шапкин задачи с решениями

Нормально распределенной называется случайная величина , имеющая в интервале от –∞ äî +∞ плотность, определяемую формулой

		-	1	æ x-a ö2
	1			ç		÷
f (x) =			2		σ
	σ 2π	×e		è		ø .

Ее интегральная функция:

x			x	-	1	æ z-a ö2
F (X ) = ò f (x) × dx = σ	1	π × ò				ç		÷
					2		σ
				e		è		ø	dz.
-¥	2		-¥

Ïðè σ = 1 и a = 0 будем иметь нормированное нормальное распределение

				Fí (x) = 0,5 + Φ (x),
ãäå F (x) = 1π òx		e-	z2	dz — интеграл Лапласа.
			2
2	0

Указанный интеграл можно вычислить, пользуясь таблицами , и тогда вероятность попадания СВ X в интервал определяется по формуле

P(x1 < X < x2) = F (x2) – F (x1)

(Φ (–x) = – Φ (x) — нечетная функция).

Доказано, что переход от нормированной к обычной функции осуществляется подстановкой:

	æ x - a ö
	F(x) = Fí ç		÷.
		σ
	è		ø

Пример 6.30. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое откло нение этой величины соответственно равны 2 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).

Решение. Воспользуемся формулой:

	æ	β – à ö		æ α
	P (α < X < β ) = F ç		÷	- F ç
		σ
	è		ø	è

–à ö

÷.

σø

321

По условию: α = 1, β = 4, à = 2, σ = 5, следовательно,

	æ 4 – 2		ö	æ1– 2		ö	= F (0,4) - F (–0,2).
	P (1< X < 4) = F ç		÷	- F ç		÷
		5			5
	è		ø	è		ø

Так как функция Лапласа нечетная, то

F(–0,2) = –F(0,2).

Таким образом,

P (1 < X < 4) = F(0,4) +F(0,2).

По таблице находим:

F(0,4) = 0,1554; F(0,2) = 0,0793.

Искомая вероятность равна:

P (1 < X < 4)= 0,1554 + 0,0793 = 0,2347.

Пример 6.31. Три непрерывные случайные величины имеют различные распределения: а) равномерное; б) экспоненциаль ное; в) нормальное. Для всех трех распределений М (Хi) = σ (Õi) = 4.

Найти для всех законов распределения вероятность того, чт о в результате испытания СВ Хi примет значение, заключенное в интервале (5; 12).

Решение.

а) Равномерное распределение.

Дифференциальная функция равномерного распределения СВ Х1 имеет вид:

ì	0	ïðè	x < a,
ï	1
ï
f (x) = í		ïðè a £ x £ b,
ïb - a
ï	0	ïðè	x > b.
î

Параметры а и b найдем из условия, что для равномерного распределения

ìM(X ) =			b + a	,		ìb + a			= 4,
						ï	2
ï	1	2
í						èëè í
		(b - a)			2		(b - a)			2
ïD (X ) =						ï					= 42.
ï	1	12				ï	12
î						î

322

Отсюда

ì	b + a = 8,				ì	+		= 8,
í				èëè	b		a
		2	=192		í			= 8 3.
î(b - a)					îb - a

Решая эту систему, находим, что

a = 4 (1- 3 ) @ 2,93; b = 4 (1+ 3 ) @ 10,93.

При извлечении квадратного корня во втором уравнении сис - темы взят знак «+» с учетом того, что a < b.

Имеем

ì		0	ïðè	x < 4 (1-	3 ),
ï		1
ï			ïðè	4 (1- 3 ) £ x £ 4 (1+ 3 ),
f (x) = í	8	3
ï
ï		0	ïðè	x > 4 (1+	3 ).
î

Вероятность попадания СВ Х1 в интервале (α ; β ) определяем по формуле

β

P (α < X1 < β ) = ò f (x) dx.

α

Для нашего случая искомая вероятность равна:

P (5 < X		<12)		=	12	f (x)× dx =		4 (1+ 3 )	1	dx +	12	0× dx =
1					ò			ò	8	3	ò
					5			5			4 (1+	3 )
		1		4 (1+		3 )	1
=			x			=		(4 + 4	3 – 5) = 0,428.
	8		3	5		8	3

Èòàê,

P (5 < X1 < 12) = 0,428.

б) Экспоненциальное распределение.

Интегральная функция экспоненциального распределения С В Х2 имеет вид:

F (x) = 1 – e–λx.

323

Известно, что	M(X2 ) =	1		èëè	1	= 4	по условию. Отсюда
		λ
					λ
λ = 0,25. Тогда
	F (x) = 1 – e–0,25x.
Искомая вероятность:
P (5 < X < 12) = e–0,25· 5			– e–0,25· 12 = e–1,25 – e–3 = 0,2367.
2

в) Нормальное распределение.

Вероятность того, что СВ Х3, подчиненная нормальному закону распределения, попадет в интервал (α; β ), равна:

		æ	β – à ö		æ α
	P (α < X3	< β ) = F ç		÷	- F ç
			σ
		è		ø	è

–à ö

÷.

σø

Здесь Φ(х) — функция Лапласа, а — математическое ожидание, σ — среднее квадратическое отклонение. Так как по условию задачи а = σ = 4, то искомая вероятность равна:

æ12 – 4

ö

æ 5 – 4

ö

æ 1

ö

P (5 < X3 <12) = F ç

÷ - F ç

÷

= F (2) – F ç

÷.

4

4

è

ø

è 4

ø

è

ø

Находим по таблицам, что

F (2) = 0,4772;

F

æ

1

ö

= F (0,25) = 0,0987.

ç

÷

4

è

ø

Тогда

P (5 < X3 < 12) = 0,4772 – 0,0987 = 0,3785.

6.4.Основные понятия математической статистики

6.4.1.Генеральная совокупность. Выборка. Основные типы задач математической статистики

Пусть Х — некоторая случайная величина (количественный признак). В дальнейшем все значения этой СВ будем называть генеральной совокупностью. Если, например, Х — дискретная СВ, то генеральная совокупность — х1, õ2, …, õn.

Допустим, что в процессе наблюдений или опытов мы полу- чили n значений (х1, õ2, …, õn) случайной величины Х. В дальней-

324

шем будем говорить, что сделали выборку х1, õ2, …, õn из генеральной совокупности Х.

Число n называется объемом выборки.

Выборку х1, õ2, …, õn из генеральной совокупности Х также можно представить, как значения n экземпляров х1, õ2, …, õn слу- чайной величины Х.

Заметим, что среди элементов выборки могут быть повторяющиеся. Поэтому для каждого элемента хi выборки говорят о частоте ее появления, т.е. сколько раз число хi наблюдалось в выборке.

В дальнейшем мы часто будем задавать выборку в виде табли цы

õi	õ1	õ2	…	õm
ni	n1	n2	…	nm

ãäå õ1, õ2, …, õm — различные элементы выборки, а n1, n2, …, nm — частоты элементов выборки.

Ясно, что в этом случае объем выборки n = n1 + n2 + … + nm. Значения х1, …, õm выборки будем называть вариантами. Если варианты выборки расположены в возрастающем поряд-

ке, то выборка называется вариационным рядом. Например,

õi		–1		2	5		10		11
ni		2		7	1		1		5
Варианты		выборки		называются		равноотстоящими,			åñëè

Õi +1 – Õi = h, где h — постоянное число.

На практике при описании реальных процессов различные характеристики процесса являются случайными величинами . Поэтому возникают задачи определения законов распределен ия, математических ожиданий и других характеристик этих СВ, осн о- вываясь на изучении выборок.

Пусть значения СВ Х определяют генеральную совокупность и F (x) = P (X < x) — интегральная функция распределения Х. В дальнейшем мы будем ее называть теоретической функцией распределения генеральной совокупности Х. Зная функцию F(x), можно определить все характеристики СВ Х. Поэтому поставим перед собой следующую задачу: можно ли с помощью выборок из генеральной совокупности Х приближенно найти функцию F (x)?

325

Пусть задана выборка

	õi	õ1				õ2				…	õm
	ni	n1				n2				…	nm
	объема n = n1 + n2 + … + nm.						nx
	Построим функцию F *(x) =							,	ãäå nx — число вариантов
				nx			n
	выборки, меньших х, т.е.					представляет относительную часто-
				n

ту вариант выборки, меньших х. Функция F* (x) называется функцией распределения выборки или эмпирической функцией р аспределения.

Пример 6.32. Найти эмпирическую функцию по выборке

õi	1	4	6
ni	10	15	25

Решение. Найдем объем выборки: n = 10 + 15 + 25 = 50. Наименьшая варианта равна единице, следовательно, F* (x) = 0 при x ≤ 1. Значение Х = 4, а именно х1 = 1, наблюдалось 10 раз, следовательно,

F * (x) = 1050 = 0,2 ïðè 1 < X £ 4.

Значения Х < 6, а именно х1 = 1 è õ2 = 4, наблюдались n1 + n2 = = 10 + 15 = 25 раз, следовательно,

F * (x) =	25 =	1 ïðè 4 < X £ 6.
	50	2
Òàê êàê õ3 = 6 — наибольшая варианта, то
F * (x) = 50		= 1 ïðè õ > 6.
	50
Значит,	ì 0		x £1,
		ïðè
	ï	ïðè	1 < x £ 4,
F * (x) = í0,2
	0,5	ïðè	4 < x £ 6,
	ï	ïðè	x > 6.
	î 1

326

Графически эта функция изображена на рис. 80.

F*(x) 1,0

0,5

0,2

0					3							x
	1		2			4		5		6

Ðèñ. 80

Эмпирическая функция F* (x) является приближением теоретической функции F (x), и чем больше объем выборки n, тем точ- нее F* (x) описывает F (x) (по вероятности, т.е. случайные отклонения маловероятны).

В заключение заметим: эмпирическая функция обладает анал о- гичными свойствами, что и теоретическая функция распреде ления.

6.4.2. Статистическая оценка параметров распределения

Пусть значения случайной величины Х образуют генеральную совокупность. Закон распределения СВ (например, нормальн ый закон) Х нам известен. Однако неизвестны некоторые параметры этого распределения (например, МО или дисперсия).

Требуется, изучая выборки из генеральной совокупности, оц е- нить, т.е. приближенно найти, неизвестный параметр.

Статистической оценкой неизвестного параметра называет ся всякая функция ϕ вариант xi выборки, дающая приближенное зна- чение этого параметра.

Если обозначим неизвестный параметр через θ , а его оценку через θ *, òî θ * = θ (õ1, …, õn), ãäå õ1, …, õn — выборка из генеральной совокупности Х.

Рассматривая варианты х1, …, õn выборки как значения n экземпляров Х1, …, Õn СВ Х, получим:

θ * = ϕ (Õ1, …, Õn),

т.е. статистическая оценка θ * является функцией от случайных

327

величин Х1, …, Õn, а значит и сама является СВ. Таким образом, статистическая оценка θ * принимает значения (различные) в зависимости от выборки.

Ясно, что для одного и того же неизвестного параметра можно построить различные статистические оценки. Наша задач а понять, какие оценки являются «хорошими».

Во-первых, естественно желание, чтобы статистическая оцен - ка, являясь случайной величиной, имела своим математическ им ожиданием неизвестный параметр.

Статистическая оценка θ * неизвестного параметра θ называется несмещенной, если М (θ *) = θ .

Во-вторых, естественно требовать, чтобы значения статисти - ческой оценки θ * по возможности более тесно концентрировались около θ . Вспоминая, что дисперсия является мерой рассеяния зна- чений СВ около среднего значения, дадим следующее определ е- ние.

Статистическая оценка θ * неизвестного параметра θ называется эффективной, если она обладает наименьшей дисперсие й среди всех статистических оценок параметра θ .

В третьих, естественно считать, что, чем больше объем выбор - ки, тем точнее значение статистической оценки определяет неизвестный параметр.

Статистическая оценка θ * неизвестного параметра θ называется состоятельной, если она стремится по вероятности к θ , ò.å.

limP{|θ * −θ | < ε} = 1 при любом ε > 0.

n→∞

6.4.3. Генеральная средняя. Выборочная средняя

Пусть значения случайной величины Х образуют генеральную совокупность. Математическое ожидание Х будем называть генеральной средней и обозначать xà ò.å. xà = M (X ).

Рассмотрим некоторую выборку x1, x2, …, xn (варианты могут повторяться) из генеральной совокупности Х. Будем ее рассматривать как значения n экземпляров Х1, Õ2, …, Õn СВ Х. Рассмотрим статистическую оценку

X Â = X1 + X2 + ...+ Xn , n

328

которая называется выборочной средней. Конкретное значе ние

статистической оценки X Â при выборке x1, x2, …, xn будет:

x  = x1 + x2 + ...+ xn n

(статистическая оценка X  является СВ, а x — конкретное зна-

чение X Â , зависящее от выборки).

В дальнейшем и x  будем называть выборочной средней. Если выборка задана в виде таблицы

õi	õ1	õ2	…	õm
ni	n1	n2	…	nm

òî ÿñíî, ÷òî n = n1 + n2 + … + nm

m

x

× n

+ x

× n

+...+ x

×n

å xi ×ni

m

m

=

.

x

=

1 1

2

2

=

i 1

Â

n

n

Выборочная средняя X Â является эффективной, несмещенной и состоятельной статистической оценкой для математичес кого

ожидания М(Х), т.е. для генеральной средней X Ã .

6.4.4. Выборочная дисперсия

Пусть значения СВ Х образуют генеральную совокупность. Дисперсию D (Х) CВ Х будем называть генеральной дисперсией и

обозначать DÃ, а среднее квадратическое отклонение σ Ã = DÃ

Требуется найти статистическую оценку для DÃ.

Пусть x1, x2, …, xn — выборка из генеральной совокупности Х, а Х1, Õ2, …, Õn – n экземпляров Х. Рассмотрим статистическую оценку

D = 1 ån (xi - x )2, n i=1

которая называется выборочной дисперсией. DÂ — случайная величина. Ее конкретное значение при данной выборке x1, …, xn

329

n

å

равно d =

1

n

(xi -

 )2 (d также называется выборочной дис-

i=1

x

персией).

Если выборка из генеральной совокупности задана в виде та б-

ëèöû

õi

õ1

õ2

…

õm

ni

n1

n2

…

nm

n = n1 + n2 + … + nm , òî

m

å (xi - x )2 ni

d =

i=1

.

n

Пример 6.33. Пусть выборка задана таблицей

õi

0

–1

1

2

ni

5

3

1

1

n = 5 + 3 + 1 + 1 = 10. Тогда

m

å xi × ni

0×5 + (–1)×3

+1×1+ 2 ×1

xÂ

=

i=1

=

= 0;

n

10

d =

02 ×5 + (–1)2 ×3 +12 ×1+ 22 ×1

=

3 +1+ 4

= 0,8.

10

10

DÂ является смещенной статистической оценкой для D (Х).

Поэтому рассматривают статистическую оценку

s2 =

n

×D , êî-

n -1

Â

торая называется исправленной выборочной дисперсией. s2 ÿâëÿ-

ется несмещенной статистической оценкой для DÃ Нетрудно ви-

деть, что при больших n: s2 ≈ D .

Â

Величина

d = σ Â

называется выборочным среднеквадрати-

ческим отклонением, а

s2

= s =

n -1

σ Â — исправленным вы-

n

борочным среднеквадратическим отклонением.

330