- •2.16. О расчете цепей синусоидального тока
- •2.17. Резонансы в электрических цепях
- •2.18. Энергия и мощность в цепи синусоидального тока
- •3. Цепи с взаимной индуктивностью
- •3.1. Явление взаимной индукции
- •3.2. Последовательное соединение индуктивно связанных элементов
- •161 Ом, 92,1 Ом.
- •0,156 Гн.
- •3.4. Разметка зажимов индуктивно связанных катушек
- •3.5. Сложная цепь с взаимной индуктивностью
- •3.6. Эквивалентная замена индуктивных связей
- •3.7. Трансформатор без стального сердечника
- •Список литературы
Пример 2.19. Определить эквивалентные активное и реактивное сопротивления цепи, если мгновенные значения напряжения и тока на ее входных зажимах соответственно равны
В, А.
Р е ш е н и е.
Ом,
т.е. R = 40 Ом, x = 30 Ом.
Знак минус перед мнимой частью комплексного сопротивления говорит о том, что суммарное реактивное сопротивление цепи носит емкостный характер. Это видно и из условия задачи. Ток опережает напряжение, его начальная фаза больше.
Пример 2.20. Определить комплексную проводимость цепи, состоящей из последовательно соединенных активного R и реактивного x сопротивлений.
Решение.
где , .
2.16. О расчете цепей синусоидального тока
Как следует из изложенного теоретического материала и приведенных примеров, при анализе цепей синусоидального тока широко применяются векторные диаграммы и комплексные числа. Сами по себе векторные диаграммы зачастую служат для иллюстрации результатов теоретических исследований и решения задач. Они помогают лучше понять сущность изучаемых процессов и наглядно представить соотношения и связи напряжений и токов на различных участках с параметрами цепи.
Во многих случаях векторные диаграммы, построенные предварительно по изложенным выше правилам без каких-либо вычислений, являются основой для вывода из них конкретной методики решения данной задачи. Возможны также привязка векторной диаграммы к комплексным осям, выражение векторов комплексными числами и дальнейший расчет в символической форме. Принципиального отличия между методом векторных диаграмм и символическим нет. Как мы видели раньше, за аналитическими действиями с комплексными числами кроются определенные геометрические операции с векторами.
Следует также помнить, что никакого физического содержания векторы и комплексные числа в себе не несут. Это чисто математические абстракции, необходимые для анализа.
Символический метод базируется на законах Ома и Кирхгофа, которые в символической форме записываются точно так же, как в цепях постоянного тока. Поэтому все изложенные ранее методы расчета цепей постоянного тока, вытекающие из этих законов, применимы и для расчета в символической форме цепей синусоидального тока.
Пример 2.21. Рассчитать комплексные сопротивления цепей, изображенных на рис. 2.39, а и б.
Решение. Сопротивление каждой ветви записываем в символической форме и применяем формулу, известную из теории цепей постоянного тока.
Для схемы, изображенной на рис. 2.39, а:
Ом, Ом,
Смысл полученного результата заключается в том, что рассматриваемая параллельная цепь может быть заменена эквивалентной последовательной с активным сопротивлением 19,2 Ом и индуктивным 14,4 Ом.
Для схемы на рис. 2.39, б:
Ом.
Пример 2.22. Рассчитать цепь, приведенную на рис. 2.40.
Р е ш е н и е. Находим комплексные сопротивления участков:
Ом,
Ом,
Ом
Ом
Определяем комплексные токи ветвей:
А,
А,
А.
Численные значения токов:
А, А, А.
Для проверки правильности расчета используем первый закон Кирхгофа в символической форме .
Смотрим: А.
В пределах точности расчета закон выполняется.
2.17. Резонансы в электрических цепях
Резонансом называют режим, когда в цепи, содержащей индуктивности и емкости, ток совпадает по фазе с напряжением. Входные реактивные сопротивление и проводимость равны нулю: x = ImZ = 0 и B = ImY = 0. Цепь носит чисто активный характер: Z = R; сдвиг фаз отсутствует (j = 0).
В цепи, содержащей последовательно соединенные участки с индуктивным и емкостным характерами сопротивлений, резонанс называется резонансом напряжений. Рассмотрим простейшую цепь такого вида (рис. 2.23), которую часто называют последовательным контуром. Для нее резонанс наступает при x = xL – xC = 0 или xL = xC, откуда
(2.33)
Напряжения на индуктивности и емкости в этом режиме равны по величине и, находясь в противофазе, компенсируют друг друга. Все приложенное к цепи напряжение приходится на ее активное сопротивление (рис. 2.42, а).
Рис. 2.42. Векторные диаграммы при резонансе напряжений (а) и токов (б)
Напряжения на индуктивности и емкости могут значительно превышать напряжения на входе цепи. Их отношение, называемое добротностью контура Q, определяется величинами индуктивного (или емкостного) и активного сопротивлений
.
Добротность показывает, во сколько раз напряжения на индуктивности и емкости при резонансе превышают напряжение, приложенное к цепи. В радиотехнических цепях она может достигать нескольких сотен единиц.
Из условия (2.33) следует, что резонанса можно достичь, изменяя любой из параметров – частоту, индуктивность, емкость. При этом меняются реактивное и полное сопротивления цепи, а вследствие этого – ток, напряжение на элементах и сдвиг фаз. Не приводя анализа формул, показываем графические зависимости некоторых из этих величин от емкости (рис. 2.43). Емкость , при которой наступает резонанс, можно определить из формулы (2.33):
.
Если, например, индуктивность контура L = 0,2 Гн, то при частоте 50 Гц, резонанс наступит при емкости
мкФ.
Рис. 2.43. Зависимости параметров режима от емкости
Аналогичные рассуждения можно провести и для цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L и C (рис. 2.31, а). Векторная диаграмма ее резонансного режима приведена на рис. 2.42, б.
Рассмотрим теперь более сложную цепь с двумя параллельными ветвями, содержащими активные и реактивные сопротивления (рис. 2.44, а).
Рис. 2.44. Разветвленная цепь (а) и ее эквивалентная схема (б)
Для нее условием резонанса является равенство нулю ее реактивной проводимости: ImY = 0. Это равенство означает, что мы должны мнимую часть комплексного выражения Y приравнять к нулю.
Определяем комплексную проводимость цепи. Она равна сумме комплексных проводимостей ветвей:
.
Приравнивая к нулю выражение, стоящее в круглых скобках, получаем:
или . (2.34)
Левая и правая части последнего выражения представляют собой не что иное, как реактивные проводимости первой и второй ветвей B1 и B2. Заменяя схему на рис. 2.44, а эквивалентной (рис. 2.44, б), параметры которой вычисляем по формуле (2.31), и используя условие резонанса (B = B1 – B2 = 0), снова приходим к выражению (2.34).
Схеме на рис. 2.44, б соответствует векторная диаграмма, приведенная на рис. 2.45.
Резонанс в разветвленной цепи называется резонансом токов. Реактивные составляющие токов параллельных ветвей противоположны по фазе, равны по величине и компенсируют друг друга, а сумма активных составляющих токов ветвей дает общий ток.
Рис. 2.45. Векторная диаграмма резонансного режима разветвленной цепи
Пример 2.23. Считая R2 и x3 известными, определить величину x1, при которой в цепи наступит резонанс напряжений (рис. 2.46, а). Для резонансного режима построить векторную диаграмму.
Рис.
70. Векторная диаграмма резонансного
Рис. 2.46. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма
Решение. При резонансе напряжение U1 на индуктивном сопротивлении x1 равно реактивной составляющей напряжения Uab: I1x1 = I1xab, откуда x1 = xab. Последнее есть реактивное сопротивление последовательной эквивалентной схемы замещения участка ab:
.
Задача может быть решена и символическим методом. В соответствии с условием резонанса напряжений, мы должны приравнять к нулю мнимую часть комплексного сопротивления цепи. Величина последнего равна
.
Сумму всех коэффициентов при мнимой единице приравниваем к нулю:
, откуда .
Построение векторной диаграммы начинаем с вектора I1 (рис. 2.46, б). В том же направлении проводим вектор приложенного к цепи напряжения U – при резонансе они совпадают по фазе. Напряжение на индуктивности опережает ток на 90°, его вектор U1 направляем вверх. Вектор Uab проводим так, чтобы он в сумме с вектором U1 давал вектор U. Ток I2 совпадает по фазе с Uab, а I3 опережает последний на 90°. В сумме векторы I2 и I3 дают вектор I1.