3. Примеры исследования функций и построения графиков

В данном разделе рассмотрены задачи, связанные с исследованием функций и построением их графиков. Примеры даны с подробным решением. Приступая к выполнению типового расчета, студент может рассмотреть соответствующий пример данного раздела и найти ответы на возникающие при работе вопросы.

Пример 1.Найти асимптоты кривойи построить график функции по точкам.

Решение.

1. Поскольку корень четной степени принимает только арифметические значения, то график функции целиком расположен выше оси ОХ. Функция определена при условии , т.е. в интервалахи. Поэтому исследуем поведение функции прии.

, значит прямаях= 2 является вертикальной асимптотой.

Теперь рассмотрим поведение функции слева от нуля: . Мы получили конечный предел, поэтому прямаяне является вертикальной асимптотой. По мере приближения к точкеслева функция стремится к нулю, оставаясь при этом положительной.

2.Определим уравнения невертикальных асимптот.

прии.

1;= === ==^.

Таким образом, существует правая наклонная асимптота .

-1;

=== ==.

Существует левая наклонная асимптота .

Для построения графика необходимо взять несколько дополнительных точек:

Х	0	-1	-2	2,5	3	4
у	0	0,58	1,4	5,6	5,2	5,6

График функции изображен на рис. 1.

Рис.1. График функции .

Пример 2. Провести полное исследование функциии построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции: .

2. Точек разрыва нет, так как функция существует при любых действительных значениях .

3. Найдем асимптоты:

а) вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва второго рода;

б) невертикальные асимптоты (в данном примере исследования при ианалогичны):

;

== == =.

Уравнение невертикальной асимптоты

4. Исследование на экстремум

==;

при. Производная не существует прии.

Составим таблицу:

х		0	(0;4)	4	(4;6)	6	(6;+∞)
	+	Не сущест.	─	0	+	Не сущест.	+
у	возрастает	max	убывает	min	возрастает		возрастает

5. Исследование на перегиб

=

== == =.

Вторая производная при любых отлична от нуля и не существует прии.

Составим таблицу:

	+	Не сущ.	+	Не сущ.	-
	Вогнута	Нет точек перегиба	Вогнута	Точка перегиба	Выпукла

Значение функции в точке перегиба .

6. Точки пересечения с осями координат.

=

прии.

7. По данным исследования строим график функции (рис. 2).

Рис. 2. График функции .

Пример 3. Провести полное исследование функциии построить её график.

Решение.

1. Область определения функции:

2. Исследуем граничную точку .

==

=.

3. Заметим, что функция в окрестности точки стремится к нулю, оставаясь при этом отрицательной. Конечный предел означает, что вертикальных асимптот нет. Находим невертикальные асимптоты.

Так как функция определена при , то исследуем ее поведение лишь при.

.

Невертикальных асимптот нет.

4. Исследование на экстремум

;

,приили, причем─ граничная точка области определения.

Составим таблицу:

	–	0	+
	Функция убывает	-(min)	Функция возрастает

5. Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Найдем точки перегиба

.

Производная обращается в ноль при .

Составим таблицу:

	-	0	+
	выпукла	точка перегиба	вогнута

=.

График функции изображен на рис. 3.

Пример 4. Исследовать функцию и поострить её график

_.

Замечание.При исследовании функций, заданных параметрически, можно пользоваться упрощенной схемой исследования.

1. Найти область изменения переменных

2. Найти точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти производную функции и точки, в которых она обращается в нуль или не существует. Учитываем, что в точках, где производная равна нулю, касательная к графику параллельна оси ОХ, а в точках, где производная не существует, касательная перпендикулярна оси ОХ.

4. При необходимости взять несколько дополнительных точек.

Решение.

Поскольку х и у выражены через параметр t, то можно получить соответствующие значения х и у. Таким образом, построение функции, заданной параметрически, удобнее всего проводить поточечно, если есть возможность вычислить достаточно большое число точек.

1. Рассмотрим первоначально икак функции от. В системе координатвыражениеопределяет параболу, переменнаяопределена при любом, причем припеременная. Максимальное значениесоответствует значению(вершина параболы), следовательно. Для функциимаксимального значения не существует. Функция определена прии,,.

2. Точки пересечения с осями координат.

Если , то, то. Этим значениямсоответствуют следующие значения:. Это точки пересечения графика с осью ОХ.

Если , то,Этим значениямсоответствуют следующие значения:Это точки пересечения с осью ОУ.

3. Вычислим производную и определим экстремум функции и интервалы монотонности: ==

Заметим, что при производнаяне определена. На графике параметрусоответствует точка с координатами,, точка (1;2). В окрестности точкипроизводнаяположительна, что соответствует монотонному возрастанию функции.

Производная при, что соответствует точке (-3;-2). В этой точке касательная к графику функции параллельна оси ОХ, а точка (-3;-2) является точкой минимума, поскольку производная при переходе через точкуменяет знак с «-» на «+».

4. Вторая производная позволит выяснить направление выпуклости графика функции: . Посколькупри, то функция выпукла вниз (вогнута), а приграфик функции направлен выпуклостью вверх, так как.

5. Можно взять дополнительные точки и нарисовать график функции (рис. 4):

	-1	1	3
	-3	1	2
	-2	2	-18

Рис. 4. График функции .