Модуль кручения стержней

Определение модуля кручения стержней статическим и динамическим методами

Если один конец длинного однородного стержня закрепить, а к другому приложить закручивающий момент сил М, то этот конец повернется на угол , причем, согласно закона Гука:

. (1)

Постоянная величина носит название модуля кручения. Модуль кручения связан с модулем сдвига материала стержня G соотношением:

, (2)

где r – радиус, а L – длина стержня. Отметим, что простая линейная зависимость между величинами М и , даваемая формулой (1), имеет место только при сравнительно небольших значениях М. В общем случае зависимость может быть не только нелинейной, но и неоднозначной.

I. Определение модуля кручения стержня статическим методом

Принадлежности: исследуемый стержень, отсчетная труба со шкалой, рулетка, микрометр, набор грузов.

Экспериментальная установка изображена на рис.1. верхний конец вертикального стержня С жестко закреплен на стойке, а нижний соединен с диском Д. Момент М, закручивающий стержень, создают две навитые на диск и перекинутые через блоки Б нити, к концам которых подвешиваются одинаковые грузы Г. Диск снабжен зеркальцем З. Для определения угла закручивания стержня надо зрительную трубу направить на зеркальце и добиться того, чтобы в нее было видно отражение шкалы, укрепленной на том же штативе, что и труба. Наблюдая через трубу за смещением видимого участка шкалы при закручивании стержня, можно определить угол закручивания .

Рис.1. Схема установки для

определения модуля кручения

Измерения

1. Установите зрительную трубу таким образом, чтобы в нее было четко видно отражение шкалы в зеркальце З.

2. Увеличивая нагрузку на нитях Н, снимите зависимость . Проделайте эксперимент в обратном порядке, постепенно уменьшая величину закручивающего момента. Весь комплекс измерений проделайте не менее трех раз.

3. Результаты эксперимента изобразите графически в координатах . При помощи этих графиков определите величину ƒ и оцените допущенную при этом погрешность.

4. Используя формулу (2), вычислите модуль сдвига G. Сверьте полученное таким образом значение с табличным.

II. Определение модуля сдвига при помощи крутильных колебаний

Принадлежности: проволока из исследуемого материала, грузы, секундомер, микрометр, рулетка, масштабная линейка.

Экспериментальная установка состоит из длинной вертикально висящей проволоки, к нижнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень с двумя симметрично расположенными грузами. Их положение на стержне можно фиксировать.

Верхний конец проволоки зажат в цангу и при помощи специального приспособления вместе с цангой может проворачиваться вокруг вертикальной оси. Таким образом в системе можно возбудить крутильные колебания. Запишем для этого случая уравнение движения:

. (3)

Здесь М – момент сил, обязанный своим происхождением упругим деформациям, J – момент инерции стержня с грузами, - угол поворота стержня.

Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момента сил М можно воспользоваться законом Гука в форме (1). Момент М в этом случае вызван деформацией проволоки и стремиться уменьшить, а не увеличить угол . В формуле (1) необходимо поэтому переменить знак. После подстановки (1) формула (3) приобретет вид:

. (4)

; отсюда:

, (5)

где амплитуда и фаза определяются начальными условиями. Таким образом, является угловой частотой крутильных колебаний стержня, период Т которых равен:

. (6)

Следует заметить, что последняя формула получена для незатухающих колебаний, в то время как на самом деле колебания стержня затухают. Если, однако, затухание невелико, т.е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (6) можно пользоваться. Критерием ее применимости служит неравенство:

п > > 1, (7)

где п – число полных колебаний, после которого амплитуда уменьшается в 2-3 раза.

Отметим, что период Т, как видно из формулы (6), не зависит от амплитуды . Однако при больших амплитудах закон Гука нарушается, и такая зависимость может проявиться. Таким образом, вторым условием применимости описываемого метода является соблюдение равенства:

T = const. (8)

Измерения

1. Прежде всего установите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (8). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе крутильные колебания. Измеряя время нескольких (не менее 10-ти) полных колебаний, найдите период Т₁. уменьшая амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т₂. если Т₁ = Т₂, то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду не больше первой. Если же окажется, что , то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения , начиная с которого для всех < будет справедливо равенство Т₁ = Т₂.

2. Проверьте справедливость неравенства (7).

3. Установив грузы так, чтобы их центры масс находились на некотором расстоянии L₁ от оси системы, измерьте период, как описано выше. Если J – момент инерции без грузов, а J₁ – момент инерции грузов, то, очевидно:

. (9)

Изменив расстояние грузов до величины L₂, аналогично получим:

. (10)

Из (9) и (10) следует:

,

где 2т – масса двух грузов. Масса одного груза 550 г.

Определение величины ƒ проведите для нескольких (не менее 5-ти) пар значений L₁ и L₂. величину ƒ можно также найти из наклона прямой в графике, по осям которого отложены L² и Т². разработка этого вопроса предоставляется читателю.

4. Зная ƒ, найдите значение модуля сдвига G по формуле (2) и оцените допущенную при этом погрешность.

Контрольные вопросы

1. Выведите формулу (2).

2. При определении модуля сдвига статическим способом зависимость рекомендуется снять как при возрастающих, так и при убывающих значениях М. Почему? Совпадут ли оба полученные таким образом результаты, если трение в осях блоков Б будет значительным?

3. При определении модуля сдвига динамическим способом указывалось, что период колебаний не зависит от амплитуды только при сравнительно небольших значениях последней. Объясните качественно, как будет меняться период при возрастании амплитуды?

4. Какому методу определения G вы отдадите предпочтение на практике, статическому или динамическому?

5. Как при динамическом определении G измерить величины L₁ и L₂? Имеет ли смысл выбирать их малыми?

6. Как оценить ошибку измерений по графику зависимости Т² от L²?

Список литературы

1. И.В.Савельев. Курс общей физики. т.1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М. Наука,1973. §§ 38,39,64,86.

2. С.П.Стрелков. Механика. М. Наука, 1965. §§82,84,86.

3. С.Э.Хайкин. Физические основы механики. М. Наука, 1971. §§89,106,108,136,137.