4.Содержание отчета.

Отчет должен содержать исходные данные, рисунок схемы, по­рядок расчетов, необходимые матрицы для расчета, а также результа­ты проверки правильности расчета по первому закону Кирхгофа.

5. Контрольные вопросы

5.1. Какие элементы относятся к первой группе ?

5.2. Какие элементы относятся к элементам второй группы?

5.3. Принцип дополнения матрицы проводимостей элементов 1-й группы.

5.4. Отличие данного метода от модифицированного метода.

Лабораторная работа № 6

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Цель работы: цзучить применение метода для расчета чувствительности характеристик электрической схемы к изменению парамет­ров элементов.

1. Основные теоретические сведения

Чувствительность - это некоторая физическая величина, которая позволяет получить дополнительную информацию о поведении физи­ческой системы. С ее помощью можно определить, как изменение ка­кого-либо параметра схемы влияет на поведение всей схемы; можно также сравнивать качество различных цепей, имеющих одинаковый отклик при номинальных параметрах.

Чувствительность D^F_h определяется как дифференциал (произ­водная) функции F по некоторому параметру h:

Причем функция F может быть произвольной функцией цепи (полюсом, нулем), а параметр h - значением параметра (или элемента) схемы.

Пусть дана система линейных уравнений вида:

(6.1)

Ее нормальное решение:

(6.2)

Найдем чувствительность всех элементов вектора X по отноше­нию к некоторому параметру h.

Продифференцируем выражение (6.1) относительно вектора X по параметру h:

Определим искомую функцию :

. (6.3)

Порядок расчета чувствительности системы линейных уравне­ний:

1. Решаем систему линейных уравнений (6.1), находим вектор X.

2. Составляем матрицу , вектори находим вектор.

На практике очень редко требуется оценивать чувствительность всех компонентов вектора X. Чаще имеем единственную выходную скалярную величину f связанную с вектором X, и необходимо знать производные этой величины по нескольким параметрам h_i . Рассмотрим метод присоединенной или транспонированной системы, позволяющий разработать достаточно эффективный алгоритм решения этой проблемы. Для простоты обозначений индекс i у переменной h записывать не будем.

Формальное решение системы (6.12) имеет вид

(6.13)

Допустим, что выходная скалярная величина является некоторой функцией f(Х).и является линейной комбинацией компонентов вектора X:

(6.14)

где d - постоянный вектор.

К примеру Если вектор X имеет вид:

,

то для функции f=I_вх, постоянный вектор

Нашей задачей является вычисление чувствительности скалярной функции f по отношению к параметру h. Для этого продифференцируем (6.14):

Подставим выражение для из (6.13) :

(6.15)

Заметим, что вектор-строка в (6.15) может быть рассчитан одновременно с определением вектора X перед вычислением чувствительности.

Определим присоединенный вектор Х^П с помощью соотношения

. (6.16)

Умножим справа обе части равенства на матрицу Т и затем транспонируем левую и правую части для получения системы уравнений относительно Х^П:

. (6.17)

Подставим (6.16) в (6.15):

(6.18)

Для каждого параметра h_i формируются матрица dT/dh_i и вектор dW/dh_i, а затем определяется правая часть (6.18). Векторы X и Х^П не зависят от индекса i параметра h_i . Чтобы воспользоваться соотношением (6.18), необходимо найти решение только двух систем линейных алгебраических уравнений (6.11) и (6.17) независимо от числа параметров h_i .

Вычислительную процедуру метода присоединенной системы можно представить следующим образом:

Шаг 1. Решаем данную систему уравнений

ТХ = W.

Шаг 2. Решаем присоединенную систему уравнений

Шаг 3. Для каждого параметра h_i формируем матрицу dT/dh_i и вектор dW/dh_i, подставляем в (6.18) и вычисляем .

Рассмотрим цепь с двумя зависимыми источниками, изображен­ную на рис. 6.1.

Рис.6.1. Цепь с двумя зависимыми источниками

Определим чувствительность вектора X к изменению параметра h_i=R1. Для начала найдем вектор X, произведя расчет цепи модифицированным методом с проверкой.

Использовав нумерацию узлов, показанную на рисунке, составим сначала матрицу узловых проводимостей для сопротивлений и емкости, включив также УНИТ. Затем добавим уравнение для источника напряжения и, наконец, для УНИН.

В результате получим:

T

X W

где T – матрица узловых проводимостей, дополненная уравнениями элементов второй группы в виде дополнительных строк и столбцов для расчета схемы модифицированным методом с проверкой ( в данном примере это (n+1) – строка и столбец для источника ЭДС и (n+2) строкf и столбец для управляемого напряжением источника напряжения;

X - вектор узловых потенциалов, дополненный токами элементов второй группы (в данном примере это ток источника независимого источника напряжения I_E, и выходной ток I_УНИН управляемого напряжением источника напряжения);

W – вектор независимых источников, (в который в данном примере включается также (n+1)–строкой величина Е независимого источника напряжения).

Вектор X определяется формулой 6.2.

Составляем матрицу , вектори находим вектор.

, ,

вектор определяется формулой 6.13.

Если же стоит задача определить чувствительность одного компонента вектор X к заданному параметру, используют метод присоединенной системы. Пусто требуется определить чувствительность тока источника напряжения к изменению параметра h=C1.

Система уравнений ТХ = W решена, вектор X определен. Постоянный вектор d определиться следующим образом:

Определим присоединенный вектор Х^П с помощью соотношения 6.16. Для параметра h=С1 формируем матрицу dT/dС1 и вектор dW/dС1, и подставляем в (6.18).

,

3. Порядок выполнения работы

3.1. Для схемы, выданной преподавателем, составить матрицы, необходимые для расчета данной схемы на ЭВМ модифицированным методом с проверкой.

3.2. Сделать проверку правильности расчета по закону Кирхгофа.

3.3. Определить чувствительность вектора X к заданному преподавателем параметру h₁.

3.4. Определить чувствительность заданного компонента вектора X к заданному преподавателем параметру h₂.