5. Варианты индивидуальных заданий
Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка:
1. a)
б)
2. а)
б)
3. а)
б)
4. а)
б)
5. а)
б)
6. а)
б)
7. а)
б)
8. а)
б)
9. а)
б)
10. а)
б)
11. а)
б)
12. а)
б)
13. а)
б)
14. а)
б)
15. а)
б)
16. а)
б)
17. а)
б)
18. а)
б)
19. а)
б)
20. а)
б)
21. а)
б)
22. а)
б)
23. а)
б)
24. а)
б)
25. а)
б)
26. а)
б)
27. а)
б)
28. а)
б)
29. а)
б)
30. а)
б)
Задача 2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задача 3. Найти асимптоты графика функции и построить график функции по точкам.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задача 4. Провести полное исследование функций и построить их графики.
1. а)
б)
в)
г)
д)
2. а)
б)
в)
г)
д)
3. а)
б)
в)
г)
д)
4. а)
б)
в)
г)
д)
5. а)
б)
в)
г)
д)
6. а)
б)
в)
г)
д)
7. а)
б)
в)
г)
д)
8. а)
б)
в)
г)
д)
9. а)
б)
в)
г)
д)
10. а)
б)
в)
г)
д)
11. а)
б)
в)
г)
д)
12. а)
б)
в)
г)
д)
13. а)
б)
в)
г)
д)
14. а)
б)
в)
г)
д)
15. а)
б)
в)
г)
д)
16. а)
б)
в)
г)
д)
17. а)
б)
в)
г)
д)
18. а)
б)
в)
г)
д)
19. а)
б)
в)
г)
д)
20. а)
б)
в)
г)
д)
21. а)
б)
в)
г)
д)
22. а)
б)
в)
г)
д)
23. а)
б)
в)
г)
д)
24. а)
б)
в)
г)
д)
25. а)
б)
в)
г)
д)
26. а)
б)
в)
г)
д)
27. а)
б)
в)
г)
д)
28. а)
б)
в)
г)
д)
29. а)
б)
в)
г)
д)
30. а)
б)
в)
г)
д)
Задача 5. Построить по точкам графики функций, заданных в полярных координатах.
1. а)
б)
2. а)
б)
3. а)
б)
4. а)
б)
5. а)
б)
6. а)
б)
7. а)
б)
8. а)
б)
9. а)
б)
10. а)
б)
11. а)
б)
12. а)
б)
13. а)
б)
14. а)
б)
15. а)
б)
16. а)
б)
17. а)
б)
18. а)
б)
19. а)
б)
20. а)
б)
21. а)
б)
22. а)
б)
23. а)
б)
24. а)
б)
25. а)
б)
26. а)
б)
27. а)
б)
28. а)
б)
29. а)
б)
30. а)
б)
Задача 6.
Объем правильной треугольной призмы равен
.
Какова должна быть сторона основания,
чтобы полная поверхность призмы была
наименьшей?Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме
,
каковы должны быть радиус основания и
высота цилиндра, чтобы его поверхность
была наименьшей?Из трех тонких одинаковых досок изготовить желоб с наибольшим поперечным сечением.
Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а другие три огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м2, а длина забора была наименьшей?
Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба 10 см. Каков должен быть угол, образованный стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество жидкости?
В прямоугольной системе координат через точку (1;4) проведена прямая, пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой, если сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, принимает наименьшее значение.
Стрела прогиба балки прямоугольного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром
с
наименьшей стрелой прогиба?Сопротивление балки прямоугольного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки из круглого бревна диаметром
,
чтобы ее сопротивление на изгиб было
наибольшим?Окно имеет форму прямоугольника, завершающегося полукругом. Периметр окна равен 300 см. При каких размерах окно будет пропускать наибольшее количество света?
Из куска жести, форма и размеры которого (в дм) даны на рис.7, вырезать прямоугольник с наибольшей площадью.
При конструировании трансформатора переменного тока важно заполнить внутренность катушки железным крестообразным сердечником возможно большей площади. Каковы должны быть соответствующие размеры
и
сечения,
если радиус катушки равен
.Сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой, он должен вмещать 18 л воды. Найти размеры сосуда, при которых на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.
Полоса жести шириной 60 см должна быть согнута в виде открытого желоба так, чтобы поперечный разрез имел форму трапеции, причем АС=СД=ДВ. Определить ширину желоба АВ, при которой вместимость его была наибольшей.
Требуется изготовить из жести ведро данного объема
цилиндрической формы без крышки. Найти
высоту цилиндра и радиус его основания,
при которых на ведро уйдет наименьшее
количество материала.В данный конус с радиусом основания
и высотой
вписать
цилиндр наибольшего объема.На странице печатный текст должен занимать
кв.см.
Верхнее и нижнее поля должны быть по
см, правое и левое по
см. Если принимать во внимание экономию
бумаги, то какими должны быть наиболее
выгодные размеры страницы?Cила действия кругового электрического тока на небольшой магнит, ось которого расположена на перпендикуляре к плоскости круга, проходящем через его центр, выражается формулой
;
где
–
радиус круга,
– расстояние от центра круга до магнита
,
– постоянная. При каком
величина
будет наибольшей?Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объёмом 32 м3так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наибольшее количество материала.
Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом
.
Каким должны быть его размеры, чтобы
на его изготовление ушло наименьшее
количество материала?Пункт В находится на расстоянии 60 км от железной дороги. Расстояние по железной дороге от А до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстоянии от С надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передвижение между пунктами А и В, если скорость движения по железной дороге 52 км/ч, а по шоссе 20 км/ч.
Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами18 см и 24 см и имеющего с ним общий прямой угол.
Найти радиус основания
и высоту
прямого кругового конуса, вписанного
в шар радиуса
так, чтобы его объём был наибольшим.Даны две точки А(0;3) и В(4;5). Найти на положительной полуоси ОXтакую точку С, чтобы АС+СВ было наименьшим.
В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8см и углом 600вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Периметр осевого сечения цилиндра равен 12 м. Найти наибольший объём такого цилиндра.
Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса
.Найти наибольший объём цилиндра, у которого периметр осевого сечения равен 6м.
Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём тела, образованного вращением этого треугольника вокруг основания был наибольшим?
Полотняный шатер объёмом
имеет
форму прямого кругового конуса. Каково
должно быть отношение высоты конуса к
радиусу основания, чтобы на шатер ушло
наименьшее количество полотна?Найти отношение радиуса цилиндра к высоте, при котором цилиндр при данном объёме
имеет наименьшую полную поверхность.