4. Округление чисел

Приближенные и точные числа можно округлять, т.е. уменьшать ко-личество их значащих цифр. Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие после n-го разряда. При этом руко-водствуются следующими правилами: если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых не изменяется; если же первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя из сохраняемых увеличивается на единицу. Например, округление числа 7,192 до трех зна-чащих цифр дает число 7,19, до двух – 7,2. Округление числа 1681 до двух значащих цифр дает число 1,710³, а округление числа 0,80214 - число 0,80.

Абсолютная погрешность округленного числа не превышает полови-ны единицы последней сохраненной цифры. Следовательно, все значащие цифры округленного числа являются верными (исключение составляют приближенные числа, содержащие до округления две сомнительные циф-ры при условии, что округляется только одна из них).

При округлении приближенных чисел их точность уменьшается, так как к первоначальной погрешности добавляется еще ошибка, обусловлен-ная округлением. Причем эта добавка в зависимости от степени округле-ния может быть как меньше, так и больше первоначальной величины пог-решности числа.

В результате округления точных чисел получаются приближенные чи-сла, погрешность которых равна ошибке, возникшей при округлении.

5. Округление погрешностей и результатов измерений

Существуют различные методы обработки результатов измерений. Все они приближенные. Поэтому, найденные значения погрешностей так-же являются приближенными. В соответствии с точностью методов обра-ботки абсолютная погрешность опытов определяется не более чем до двух значащих цифр (см. ГОСТ 8.011-72). При простейших методах обработки вычисленная погрешность характеризует реальные ошибки лишь по по-рядку величины, т.е. вторая цифра, как правило, неверна. В учебных лабо-раториях абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры. Например, R = 0,42 см  0,4 см; I = 0,48 10^-3А  0,5 ІО^-3 А.

Исключением из этого правила являются числа, в которых первая цифра единица. Во избежание грубой ошибки при округлении в этом слу-чае указывают и следующую за единицей цифру. Например, R = 1,36 Ом1,4 Ом;l = 1,02 мм1,0 мм.

Найденная абсолютная погрешность позволяет однозначно опреде-лить верные, сомнительные и неверные цифры в приближенном числе – результате измерения и правильно записать окончательный ответ, указав в нём только верные и одну или две сомнительные цифры. Например, t = (18,90,4) с; I = (82,0±0,5) 10^-3 А; R = (124,5±1,4) Ом.

Относительная погрешность тоже должна округляться до одной (иногда до двух) значащей цифры. Действительно, в соответствии с пра-вилами округления абсолютная погрешность в приведенном выше примере для времени находится в интервале [0,35; 0,44] с. Следовательно, относи-тельная погрешность лежит в интервале [1,9; 2,3]%. Отсюда видно, что де-сятые доли процента соответствуют отброшенным цифрам в абсолютной погрешности, поэтому при указании относительной погрешности необхо-димо ограничиться одной значащей цифрой.

Если количество сохраняемых значащих цифр в результате одно-значно определяется его погрешностью, то и обратно по количеству знача-щих цифр в правильно записанном результате можно приблизительно су-дить о погрешности. Например, при измерении высоты цилиндра получен результат h = 22,10 мм. Следовательно, абсолютная погрешность содер-жится в самом низком разряде результата, т.е. в сотых долях миллиметра; относительная погрешность составляет десятые-сотые доли процента.