- •Случайные события, их виды.
- •Классическое определение вероятности, ее свойства.
- •Относительная частота, ее свойства.
- •Суммирование вероятностей несовместимых событий.
- •Полная группа событий, противоположные события.
- •Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.
- •Независимые события. Теорема умножения вероятностей для независимых событий.
- •Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •Сложение вероятностей для совместимых событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса.
- •Независимые испытания. Формула Бернулли, свойства формулы.
- •Локальная теорема Лапласа.
- •Интегральная теорема Лапласа.
- •Случайные величины. Виды случайных величин. Формы законов распределения случайных величин.
- •Ряды распределения. Многоугольник распределения.
- •Функция распределения. Ее свойства.
- •Плотность распределения и ее свойства.
- •Математическое ожидание (м(х)) дискретных случайных величин. Его свойства.
- •Дисперсия (d(X)) случайной дискретной величины. Ее свойства. Среднеквадратическое отклонение σ(х).
- •Взаимно независимые случайные величины, которые имеют одинаковый
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •Начальные центральные и теоретические моменты.
- •Биномиальный закон распределения.
- •Распределение Пуассона.
- •Равномерный закон распределения.
- •Показательный закон распределения.
- •Нормальный закон распределения. Форма нормальной кривой. Влияние параметров на форму.
- •Числовые характеристики нормального закона распределения. Моменты нормального закона распределения.
- •Функции распределения. Нормальный закон.
- •Нормальный закон распределения, вероятность попадания в заданный интервал.
- •Симметрия икСес. ( χ )
- •Нормальный закон распределения. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило 3х сигм.
- •Закон Больших Чисел. Неравенство Чебышева, обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова
- •Закон Больших Чисел. Теорема Бернулли и Пуассона.
- •Центральная Предельная Теорема.
- •Задачи математической статистики. Выборочный метод.
- •Дискретный вариационный ряд.
- •Интервальный вариационный ряд.
- •Графическое изображение вариационных рядов. Полигон частот и гистограмма.
- •Эмпирическая функция распределения. Ее свойства.
- •4 2,43,44. Точечные оценки. Свойства точечных оценок.
- •Метод максимальной правдоподобности для дискретных случайных величин.
- •Метод максимальной правдоподобности для непрерывных случайных величин.
- •Получение методом максимальной правдоподобности точечных оценок параметров показательного закону распределения.
- •Получение методом максимальной правдоподобности точечных оценок параметров нормального закону распределения.
- •Точечные центральные эмпирические моменты.
- •Метод моментов.
- •Законы распределения χ2 (хи квадрат), tct (Стьюдента), Fф (Фишера).
- •Распределение , d(выборки) нормальной генеральной совокупности.
- •Интервальное оценивание. Постановка задачи.
- •Доверительный интервал для м(х) нормальной совокупности, если среднеквадратичное отклонение σ(х) известно.
- •Доверительный интервал для м(х) нормальной совокупности, если среднеквадратичное отклонение σ(х) неизвестно.
- •Доверительный интервал для дисперсии нормальной совокупности.
- •Статистическая проверка гипотезы. Основные понятия. Н0 и н1, критерии проверки гипотезы. Критическая точка. Критическая область и область принятия гипотезы. Основной принцип проверки гипотез.
- •Виды критических областей. Построение критических областей.
- •(*) Общая схема статистической проверки гипотез.
- •Критерий согласия χ2 Пирсона.
- •Критерий согласия Колмогорова.
- •Проверка гипотез про равенство математического ожидания м(х) нормальной совокупности гипотетическому значению, если среднеквадратическое отклонение σ(х) известно.
- •Проверка гипотез про равенство математического ожидания м(х) нормальной совокупности гипотетическому значению, если среднеквадратическое отклонение σ(х) неизвестно.
- •Проверка гипотез про равенство математического ожидания d(х) нормальной совокупности гипотетическому значению.
-
Закон Больших Чисел. Теорема Бернулли и Пуассона.
Закон больших чисел:
Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не завися-
щему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся
теоремы Чебышева и Бернулли.
Теорема Бернули:
Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.
Другими словами, если — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство
Теорема Пуассона:
При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.
Если число испытаний и так, что , , то при любых
Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле можно воспользоваться приближенной формулой ,
т.е. использовать формулу Пуассона для l =np.
-
Центральная Предельная Теорема.
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние μ и σ2, соответственно. Пусть . Тогда по распределению при , где N(0,1) — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде: по распределению при .
-
Задачи математической статистики. Выборочный метод.
Первая задача математической статистики—указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате
специально поставленных экспериментов. Вторая задача математической статистики—разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.
Сюда относятся:
а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких
случайных величин и др.;
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.
Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
-
Дискретный вариационный ряд.
Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений.
Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака.