шапкин задачи с решениями

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ РАЗДЕЛАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

6. ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

6.1.Двойные интегралы

6.1.1.Изменить порядок интегрирования:

2 y+4

à) òdy ò f (x; y) dx.

02 y

Область интегрирования (заштрихована) (рис. 57) ограниче- на снизу и сверху прямыми y = 0 и y = 2, а слева и справа прямыми х = 2y и х = y + 4. Меняем пределы интегрирования, тогда в на-

правлении оси Оу на х [0; 6]										нужно выделить две области:
х [0; 4] и х [4; 6] и первая область D1 будет ограничена снизу
и сверху прямыми: y = 0 и y =							x			, a вторая область — y = х – 4
è y = 2.							2
y
2			1234567890			1					234
	12345678901						12345
	12345678901						12345
	12345678901
0	12345678901						12345∙
							4		6						x

Ðèñ. 57

2	y+4	4	x		6	2
			2
Тогда òdy ò		f (x; y) dx = òdxò			f (x; y) dy + òdx ò f (x; y) dy.
0	2y	0	0		4	x−4

261

4	x2	6	6−x		1	6−2y
	16			2
á) òdx ò		f (x; y) dy + òdx		ò	f (x; y) dy = òdy		ò f (x; y) dx.
0	0	4		0	0	4	y

Строим область интегрирования D (рис. 58). Она состоит из двух областей: D1 – на отрезке х [0; 4] ограниченной снизу и

сверху кривыми y = 0 и y = x2 , è D2 — на отрезке х [4; 6] огра-

16

ниченной снизу и сверху прямыми y = 0 и y = 6 -2 x . y

1
0	4	6	x

Ðèñ. 58

При изменении порядка интегрирования будем иметь правил ь- ную область D, ограниченную слева и справа кривыми x = 4 y

и х = 6 – 2у, а снизу и сверху прямыми y = 0 и y = 1. Ответ записан наверху.

6.1.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 0;

y = x2 è	плоскостью, проходящей через точки А (2; 4; 0),
B (–4; 4; 0),	C (0; 0; 6).

Составим уравнение плоскости, проходящей через три задан - ные точки:

x - xC	y - yC	z - zC
xA - xC	yA - yC zA - zC
xB - xC	yB - yC zB - zC

= 0,		x	y	z - 6		x	y
		2	4	– 6		2	4 =
		– 4	4	– 6		– 4	4

= x ×4 ×(–6) + y(-6)(-4) + (z - 6)2 ×4 - (z - 6)4(-4) - x(-6)4 - y ×2 ×(-6) = 0,

262

èëè

–24õ + 24y + 8z – 48 + 16z – 96 + 24x + 12y = 0,

èëè

3y + 2z – 12 = 0

и окончательно

z = 6 - 23 y.

Изобразим тело (рис. 59): параболический цилиндр y = x2 ограничен снизу плоскостью z = 0, а сверху — плоскостью z = 6 − 23 y

параллельной оси Ox. Область интегрирования D (рис. 60) есть фигура ограниченная параболой y = x2 и прямой y = 4.

z

y

4

D

0 y

–2

0

2

õ

x

Ðèñ. 59

Ðèñ. 60

В силу симметрии тела относительно плоскости zOy удвоим интеграл:

									2					4	æ				3			ö					2		æ				3					ö
									ò					ò													ò										2			4				=
					V =			2			dx				ç6		-			y÷ dy				=		2		dx ç6y -								y		÷		x		2
																			2														4
															è							ø							è									ø
									0				x2														0
	2	æ	æ			3				2	ö æ							2		3			2		2	öö						2	æ									2			3			4	ö
= 2		ç	ç6	×4	-		×4					÷ - ç6× x							-			(x		)		÷÷ dx = 2						ò0	ç12				- 6x						-				x		÷ dx	=
		ç	è								ø è																÷						è																ø
	ò0 è					4														4						øø																			4
		æ						3			3				5	ö		2				æ							3			3				5	ö			32
= 2 ç12x					- 2x				-					x		÷		0	=	2 ç12 ×2						- 2 ×2				-			×2				÷	=							(êóá.åä.)
											20																				20											5
		è														ø						è															ø

263

6.1.3. Изобразить и найти площадь фигур, ограниченных ли-

ниями:

à) y = 0; y = õ2 è y = 4 (õ – 6)2.

Построим две параболы и найдем их точки пересечения:

ìïy = x2

í

ïy = 4(x - 6)2 ,

î

отсюда х2 = 4(õ – 6)2 èëè x2 – 16x + 48 = 0, его корни x1 = 4 è x2 = 12. На чертеже (рис. 61) изображена заштрихованная фигура, площадь которой определяем:

4	x2	6	4(x−6)2	4	6
S = òdx òdy +òdx			òdy =òdx × y		0x2 +òdx × y	04(x−6)2 =
0	0	4	0	0	4

= ò4 x2dx + 4ò6 (x - 6)2 dx =

04

	=	1	x3		4	(x - 6)3		46 =	1	43	+	4	((6 - 6)3	- (4 - 6)3 )=
				04 +
		3			3				3			3

= 643 + 323 = 32 (êâ. åä.)

y

0	4	6	x

Ðèñ. 61

264

á) (x2 + y2)2 = 18 · xy.

В полярных координатах это уравнение запишется в виде (смотрите пример 4.4.1б): ρ2 = 9 sin 2ϕ. Рассмотрим заштрихованную область, для нее координаты ρ è ϕ определены неравенства-

ìè 0 ≤ ϕ ≤

π

,

0 £ ρ £ 3

sin 2ϕ .

Тогда

4

π

3

sin2ϕ

π

4

4

òò

ò

2

ò

ò

sin2ϕ

S =

ρ dϕ dρ = 4 dϕ

ρ dρ = 4

dϕ

1

ρ

2

3

=

D

0

0

0

0

π

(3

sin2ϕ )2dϕ =18

π

4

1

4

π

= 2

ò

×

ò

sin2ϕ d (2ϕ ) = 9 (-cos2ϕ )

04

=

2

0

æ

π

0

ö

= 9 (êâ.åä.).

= -9 çcos

2

- cos0÷

è

ø

6.2. Тройные интегралы

6.2.1. Найти интеграл òòò x dx dy dz, если тело V ограничено

V

плоскостями: x = 0, y = 0, x + 4y – 2z = 0 и x + y + z – 6 = 0.

Решение. Тело V ограничено координатными плоскостями xOz

èyOz, а снизу и сверху – соответственно плоскостями: z = 21 (x + 4y)

èz = 6 – x – y. Найдем линию пересечения этих плоскостей:

	ì	1
	ïz =			(x + 4y)
		2
	í
	ïz =	6 - x - y,
	î

èëè

21 (x + 4y) = 6 - õ - y,

èëè

x + 2y – 4 = 0.

265

Имеем

y =

1

(4 − x).

Построим на плоскости xOy область D

2

(рис. 62). Вычисляем:

4

1

(4−x) 6−x− y

4

21 (4−x)

2

21

( x

+4y) =

òòò x dx dy dz = ò x dx

òdy

òdz = ò x dx

òdy z

6

−x

− y

V

0

0

1

( x

+

4y)

0

0

2

4

1

(4−x)

2

æ

1

ö

ò

ò

=

è

2

ø

=

0

x dx

0

dy ç(6

- x - y) -

(x + 4y)÷

4

1

(4−x)

4

2

æ

3

ö

æ

1

1

ö

1

−x)

ò

ò

ò

2

(4

=

=

x dx

ç

6 -

x -

3y÷ dy = 3

x dx ç2y -

xy -

y

÷

2

è

2

ø

è

2

2

ø

0

0

0

æ

0

2 ö

4

1

1

1

1

æ

1

ö

ò

ç

÷

=

= 3

x dx

ç

2

×

(4

- x) -

x ×

(4 - x) -

ç

(4 - x)÷

÷

2

2

2

2

2

è

ø

0

è

ø

4

æ

1

2

ö

4 æ

2

1

3

ö

= 3

ò

x ç2

- x +

x

÷ dx = 3

ò

ç2x - x

+

x

÷ dx

=

8

8

è

ø

è

ø

0

0

æ

x2

1

3

1 1

4

ö

æ

64

ö

4

=

3ç

2

×

-

x

+

x

÷

0

= 3 16

-

+ 8

÷

=

8.

ç

2

3

8 4

÷

ç

3

è

ø

è

ø

y

123456789012345678901

123456789012345678901

123456789012345678901

123456789012345678901

123456789012345678901

123456789012345678901

123456789012345678901123456789012345678901D

123456789012345678901

123456789012345678901

123456789012345678901

0

4

x

Ðèñ. 62

266

6.2.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

	2z = x2 + y2; z = 2; x = 0; y = 2x.
	Решение. Тело снизу ограничено поверхностью z =						1	(x2	+ y2 ),
						2
	а сверху — z = 2. На плоскости xOy построим область
						D (ðèñ. 63).
	y
			γ		D
		ϕ			x

Ðèñ. 63

Перейдем к цилиндрическим координатам:

ìx = ρ cosϕ, ïíy = ρ sinϕ,

ïz = z.

î

Уравнение параболоида будет иметь вид:

2z = ρ2 cos2 ϕ + ρ2 · sin2 ϕ , èëè 2z = ρ2, èëè z = ρ 2 . 2

Радиус ρ изменяется от 0 до ρ = 2z = 2 Ч2 = 2. Найдем пределы изменения угла ϕ (ðèñ. 64).

y

À

θ

0	Â	x

Ðèñ. 64

267

tgθ =

AB

= y = 2x

= 2,

тогда θ = 63,4349° è ϕ = 90° + θ =

OB

x

x

= 153,4349° = 0,852π, ò.å. ϕ изменяется от 0 до 153,4349° = 0,852π.

Находим объем:

V = òòò dx dy dz = òòò ρ dρ dϕ dz =

0,852π

2

2

òdϕ òρ dρ ò dz =

V

V

0

0

ρ 2

2

=

0,852π

2

ρ dρ z

2

0,852π

2

æ

-

ρ 2

ö

0,852π

2

æ

-

1

3 ö

ò

dϕ

ò

ρ2

=

ò

dϕ

ò

ρ ç2

2

÷ dρ =

ò

dϕ

ò

ç2ρ

2

ρ

÷ dρ =

ç

÷

è

ø

0

0

2

0

0

è

ø

0

0

0,852π

æ

ρ 2

1 1

ö

0,852π

π

π

=

òd

ϕ ç

2

-

2 × 4

ρ 4 ÷

2

= 2

ϕ

ϕ 0,852

=

(êóá. åä.).

ç2 ×

÷

0

òd

= 2

0

1,704

0

è

ø

0

6.3. Криволинейные интегралы

y

6.3.1. Вычислить криволи-

B

16

À

нейный интеграл

òP (x; y) dx + Q (x; y) dy,

Ñ

D

ãäå

P(x; y) = 2x + 2y,

Q(x; y) = 4x + 2y,

а контур C (OABO) ограничен

линиями:

ÎÀ : y = 4x2,

AB : y = 16,

BO : x = 0.

а) Вычисляем непосредствен-

0

2

но. Строим контур (рис. 65).

x

Ðèñ. 65

268

Обход контура совершаем против часовой стрелки:

ò (2x + 2y) dx + (4x + 2y) dy =

ÎÀÂÎ

= ò (2(x + 4x2 ) dx + 2(2x + 4x2 ) d (4x2 ))+

OA

+ ò (2(x +16) dx + 2(2x +16) d 16)+ ò(2yd0 + 2ydy) =

AB

BO

= ò2 (2x + 40x2 + 64x3 ) dx + ò0 (2x + 32) dx + 2 ò0 y dy =

0														2								16
æ	2		40				3			4	ö			+		2	+ 32x)		0	+ y		2			0	=
													2
= ç x		+				x		+16x			÷		0		(x				2						16
				3
è											ø
		æ			320						ö									128
	= ç4			+					+ 256		÷	- (4			+ 64) - 256			=					.
					3															3
		è									ø

б) Вычисляем криволинейный интеграл по формуле Грина:

ò

æ ¶Q

¶P ö

òò

P dx +Q dy =

òò ç

¶x

-

¶y

÷

(4

- 2) dx dy =

ç

÷ dx dy =

Ñ

D è

ø

D

2

16

2

= 2ò dx

ò

dy = 2

ò dx × y 164x2 =

0

4x2

0

2

æ

x

3

ö

æ

8 ö

128

= 8 ò (4 - x

2

2

= 8

ç

4x -

÷

=

) dx

ç

3

÷

0 = 8

ç8

-

3 ÷

3 .

0

è

ø

è

ø

Вычисление криволинейного интеграла непосредственно и по формуле Грина совпало.

6.3.2. Вычислить криволинейный интеграл

J = ò (2x + 4z) dx + (2y + 2z) dy -12zdz

C

269

вдоль одного витка винтовой линии С:

ì	x = 2cos4t,
ï	y = 2sin4t,
í
ï	z = 6t,	0 £ t £	π
î			2 .

Решение.

J = 2òπ ((4cos4t + 24t) (-2 ×4sin4t) dt +

0

+(4 sin4t +12t)×(2 ×4 cos4t) dt-12 ×6×t ×6dt)=

=16 2òπ (-2sin4tcos4t -12tsin4t + 2sin4t ×cos4t +6tcos4t - 27t) dt =

0

=16 2òπ (-12tsin4t + 6tcos4t - 27t) dt =

			0
	æ		2π	2π	2π	ö
= 48	ç	- 4	ò tsin4t dt + 2			÷
	ç			ò tcos4t dt - 9 ò tdt ÷.
	è		0	0	0	ø

Рассмотрим два интеграла, которые возьмем по частям:

J1 = ò tsin4t dt = - 41 tcos4t + 41 × 41 ò cos 4t d (4t) = - 14 tcos4t + 161 sin4t.

u = t, du = dt;

dv = sin4t dt, v = 41 òsin4t d (4t) = - 41 cos4t.

J2 = ò tcos4t dt =	1		1	1				ò sin 4t d (4t)			1			1
		tsin4t -		×					=				tsin4t +		cos4t.
	4		4			4					4			16
		u = t,						du = dt;
dv = cos4t dt, v =				1			òcos4t d (4t) =		1			sin4t.
					4					4

270