисе Фурье

Требования к содержанию, оформлению и порядку выполнения

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать все выполненные задачи и ответы на контрольные вопросы.

Теоретическая часть

Для выполнения всех лабораторных работ можно воспользоваться любой программной системой, позволяющей анализировать оцифрованные сигналы. В данном учебном пособии используются программная система MATLAB.

Моделирование сигналов

Гармонический сигнал описывается выражением

x(t)=Xmsin(t+),

где Xm– амплитуда сигнала,

=2f– циклическая частота,

 - начальная фаза колебания.

T=1/f– период гармонического сигнала.

При моделировании случайногосигнала в системеMatLabиспользуются следующие функции:

X = rand(n) – функция, которая формирует массив размера nn, элементами которого являются случайные величины, распределенные по равномерному закону в интервале (0, 1);

X = rand(m, n) – функция, которая формирует массив размера mn, элементами которого являются случайные величины, распределенные по равномерному закону в интервале (0, 1);

X = randn(n) – функция, которая формирует массив размера nn, элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону, то есть с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1;

X = randn(m, n) – функция, которая формирует массив размера mn, элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону.

При цифровой обработке сигналов часто приходится рассчитывать такие статистические характеристики сигналов, как математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Из теории вероятностей и математической статистики известно, что

- математическое ожидание сигнала; (1.1)

- дисперсия сигнала; (1.2)

- среднеквадратическое отклонение сигнала. (1.3)

Частотный анализ в базисе Фурье

Для реализации частотного анализа можно воспользоваться дискретным прямым (1.1) и обратным (1.2) преобразованиями Фурье для одномерного массива xдлиныNопределяются следующим образом:

(1.4)

(1.5)

Для вычисления трансформант Фурье необходимо определить вещественную (косинусную) и мнимую (синусную) части. Тогда амплитуда определяется по формуле 1.3, фаза по 1.4 и энергия по формуле 1.5.

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Общая постановка задачи

1. Рассчитать значения и построить график гармонического сигнала x₁(t) со следующими параметрами (значения параметров выбрать по номеру варианта):

f₁– частота

Xm₁– амплитуда

Определить:

N – количество отсчетов сигнала

n– количество значений на периоде.

2. Рассчитать Nзначений и построить график сигналаx₂(t) со следующими параметрами:f₂=3f₁,Xm₂=1/2*Xm₁, со сдвигом фазы относительноx₁(t) равным. Вывести сигналы на одном графике.

3. Рассчитать Nзначений и построить график сигналаx₃(t)=x₁(t)+x₂(t).

4. Рассчитать Nзначений и построить график случайного сигнала с нормальным распределениемx₄(t), длительностьюtс амплитудой 1/8*Xm₁.

5. Рассчитать Nзначений и построить графики сигналовx₅(t)=x₁(t)+x₄(t) иx₆(t)=x₃(t)+x₄(t).

6. Рассчитать математическое ожидание и дисперсию всех сигналов.

7. Рассчитать и построить частотные характеристики всех полученных сигналов (амплитудные, фазовые, энергетические). Пояснить результаты расчетов.

8. Изменяя длительность сигнала (5, 10, 20, 50 периодов) исследовать характер изменения частотной характеристики сигнала (энергетический спектр). Сделать выводы.