ФизЭлектроника PDF-лекции / (Лекция 6)

Рис. 4.3

Если в качестве начальной точки траектории взята точка, лежащая на катоде, то Ψн имеет смысл магнитного потока Ψн , сцепленного с круговым контуром радиуса rk .

При Θк = 0 уравнение (1.15) принимает вид:

Θ& = − e (Ψ −Ψн ) 2πm r 2

Используя последнюю формулу, можно преобразовать уравнения (1.12-1.14) к виду:

∂U e2

(Ψ −Ψк )

Ψ −Ψк

&&

−

2πB −

(1.16)

mr = −e

∂r 4π 2 m

r

z

r 2

m&z& = -e

¶U

-

e2

(Ψ -Ψк ) ¶Ψ

(1.17)

¶z

4π 2 m

r 2

¶z

&&

e

(Ψ −Ψк )

Θ = -

2πm

r 2

(1.18)

(1.16-1.18) – модифицированные уравнения движения. Особенность уравнений в том, что компоненты сил, действующих на

частицу, выражаются в них непосредственно через параметры электр. и магн. полей. Что позволяет сделать некоторые заключения об особенностях движения частиц.

Так из (1.16) следует, что радиальная сила, действующая на частицу со стороны магн. поля, определяется не только величиной индукции, но и зависит от разности магнитных потоков Ψ −Ψк . при чем эта сила стремится к нулю когда Ψ −Ψк → 0 .

Из (1.17) следует, что изменяющееся вдоль оси z магнитное поле ( ∂Ψ ¹ 0 )

¶z

создает z-компоненту магнитной силы, которая приводит к торможению или ускорению частиц в этом направлении.

r

Уравнения (1.16-1.18) с учетом того, что Ψ = ∫Bz 2πrdr могут быть

0

преобразованы к виду:

∂U

e2

∂

Ψ −Ψ

к

2

mr = −e

−

&&

∂r 8π 2 m

∂r

r

∂U

e2

∂

Ψ −Ψ

к

2

m&z& = −e

−

r

∂z 8π 2 m

∂z

Θ& = −

e

∂ Ψ −Ψк

2πm

∂z

r 2

Из этой системы уравнений следует, что движение заряженной частицы в плоскости (rz) можно представить как движение в некотором потенциальном поле, имеющем эквивалентный потенциал.

Q = U +		e2		Ψ −Ψ		к	2
		8π 2 m r
&&	∂Q		(1.19)
mr = −e		∂r
m&z& = −e	∂Q
		∂z

Следует отметить, что доказанная выше теорема Буша является следствием уравнения Гамильтона. Действительно, т.к. функция Гамильтона для рассматриваемого случая не

содержит в явном виде θ, то p&Θ = − ∂∂ΘH = 0 . Это означает, что азимутальный импульс

		&		= const .
не зависит от времени, т.е. pΘ
&	∂H	1
В то же время: Θ =	∂p	=	mr 2		( pΘ − erA ) . Cледовательно:
	Θ

pΘ = mr 2 Θ& + erA = const . Это уравнение эквивалентно (1.15).

Для параксиального пучка приложенные силы (потенциалы и магнитные потоки) можно представить в виде разложения первого порядка по степеням малого радиального отклонения от оси: Ψ ≈ πr 2 Bz0 , Bz ≈ Bz0 ,

Br ≈ −

r

′

,

∂U

≈ −

r

′′

,

∂U

≈

∂U0

= U

′

U

С учетом этих соотношений можно

2

Bz 0

∂r

2

0

∂z

∂z

0 .

получить уравнения, описывающие движение приосевых частиц.

Рассматривая в качестве независимой переменной координату z можно получить уравнение траекторий частиц:

d 2 r

+

U ′

dr

+

U ′′

r −

e

r

B 2

r 2 B

2

= 0 .

2

0

0

z 0

1

−

к

2

z 0к

dz

2U

dz

4U

8m U

r B

0

0

0

z 0