19

О приближённых вычислениях

1. Числа точные и приближённые

При обработке физического эксперимента надо различать точныеиприближённыечисла.

Точными числами являются числовые коэффициенты и показатели степени в формулах; коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения; числа, заданные определениями, и другие. Например, точными являются: коэффициент 4/3 и показатель степени 3 в формуле объёма шара ; реперная точка термодинамической температур-ной шкалы – температура тройной точки воды Т = 273,16 К; показатель пре-ломления вакуума n = 1 и другие.

Погрешность точных чисел равна нулю.

К приближенным числам относятся: результаты измерений различ-ных величин; округленные значения точных чисел; табличные значения математических, физических, химических величин; иррациональные чис-ла и другие. Например, приближенными числами будут: измеренная с по-мощью амперметра сила тока в цепи I = 42,8 мА; ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с²; постоянная Больцмана k = 1,3810^-23 Дж/К; число  = 3,14; 2 = 1,41; 1n 10 = 2,30; sin 15°= 0,259.

2. Значащие цифры

Значащими цифрами числа называются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа. Так, числа 3,1416; 5,09410⁵; 0,0172 имеют соответственно пять, четыре и три значащие циф-ры. Можно сказать иначе: первое число - пятизначное, второе – четырех-значное, третье - трехзначное.

Значащей цифра называется потому, что она является представи-телем того или иного разряда или, как говорят, означает соответствующий десятичный разряд. Так, в приближенном числе 4,50 цифра 4 означает разряд единиц, цифра 5 – разряд десятых долей, цифра 0 – разряд сотых долей. Тысячные и другие более мелкие доли неизвестны, поэтому соот-ветствующие разряды не означены никакими цифрами.

В точных числах (в отличие от приближенных) представители неоз-наченных разрядов известны – это нули. Следует предостеречь от часто допускаемой при вычисленнях ошибки, когда это положение неправо-мерно переносится и на приближенные числа. В случае точных чисел чис-ла 4,5 и 4,50 совершенно равноценны, а в случае приближенных нет: пер-вое содержит две значащие цифры, второе – три, в первом числе сотые доли неизвестны, во втором известны – их нуль.

Нули, стоящие в начале числа, не являются значащими. Например, в приближенном числе 0,0172 только три значащие цифры. Первые два нуля являются незначащими, так как играют вспомогательную роль: слу-жат для указания соответствующих десятичных разрядов последующими цифрами (цифрами 1, 7 и 2). Такое указание можно осуществить другими способами, обходясь без нулей в начале числа, например, записав его в нормальной форме: 0,0172=1,7210^-2.

В нормальной форме первую значащую цифру приближенного числа ставят в разряд единиц, а остальные (общее их количество, естественно, сохраняется) – в десятичных разрядах после запятой. Полученное число умножается на множитель вида 10ⁿ, где п — целое положительное или от-рицательное число. Например, число 1980 в нормальной форме запишется в виде 1,98010³.

3. Верные, сомнительные и неверные цифры

Приближенные числа, полученные в вычислениях, определенные из таблиц или найденные другими способами, содержат различное количес-тво значащих цифр, среди которых имеются верные,сомнительныеиневерныецифры.

Верными цифрами приближенного числа называются п первых цифр, если абсолютная погрешность числа не превышает половины еди-ницы разряда n-й цифры. Например, в приближенных числах 1406±2; 512,9±1,2; (82,4±0,8) 10³ верными соответственно являются три, две и одна первые значащие цифры. Следовательно, количество верных цифр в при-ближенном числе однозначно определяется его абсолютной погреш-ностью.

Цифра, стоящая за последней верной, является не вполне точно опре-деленной (в ней содержится погрешность) и поэтому называется сомни-тельной. В некоторых случаях сомнительных цифр может быть две. В приведенном выше примере сомнительными соответственно являются од-на, две и две последние значащие цифры. Сомнительные цифры прибли-женного числа так же, как и верные, определяются его абсолютной по-грешностью.

Все цифры приближенного числа, стоящие после последней сомни-тельной, являются неверными. Действительно, поскольку эта сомни-тельная цифра не может быть определена точно, то цифры последующих более низких разрядов невозможно найти и даже оценить. Поэтому невер-ные цифры не содержат реальной информации, бессмысленны и должны быть отброшены (с использованием правил округления). Например, в при-ближенном числе 406,59±2 пять значащих цифр. Из них две первые вер-ные, третья сомнительная, а две последние неверные. Поэтому правиль-ной будет запись: 407±2. В случае приближенного числа 210,324+1,2 сле-дует писать 210,3±1,2.