шапкин задачи с решениями

â) y² + 4y = sin x, y (0) = 0, ó¢ (0) = 3.	(a)
Однородное дифуравнение
y² + 4y = 0	(b)

имеет характеристическое уравнение r2 + 4 = 0, a его корни будут r1,2 = ± 2i Тогда общее решение дифура (b) будет:

y* = Ñ1 sin 2x + Ñ2 cos 2x.

(c)

Частное решение дифура (а) ищем в виде:

y = Asin x + B cos x. (d)

Определив y′ = Años x − Bsinx è y¢¢ = -Asin x - Bcosx и подставив в (а), после группировки имеем

3À sin x + 3Â cos x = sin x,

отсюда 3А = 1, 3В = 0 или A = 13 и В = 0. Подставляя А и В в (d) и суммируя с (с), найдем общее решение дифура (а):

	y = y + y = C1 sin2x + C2 cos2x +	1	sin x.	(å)
		3

Найдем

y¢ = 2C cos2x -

2C

sin2x +

1

cos x

и, используя на-

2

1

3

чальные условия (а), имеем

ì

= C1

×

0 + C2 ×1+

1

×0,

ï0

3

ï

í

1

ï3 = 2C

×1- 2C

×0 +

×1,

2

ï

1

3

î

отсюда С

2

= 0, C =

4

.

1

3

Подставляя найденные С1 è Ñ2 в (е), будем иметь решение исходного дифференциального уравнения (а), удовлетворяюще го начальным условиям:

y = 43 sin2x + 13 sin x.

251

8.3.Системы линейных уравнений

8.3.1.Решить систему линейных уравнений

ìdx = 2x - 4y,

ï

ï dt

í

ïdy = 4x + 2y,

ï

î dt

с начальными условиями х (0) = 1, у(0) = 2. Продифференцируем первое уравнение системы

d2 x = 2 dx - 4 dy dt2 dt dt

и подставим в него yt′ из 2-го уравнения системы

d2 x = 2 dx -16x - 8y, dt2 dt

а в это уравнение подставим у из 1-го уравнения системы, име ем:

	d2 x	- 4	dx	+ 20x = 0 èëè õ² - 4õ¢ + 20õ = 0.	(à)
	dt2		dt

Его характеристическое уравнение r2 – 4r + 20 = 0, корни которого r = 2 ± 4i. Тогда дифференциальное уравнение (а) имеет решение:

x = e2t(Ñ sin 4t + Ñ	2	cos 4t).	(b)
1

Подставляя это решение в 1-ое уравнение системы, после груп - пирования найдем, что

y = e2t (–Ñ1 cos 4t + Ñ2 sin 4t).

(c)

Подставляя в (b) и (с) начальные условия, определим, что

ì1 =1×(Ñ1 ×0 + Ñ2 ×1), íî2 =1×(–Ñ1 ×1+ Ñ2 ×0),

отсюда С1 = –2, Ñ2 = 1.

252

Подставив эти константы в (b) и (с), найдем решение исходной системы дифференциальных уравнений

x = e2t (–2 sin 4t + cos 4t), y = e2t (sin 4t + 2 cos 4t).

9. РЯДЫ 9.1. Числовые ряды

9.1.1. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

∞
à) å	3k2 - 2k +	3	.
		2
k=1 1- 2k + 2k
Рассмотрим общий член
			ak =	mk2	- nk + 3	.
				nk2	- 2k +1

Применим необходимый признак сходимости числового ряда .

Åñëè lim ak = 0, то ряд возможно сходится, если lim ak ¹ 0, òî

k→∞

k→∞

ряд расходится.

Для нашего примера:

mk2 - nk + 3

æ ¥

ö

J = lim

= ç

÷.

k→∞

nk2 - 2k +1

è ¥

ø

Имеем неопределенность, числитель и знаменатель делим на k2

n

3

n

3

m -

+

=

m -

+

=

m - 0 + 0

m

k

k2

=

¹ 0,

J = lim

¥

¥

n - 0 + 0

k→∞

2 1

2 1

n

n -

+

n -

+

k

k2

¥

¥

так как по условию m ¹ 0.

Следовательно, у всех студентов ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости числового ряда.

253

∞

2k+4 +1

á) å

.

k+3

k=1

3

+ 2

Имеем a

k

=

2k+4 +1

è

a

k

+1

=

2k+5

+1

.

3k

+3

+ 2

3k+4

+ 2

Исследуем сходимость ряда по признаку Даламбера:

l = lim

ak+1

= lim

(2k+5 +1) (3k+3 + 2)

=

k

→∞

ak

k→∞ (3k+4 + 2) (2k+4 +1)

2k+5 +1

3k+3

+ 2

æ2

+

1 ö

æ1+

2

ö

×

÷

÷

= lim

2k+4

3k+3

= lim

è

2k+4

ø

è 3k+3

ø

=

(2 + 0) (1+ 0)

=

2

<1.

2 ö

æ

1 ö

(3 + 0) (1+ 0)

3

k→∞ 3k+4 + 2

2k+4 +1 k→∞ æ

+

×

ç3

÷

ç1+

÷

k+3

k+4

3k

+

3

2k

+

4

2

è

3

ø

è

ø

Следовательно, ряд сходится.

∞ æ

3k2 + 2

ök

ç

÷

â) åç

5k

2

+ 3

÷ .

k=1

è

ø

æ

3k

2 + 2

ök

Имеем ak

=

ç

÷ .

2

ç

5k

+ 3

÷

è

ø

По признаку Коши имеем:

æ

2

+

ö

k

2

+ 2 = lim

3 +

2

3 +

2

3 + 0

2

2

3

k

¥

lim k ç 3k

÷

= lim 3k

=

=

=

<1,

5 + 0

5

è 5k

2

+ 3 ø

k→∞

5k

2

+

3

k→∞

3

3

k→∞ ç

÷

5 +

5 +

k2

¥

следовательно, ряд сходится. Пример сконструирован так, ч то коэффициент (m + n) перед k2 в знаменателе больше, чем коэффициент m перед k2 в числителе, а поэтому всегда предел будет меньше единицы, т.е. ряд будет сходящийся.

∞
ã) å	(2k)!			.
	k
k=1 4		+1
Имеем a		k	=		(2k)!	,	a +	=	(2k + 2)!	.
					4k +1		k 1		4k+1 +1

254

Исследуем сходимость ряда по признаку Даламбера:

l = lim

ak+1

= lim

(2k + 2)! (4k +1)

=

ak

k→∞

k→∞ (4k+1 +1) (2k)!

= lim

1×2 ×...×2k ×(2k +1)×(2k + 2)

× lim

4k +1

=

1×2 ×...×2k

+1

k→∞

k→∞ 4k+1

1+

1

= lim (2k +1) (2k + 2)× lim

4k

= ¥ ×

1

= ¥ >1.

4

k→∞

k→∞

4 +

1

4k

Следовательно, ряд расходится

9.2.Степенные ряды

9.2.1.Найти область сходимости степенного ряда:

∞

22k

× xk

22

24

26

à) å

:

x +

x2 +

x3 +...

k

+1

2 +1

2

2

3

k=1

2

+1

2

+1

Согласно признаку Даламбера искомый ряд сходится при тех значениях х, для которых:

l = lim

ak+1

= lim

22(k+1) xk+1(2k +1)

=

(2k+1 +1) 22k xk

k→∞ ak

k→∞

2

æ

1

ö

2

ç1+

÷

4(1+ 0)

2k

= lim

è

ø

| x | =

| x | = 2 | x | <1,

æ

1

ö

k→∞

(2 + 0)

ç2 +

÷

2k

è

ø

ò.å. | x | < 21 , – 21 < x < 21 .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При x = − 21 получаем числовой ряд

∞		2k			2			2	2			23
å(-1)k
				: -		+				-				+ ... .
	2	k			2 +1		2	2				3
k=1			+1						+1 2				+1

255

Это знакочередующийся, для которого

	2k
lim			=1 ¹ 0,
k→∞ 2k		+1

т.е. по признаку Лейбница ряд расходится.

Ïðè

x =

1

имеем числовой ряд с положительными членами

2

∞

2k

2

22

23

å

:

+

+

...,

k

2 +1

2

2

3

k=1 2

+1

+1 2

+1

который расходится, так как предел общего числа не равен н улю. Итак, область сходимости данного ряда − 21 < x < 21 .

∞

+1

á) å

2k3

(x − 2)k .

3k4

+ 2

k=1

Применим признак Даламбера:

a

=

2k3 +1

(x - 2)

k

; a

+

=

2(k +1)3 +1

(x

- 2)

k+1

;

3k4 + 2

3(k +1)4

+ 2

k

k

1

l

= lim

(2(k +1)3 +1) (x - 2)k+1(3k4 + 2)

=

(3(k +1)4 + 2) (2k3 +1)(x - 2)k

k

→∞

æ

æ

1 ö3

1

ö

æ

2

ö

ç2

ç1

+

÷

+

÷ (x - 2) ç3

+

÷

k

ç

è

ø

k

3

÷

è

k

4

ø

= lim

è

ø

= | x - 2 | <1.

æ

æ

1 ö

4

2 ö

æ

1 ö

k→∞

ç3

ç1

+

÷

+

÷

ç2

+

÷

k

ç

è

ø

k

4 ÷

è

k

3

ø

è

ø

Отсюда заключаем, что ряд сходится при –1 < x – 2 < 1, или

1 < x < 3.

При х = 1 получаем знакочередующийся ряд

∞

2k3 +

1

2 ×1+1

2

×23 +1

2

×33 +1

å(–1)

k

: -

;

;

–

; ...,

3k

4

+

2

3×1+

2

×2

4

+ 2

3

×3

4

+ 2

k=1

3

который сходится по признаку Лейбница, так как его члены у бывают, а предел общего члена при k → ∞ равен нулю.

256

При х = 3 имеем числовой ряд

∞ 2k3 +1

3

17 55

2k3 +1

2(k +1)3 +1

åk=1

:

;

;

; ...;

;

;...

3k4 + 2

5

50

245

3k4 + 2

3(k +1)4 + 2

Сравним его с гармоническим рядом

1+ 21 + 13 + ...+ k1 + ...,

который расходится.

Воспользуемся предельным признаком сравнения. Так как предел

lim	ak	= lim	3k4 + 2	=	3	,
k→∞ bk		k→∞ k(2k3 +1)			2

лежит между 0 и ∞, то оба ряда расходятся, т.е. при х = 3 исходный ряд расходится.

Итак, область сходимости данного ряда: 1 ≤ õ < 3.

∞

2k × xk

2

22

2

23

3

b) å

:

x +

x

+

x

+ ...

(2k)!

2 !

4 !

6!

k=1

Применим признак Даламбера:

a

=

2k

× xk

;

a

+

=

2k+1

× xk+1

;

k

k 1

(2k)!

(2k

+ 2)!

l = lim

2k+1 × xk+1 ×(2k)!

= 2 | x | lim

1×2

×...×2k

=

(2k + 2)!×2k × xk

×...×2k ×(2k +1)×(2k + 2)

k→∞

k→∞ 1×2

= 2 | x | lim

1

= 0 <1.

6k + 2

k→∞ 4k2 +

Следовательно, при любом конечном х по признаку Даламбера данный ряд абсолютно сходится. Область сходимости рассматриваемого ряда есть вся числовая ось.

257

9.2.2. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки х0:

à) f (x) =	x	; õ = 3.
	x + 4	0

Запишем функцию в виде:

	f (x) =	(x + 4) - 4	;	f (x) =1-	4	.
		x + 4			x + 4

Вычислим значения данной функции и ее последовательных производных при х0 = 3:

−

3

f (x) =1- 4 (x + 4) 1,

f (3) =

,

7

f ¢(x) = 4 (x + 4)−2 ,

f ¢(3) =

4

,

72

2!

f ¢¢(x) = -8 (x + 4)−3,

f ¢¢(3) = -4 ×

,

73

f ¢¢¢(x) = 24 (x + 4)−4 ,

f ¢¢¢(3) = 4 ×

3!

,

74

LLLLLLLLLLLLLL

LLLLLLLLLLL

f (n) (x) = (-1)n+1 ×4 × n !× (x + 4)−(n+1),

f (n) (3) = (-1)n+1 ×4 ×

n!

.

7n+1

Подставляя полученные значения в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x – x0) +

+			f ¢¢(x			0	)	(x		− x0 )2		+			f ′′′(x		0	)	(x − x0 )3 + ... +				f (n) (x		0	)		(x − x0 )n ...,
				2 !											3 !								n !
получим
		x			3				4				4							4			+			4
				=			+				(x -3)	-				(x -	3)2 +					(x -3)3 -...+ (-1)n 1							(x -3)n +...
	x + 4				7				2				3							7	4					n+1
									7				7										7

2x

á) f (x) = ò0 1-dxx3 , õ0 = 0. Возьмем табличное разложение

	1	=1- t + t2 - t3 + ...+ (-1)n tn + ..., |t | <1,
	1+ t

в котором положим t = –x3.

258

Имеем

	1	=1	+ x3	+ x6	+ x9 +...+ x3n +..., | x | <1.
	1- x3

Интегрируем этот ряд:

f (x) =

2òx

dx

=2òx (1+ x3 + x6 + x

9 + ... + x3n + ...) dx =

1- x3

0

0

æ

x

4

x

7

10

x

3n+1

ö

= ç x +

+

+

x

+ ...+

+ ...÷

2x =

ç

4

7

10

3n +1

÷

0

è

ø

27

210

23n+1

+

= 2x + 4x4 +

x7

+

x10

+ ... +

x3n 1 + ...

7

10

3n +1

Получили искомое разложение.

9.2.3. С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с

точностью 0,001 значения: а) е–3.

Берем разложение функции f (x) = ex в ряд Тейлора:

ex =1	+ x +	x2	+	x3	+ ...	xn	+ ..., (–¥ < x < ¥)
						n !
	2 !		3!

и подставляем в него х = –3:

e

–3

=1- 3 +

(-3)2

+

(-3)3

+

(-3)4

+

(-3)5

+

(-3)

6

+

(-3)7

+

2 !

3!

4 !

5 !

6!

7!

+

(-3)8

+

(-3)9

+

(-3)10

+

(-3)11

+

(-3)12

+

(-3)13

=

8!

9!

10!

11!

12 !

13!

=–2 + 4,5 – 4,5 + 3,375 – 2,025 + 1,012 – 0,434 + 0,163 – 0,054 + +0,016 – 0,004 + 0,001 – 0,00026.

Полученный ряд знакочередующийся. Поэтому, ограничиваясь первыми двенадцатью членами ряда, мы получим ошибку 0,00026 < 0,001.

Следовательно, e–3 = 0,05.

259

0,8	sin (x2 )
á) ò		dx.
	x
0

Возьмем табличное разложение:

sint = t -

t3

+

t5

-

t7

+ ...+ (

-1)n

t2n+1

+ ...

(2n +1)!

3! 5! 7!

и подставим в него t = x2:

sin x2

= x2 -

x6

+

x10

-

x14

+ ...

5 !

7!

3!

Рассмотрим функцию:

sin x2

= x

-

x5

+

x9

-

x13

+ ...

x

3!

5 !

7!

и проинтегрируем ее:

0,8 sin x2

0,8 æ

x5

x9 x13

ö

ò

dx = ò

ç

÷

x

ç x -

3!

+ 5 ! - 7! +

...÷ dx =

0

0

è

ø

æ x2

x6

x10

ö

0,82

0,86

0,610

= ç

-

+

+ ...

÷

0,8=

-

+

=

6

×3!

10×5 !

2

6×3!

10×5 !

ç 2

÷

0

è

ø

= 0,32 - 0,007 + 0,00009.

Ограничиваясь первыми двумя членами ряда (ошибка при это м не превосходит 0,00009 < 0,001) имеем окончательно:

0ò,8 sinxx2 dx = 0,313.

0

260