4. Примеры решения задач геометрического и физического содержания

При решении задач физического и геометрического содержания необходимо учесть, что исследуемая функция в готовом виде не дается, а определяется из условия задачи.

Во всех случаях, когда функция, определенная из условия задачи, окажется функцией двух независимых переменных, необходимо, используя данные задачи, одну из этих переменных исключить.

Задача 1.Для доставки продукции завода Д в город А строится шоссе ДР, соединяющее завод с железной дорогой АВ, проходящей через город А. Стоимость перевозок по шоссе вдвое больше, чем по железной дороге. К какому пункту Р нужно подвести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции завода Д в город А по маршруту ДРА была наименьшей? Известно, что АВ = 500 км,и ДВ = 100 км (рис. 5).

Решение.Пусть пункт Р находится от А на расстоянии, причем. Тогдаи из прямоугольного треугольника РДВ найдем гипотенузу РД:. Будем полагать, что стоимость провоза одной тонны груза на 1 км по железной дороге составляет одну условную единицу, а по шоссе (согласно условию задачи) – две условные единицы. Тогда, чтобы доставить одну тонну груза от завода Д до города А по маршруту ДРА надо затратитьNусловных единиц:или. Получена функцияN(x), для которой надо найти наименьшее значение на отрезке. Непрерывная и дифференцируемая на отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в конечных точках отрезка, либо в точках, в которых производная обращается в нуль. НайдемN(0) иN(500), а затем точки, для которых:

;

;

и производная обращается в ноль, если. Решим уравнение и найдем значение переменной. В полученной точке вычислим функцию. Сравним значения,ии сделаем вывод, что наименьшей стоимость перевозок будет, если пункт Р установить на расстоянииот города А.

Рис. 5. Рисунок к задаче 1.

Задача 2. Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью. Материал имеет толщину. Каковы должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?

Решение.

Изобразим разрез резервуара (рис. 6). Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через , высоту внутреннего цилиндра – через. Объём дна и стенки резервуара:

Рис. 6. Разрез резервуара

С другой стороны, по условию должно быть , откуда.

Подставив в формулу объёмаV, получим

Полученную функцию нужно исследовать на экстремум при:

Единственное положительное значение , при котором=0 – это.

Оно и есть решение задачи, поскольку при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс. При этом , т. е. высота внутреннего цилиндра равна радиусу внутреннего основания.

Задача 3.На какой высоте следует поместить источник света над освещенной поверхностью, чтобы освещение на расстоянииот основания перпендикуляра, опущенного из источника света на освещенную поверхность, было наибольшим?

Известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна синусу угла между лучом и освещенной поверхностью (рис. 7).

Рис. 7.

Решение.

Освещенность , где– коэффициент пропорциональности. Так как

, то,

где

прит.е.. При переходе через точкупроизводная меняет знак с плюса на минус. Наибольшая освещенность