шапкин задачи с решениями

Решение. Требуется найти вероятность P13,26. Зная теорему Лапласа, необходимые вычисления производим по следующей схеме:

p = 0,4;		np	= 26×0,4 =10,4;
q =1- 0,4 = 0,6;		npq	=10,4 ×0,6 = 6,24;
n = 26;		npq	= 6,24 = 2,50;
m =13;	m - np		=13 -10,4 = 2,6;
x = m - np =		2,60	= 1,04;
npq		2,50

ϕ (x) = ϕ (1,04) = 0,2323;

P » ϕ (x)	= 0,2323 = 0,093.
mn	2,50
npq

Значения функции ϕ (x) находим по таблице.

6.2.3. Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что m — число появлений события А при n испытани-

ях — заключено между a = np +α npq							è b = np + β npq
удовлетворяет соотношению:
		lim				P (a < m < b)		=1,
					1
		n→∞				[F (β ) - F (α )]
					2
ãäå Φ (x) = 2π òx		e− t22	dt		— функция Лапласа, а α =
2	0

β = b - np (q = 1 – p). Отсюда при достаточно большом n npq

приближенное равенство:

P (a < m < b) » F (β ) - F (α ) .

2

(a < b),

(4)

a - np è npq

следует

(5)

301

	Если в соотношении (4) положить α = −ε						n
							pq
	то получим
	lim	P (np - εn < m < np + εn)				=1,
	n→∞	æ		ö
		F ç	ε	n	÷
		ç		÷
		è		pq ø

è β = ε n , pq

(6)

æ

m

ö

откуда

lim

P

ç

- p

< ε ÷

= 1

(теорема Бернулли),

òàê êàê

n→∞

ç

n

÷

è

ø

æ

n

ö

æ

m

ö

lim F ç

ε

pq

÷ =1

è

P (np - εn < m < np + εn) = P ç

- ε <

- p < ε ÷

=

n

n→∞

è

ø

è

ø

ç

÷

æ

m

ö

= P

ç

- p

<

ε ÷.

ç

n

÷

è

ø

При достаточно больших n из формулы (6) следует приближенное равенство:

P	æ	m	ö	æ	ε	n	ö	(7)
	ç		- p < ε ÷	» F ç			÷
	ç	n	÷	ç			÷
	è		ø	è		pq ø

èëè

æ	ε	ö	(8)
P ( | m - np | < ε ) » F ç		÷.
ç		÷
è	npq ø

Пример 6.18. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Чем у равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число пер - восортных заключено между 652 и 760?

Решение. Известны число независимых испытаний n = 1000 и вероятность наступления события в отдельном испытании p = 0,7. Требуется найти вероятность того, что число появлений соб ытия заключено между a = 652 и b = 760. Искомую вероятность находим по формуле (5)

P (a < m < b) » 21 [F (β ) - F (α )].

302

Расчет α è β производим по следующей схеме: np = 0,7×1000 = 700;

npq = 700×(1- 0,7) = 700×0,3 = 210;

npq = 210 =14,491;

a− np = 652 − 700 = −48;

α= a - np = - 48 = -3,31; npq 14,491

b - np = 760 - 700 = 60;

β = b - np =	60	= 4,14;
npq	14,491

–F (β ) = F (4,14) = 0,99997 F (α ) = F (–3,31) = –0,99813

F (β ) – F (α ) =1,99810.

Поэтому искомая вероятность приближенно равна:

F (β ) - F (α ) = 1,99810 = 0,99905. 2 2

Пример 6.19. Бюффон бросил монету 4040 раз, причем герб выпал 2048 раз. Можно ли считать полученное отклонение числа появлений герба от 2020 случайным или же оно обусловлено сис - тематической причиной?

Решение. Расхождение эмпирической частоты Бюффона от теоретической можно считать случайным, если вероятность то го, что при 4040 бросаниях монеты отклонение числа выпадений гер - ба от 2020 равно или больше по абсолютной величине, чем у Бюффона, достаточно большая. Пусть m — число выпадений герба при 4040 бросаниях монеты. Находим вероятность:

P ( | m – 2020 | < 28),

ãäå 28 = | 2048 – 2020 |;

æ	ε	ö
P ( | m - np | < ε ) » F ç		÷.
ç	npq	÷
è		ø

303

В данном случае p = 0,5, q = 0,5, n = 4040, ε = 28. Отсюда

np = 4040	×0,5	= 2020;	npq =	1010 = 31,78;
npq = 2020	×0,5	=1010;	ε =	28	= 0,881;
			npq	31,78

P ( | m – 2020 | < 28) » F (0,881) = 0,6217.

Поэтому вероятность противоположного события, т.е. того, что | m – 2020 | ³ 28, равна 1 – 0,6217 = 0,3783. Так как эта вероятность достаточно большая, то результат Бюффона можно счит ать обусловленным случайными причинами.

Пример 6.20. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 прорастания для каждого семени. Найти границу абсолютно й величины отклонения частости взошедших семян от вероятн ости p = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью P = 0,995.

Решение. Мы знаем, что если n — число независимых испытаний и p — вероятность наступления события в отдельном испытании, то при любом ε > 0 имеет место приближенное равенство:

æ	m	ö	æ	ε	n	ö
P ç		- p < ε ÷	» F ç			÷,
ç	n	÷	ç			÷
è		ø	è		pq ø

где q = 1 – p. В нашем случае n = 600,

P = 0,995, ε		— ? По формуле (7):
æ	m	ö	æ	ε	600	ö	èëè
P ç		- 0,9 < ε ÷	» F ç			÷
ç	n	÷	ç		0,9×0,1	÷
è		ø	è			ø

p = 0,9 , q = 1 – 0,9 = 0,1,

æ	ε	600	ö	= 0,995.
F ç		0,9×0,1	÷
ç			÷
è			ø

Пользуясь таблицей, решаем уравнение F (t) = 0,995; t = 2,81.

Отсюда ε	600		= 2,81	и, следовательно,
	0,9×0,1
		ε = 2,81		0,09	= 2,81×0,3 = 0,034.
				6×100	10 6

304

Пример 6.21. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с веро ятностью 0,997 отклонение частости изделий первого сорта в них от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01?

Решение. Здесь p = 0,85, q = 1 – 0,85 = 0,15, ε = 0,01, P = 0,997,

n — ? Так как в равенстве	P	æ	m	- p	ö	æ	ε	n	ö	известна
		ç			< ε ÷	» F ç			÷
		ç	n		÷	ç			÷
		è			ø	è		pq ø

вероятность P, стоящая слева, то сначала решим уравнение Φ (t) = P.

Пусть tP — корень этого уравнения. Тогда ε n » tP ,								ε 2	n	≈ tP2
							pq		pq
			pqt2
и, следовательно,	n »		P	. Для нашего случая t0,997 = 3, поэтому
			ε 2
	n »	0,85×0,15×32			=	1,1475	=11475.
			(0,01)2		0,0001

6.3. Случайные величины

Случайная величина (СВ) — это переменная, принимающая в каждом конкретном испытании конкретное числовое значен ие, которое может меняться от опыта к опыту.

Примеры: количество клиентов, посетивших парикмахерскую за день; месячная прибыль ателье; время проявления фотопл енки.

Случайные величины представляют результаты измерений в случайных экспериментах (испытаниях). Существует два вид а слу- чайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины — это переменные, принимающие только отделенные друг от друга числовые значения (которые можно заранее перечислить).

Примеры: оценки в зачетной книжке (3, 4, 5); количество студентов на экзамене.

Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из замкнутого или открытого интервала. Например , размеры одной и той же детали, определяемые разными людьми ил и с применением разных инструментов, различны.

Возможны комбинированные (дискретно-непрерывные) слу- чайные величины, которые на одних интервалах являются неп рерывными, а на других — дискретными.

305

6.3.1. Законы распределения

Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называется любое правило, позволяющее находить все вероятности каждого значения этой величины. Для случайны х величин любого вида — это правило, позволяющее находить в е- роятности появления этой величины в любом заданном интер вале ее значений. Законы распределения задаются в аналитиче с- кой, графической или табличной форме. Обычно для этого используются:

а) ряд распределения (многоугольник распределения); б) интегральная функция распределения; в) дифференциальная функция распределения.

Ряд распределения это таблица, в которой перечислены все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности. О н является исчерпывающей характеристикой дискретной СВ.

У непрерывных СВ ряд распределения отсутствует, поэтому он не является универсальным законом распределения СВ. Пр и- мер ряда распределения иллюстрируется табл. 1, где представлено (в порядке возрастания) пять значений дискретной слу чайной величины Х. При этом сумма всех вероятностей всегда равна единице.

					Ò à áëè ö à 1
xi	–3	0	1	3		4
Pi	0,3	0,2	0,1	0,3		0,1

Интегральной функцией распределения называют функцию F (x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.

F (x) = P (X < x),

где х — некоторая текущая переменная.

Интегральная функция распределения — самая универсальн ая характеристика СВ. Она существует и для дискретных и для н е- прерывных СВ, полностью и однозначно характеризуя их с ве роятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Часто слово «интегральная» опускается.

306

На рис. 72 представлена интегральная функция распределени я
дискретной случайной величины, заданной табл. 1.
	F (x)
	1,0		p5 = 0,1{
	0,8		ü
			ý p4 = 0,3
	0,6		þ
		} p3	= 0,1
	0,4	ýü p2 = 0,2
		þ
	0,2	ü
		ý p1 = 0,3
		þ
xI = –3	x2 = 0 x3 = 1		x4 = 3 x5 = 4 x
Рис. 72. Интегральная функция распределения дискретной
	случайной величины (см. табл. 1)

Основные свойства интегральной функции распределения:

1.Функция распределения есть неотрицательная функция, за к- люченная между нулем и единицей: 0 £ F (x) £ 1, где на границах интервала: F (x = –¥) = 0 è F (x = +¥) = 1.

2.Вероятность появления СВ в интервале от α äî β, равна разности значений интегральной функции распределения на ко нцах интервала, т.е.

P (α < x < β ) = F (β ) – F (α).

3.Интегральная функция — неубывающая функция своего аргумента, т.е. если x2 > x1, òî F (x2) ³ F (x1).

4.В отдельных точках F (x) может иметь разрыв. В этих точ- ках величина скачка функции распределения равна вероятн ости появления случайной величины в этой точке:

P (X = x) = F (x + 0) – F (x).

307

5. График функции распределения дискретной СВ имеет ступенчатый вид (рис. 72), а непрерывной — непрерывную линию (рис. 73).

F(x) 1,0

ì

0

ïðè x < -2

ï

ïðè - 2 £ x < 4

F(x) = íy(x)

ï

1

ïðè x ³ 4

î

–2

–1

0

1

2

3

4

õ

Рис. 73. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины

Плотностью (дифференциальной функцией) распределения непрерывной случайной величины x называется производная ее интегральной функции: f (x) = F¢ (x).

Основные свойства плотности распределения:

1.Дифференциальная функция неотрицательна: f (x) ³ 0.

2.Интеграл от f (x) в пределах от –¥ до х* равен интегральной функции распределения

xò* f (x) dx = F (x*) = P (X < x*) = P (–¥ < X < x*).

–∞

Этот интеграл численно равен площади фигуры, лежащей левее точки х* и заключенной между кривой плотности и осью абсцисс (рис. 74).

308

F (x)

S = F(x*)

0

x* x

Рис. 74. Графическое изображение интегральной функции

F(x*) = P (X < x*)

3.С помощью дифференциальной функции можно определить

вероятность попадания случайной величины в заданный инт ервал от α äî β, которая равна

β

P(α < X < β ) = ò f (x) dx,

α

т.е. вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (α; β ) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от α äî β (ñì. ðèñ. 75).

F (x)

			S = P	(α < x < β )
	0 α			β		x

Рис. 75. Графическое изображение интегральной функции в интервале от α äî β

309

4. Интеграл от плотности распределения в бесконечных пределах равен единице:

∞

ò f (x) dx = F (¥) - F (–¥) =1– 0 =1.

∞

Пример 6.22. Случайная величина Х задана интегральной функцией:

ì0		ïðè x < 0,
ïx			0 £ x £ 2,
F (x) = í		ïðè
ï2		ïðè	x > 2.
ï1
î

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 1).

Решение. Искомая вероятность равна приращению интегральной функции на заданном интервале:

P (0 < X < 1) = F (1) – F (0).

Так как на интервале (0; 1) по условию F (x) = 2x , òî

F (1) – F (0) = 21 - 20 = 21 .

Èòàê,

P (0 < X < 1) = 21 .

6.3.2. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание М (Х) и дисперсия D (X) — наиболее часто применяемые характеристики случайной величин ы. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его п оложение и степень разбросанности.

Математическим ожиданием называется:

а) для дискретной случайной величины – сумма всех произве - дений ее возможных значений на их вероятности:

M(X ) = åxi × p (xi ) =åxi × pi ;

ii

310