матан 3 курс 2013 / лекции / Визначений інтеграл / лекция № 14

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 14

з теми: «Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.08 Визначений інтеграл

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.

Мета:

• Дидактична: навчитись застосовувати таблицю первісних для знаходження інтеграла Ньютона – Лейбніца, володіти методами інтегрування, досліджувати функцію на інтегрованість за Ріманом, застосовувати інтеграл Рімана при розв'язанні задач геометрії, механіки та фізики.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення первісної, визначення невизначеного інтегралу, таблиця інтегралів основних елементарних функцій, класи функцій, що інтегруються, методи інтегрування. Визначення границі функції в точці, властивості границі функції в точці. Визначення інтегралу Рімана, формула Ньютона-Лейбніца.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат –визначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання.

Конспект лекції № 14.

Тема: Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.

План лекції № 14.

1. Формула заміни змінного у визначеному інтегралі.

2. Формула інтегрування за частинами.

Нехай функції ƒ(x) та g(t) визначені відповідно на проміжках Δта Δ, причому g(Δ) Δ. Тоді має смисл композиція функцій ƒ(g(х)).

Теорема(формула заміни змінного у визначеному інтегралі)

Нехай функції ƒ(x) неперервна на проміжку Δ, а функція g(t) неперервна разом із своєю похідною на проміжку Δ, то ƒ(g(t))g′(t)dt = ƒ(х)dx, де α Δ, β Δ, а = g(α), b = g(β).

Теорема (формула інтегрування за частинами для визначеного інтеграла)

Якщо функції u(х) та v(х) неперервні разом із своїми похідними на відрізку [a, b], то udv = uv - vdu.

Обчислення визначених інтегралів здійснюється за формулами і правилами знаходження невизначених інтегралів із наступним використанням формули Ньютона-Лейбніца. Розглянемо деякі з них.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Нехай функції і неперервно диференційовні на відрізку , тобто і - неперервні функції. Тоді

або

Інтегруючи цю рівність в межах від до , одержимо

Звідси одержимо формулу інтегрування частинами

(2.5)

Приклад. Знайти інтеграл.

.

Заміна змінної у визначеному інтегралі.

Заміна змінної у визначеному інтегралі здійснюється як і у випадку невизначеного інтеграла з тим додатком, що із підстановки визначаються нові межі інтегрування. Старі і нові межі інтегрування зв’язані рівностями , . Формула інтегрування у даному випадку матиме вигляд

Приклад. Обчислити інтеграл.

=

;