4.Содержание отчета.

Отчет должен содержать исходные данные, рисунок схемы, по­рядок расчетов, необходимые матрицы для расчета, а также результа­ты проверки по первому закону Кирхгофа.

5. Контрольные вопросы

5.1. Представление гиратора при помощи двух источников тока управлямых напряжением.

5.2. Сформулировать правила составления матрицы проводимо­стей ИТУН.

5.3. Сформулировать правила составления матрицы проводимо­стей ИТУН в виде произведения единичных векторов.

5.4. Как изменится матрица проводимостей ИТУН, если источник подключен к нулевому узлу?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

ТАБЛИЧНЫЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЦЕПЕЙ

1. Цель работы: получить навык при составлении уравнений таблич­ным методом.

2. Основные теоретические сведения

Табличный метод - наиболее общий метод составления уравнений цепи. В нем все уравнения, описывающие цепь, включены в общую систему уравнений,содержащую:

- уравнения Кирхгофа для тока;

- уравнения Кирхгофа для напряжения;

- компонентные уравнения.

Табличный метод формирования уравнений основан на тео­рии графов. Для описания топологии цепи заменим каждый двухпо­люсный элемент отрезком линии, называемом ветвью графа. Присвоим некоторые номера всем узлам схемы и те же самые номера точкам со­единения ветвей.

При составлении сигнального графа заменяем произвольный двухполюсный элемент ветвью графа. Каждая ветвь имеет направление и для любой ветви, за исключением источников, совпадает с направле­нием протекающего через элемент тока. Поскольку потенциал узлов до решения системы уравнений неизвестен, направление токов ветвей со­ответствующих пассивных элементов выбирается полностью произ­вольно.

Для источника тока направление протекающего тока очевидно. Для источника ЭДС примем направление ветви графа от положительного полюса источника к отрицательному (рис.3.1).

Рис. 3.1. Источники напряжения и тока и их графы

Рассмотрим направленный граф некоторой электрической схемы, изображенный на рис.3.2.

Рис. 3.2. Направленный граф простой электрической схемы

Запишем закон Кирхгофа для токов; при этом, ток, вытекающий из узла будем считать положительным.

Для узла 1: i₁ + i₄ + i₆ = 0

Для узла 2: i₂ -i₄ + i₅ = 0

Для узла 3: i₃ - i₅ - i₆ = 0

Эти выражения можно переписать в матричной форме:

, (3.1)

где матрица А, называется матрицей инциденций.

Выражение (3.1) – называется обобщенным законом Кирхгофа для токов.

Матрица инциденций для направленного графа, содержащего 3 узла и 6 ветвей, представленного на рис.3.2, имеет вид:

. (3.2)

Узловые потенциалы также связаны через матрицу инциденций. Пусть U_ni - потенциал i-гo узла по отношению к нулевому. Напряжение, 4-й ветви, к примеру (рис.3.2) определится следующим образом:

.

Тогда для всех ветвей графа можно записать:

или

, (3.3)

где А^T - транспонированная матрица инциденций,

u_в - вектор напряжения ветвей,

U_n - вектор узловых потенциалов.

Выражение (3.3) – называется обобщенным законом Кирхгофа для напряжений и может записываться в следующем виде:

(3.4)

Индекс "n" соответствует узлам, а индекс "в" — ветвям, и в приложениях индекс "в" заменяется номером элемента в этой ветви (для пятого элемента вместо "в" будет стоять цифра 5 и т. д.).

В общем случае компонентные уравнения, описывающие элемент цепи, можно представить в следующей форме:

, (3.5)

где Y_в и Z_в - проводимость и импеданс элемента в ветви соответственно;

W_в - токи и напряжения независимых источников, учитывающие также влияние начальных условий на конденсаторах и катушках индуктивности.В табл. 3.1 представлены значения Y_в , Z_в и W_в для различных типов двухполюсных элементов.

табл. 3.1. Значения Y_в , Z_в и W_в для двухполюсных элементов.

ЭЛЕМЕНТ	Компонентное уравнение	Yв	Zв	Wв
1. Резистор		1	-Rв	0
2. Проводимость		Gв	-1	0
3. Конденсатор		pСв	-1	Cв U0
4. Катушка индуктивности		1	-pLв	-Lв I0
5. Источник тока		0	1	Jв
6. Источник ЭДС		1	0	Eв

В табл.3.1 U₀ и I₀ - начальные условия - напряжение на конденсаторе и ток через катушку.

Уравнения 3.1, 3.4 и 3.5 можно записать в следующей последовательности:

,

и представить в матричном виде:

, (3.6)

или в общем виде: .

Как следует из (3.6), блочная матрица Т имеет на главной диагонали квадратные подматрицы. При табличном методе нет никаких оснований различать источники и пассивные компоненты. Нумерация элементов также может быть совершенно произвольной.

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.3.3.

а) б)

Рис.3.3. Простая цепь – а) и ее направленный граф - б)

В этом примере намеренно введены элементы R и G для того, чтобы наглядно показать разницу в описании каждого элемента. Матрица инциденций для этой цепи имеет вид:

,

В результате табличные уравнения принимают вид:

.

Если в начальный момент времени на конденсаторе есть напряжение U₀, плюс которого приложен к узлу 1, а минус - к узлу 2, то седьмой элемент вектора в правой части равенства будет равен C3U₀.

Рассмотрим как вносится в граф 4-полюсник. В графе каждая пара зажимов 4-полюсника представляется двумя направленными отрезками (рис. 3.4). Соответственно, записываются два компонентных уравнения, приведенные в табл.3.2 в матричной форме для некоторых идеальных 4-полюсников.

Ри.3.4. Четырехполюсник и его направленный граф.

Элемент	Обозначение	Компонентное уравнение
1. Источник тока управляемый напряжением

2. Источник напряжения управляемый напряжением
3. Источник тока управляемый током
4. Источник напряжения управляемый током
5. Операционный усилитель
6. Трансформатор

Запишем матрицу инциденций и компонентные уравнения и матрицы Y_в, Z_в для цепи, показанной на рис.3.5.

Составим направленный граф для данной схемы (рис. 3.6).

Ветвь 7 соответствует входным, а 8 - выходным зажимам УНИН. Матрица инциденций будет иметь вид:

.

Рис. 3.5. Активная цепь с УНИН

Рис. 3.6. Направленный граф активной цепи

Компонентные уравнения для этой цепи выглядят следующим образом:

Седьмое и восьмое уравнения описывают две ветви УНИН. Запишем компонентные уравнения в матричной форме.

Табличный метод пригоден для всех идеальных элементов. Этот метод является наиболее общим. После решения системы все напряжения и токи становятся известны.

3. Порядок выполнения работы

3.1. По заданию, выданному преподавателем, произвести расчет простой схемы на ЭВМ .

3.1.2. Нарисовать направленный граф простой схемы.

3.1.3. Составить необходимые матрицы для расчета данной схемы на ЭВМ табличным методом.

3.1.4. Найти узловые потенциалы,напряжения и токи в ветвях.

3.1.5. Сделать проверку по закону Кирхгофа.

3.2. По заданию, выданному преподавателем, произвести теоретический расчет схем, содержащих идеальные 4-полюсники.

3.2.1. Для этой схемы оставить:

а) направленный граф схемы;

б) матрицу инциденций;

в) компонентные уравнения для ветвей графа в матричной форме.