Математика / 4020

в) действительная ось равна 6 и гипербола проходит через точку

A(9; –4);

г) гипербола проходит через две точки P(–5; 2) и Q(2 2 ; 2 ).

1.3.4. Парабола

Пример 1. Дано уравнение параболы y x2 . Найти координаты фокуса и уравнение директрисы.

Решение.

Из вида уравнения следует, что парабола симметрична относительно оси OY и ветви направлены вверх. Уравнение такой параболы

имеет вид: x2 2 py 2 p 1 p 12 . Тогда фокус имеет координаты

(0; 2p ). В нашем случае F(0; 14 ). Уравнение директрисы для такой па-

раболы имеет вид: y 2p . В нашем случае: y 14 .

Задачи для самостоятельного решения.

Составить уравнение параболы, зная, что: а) расстояние фокуса от вершины равно 3;

б) фокус имеет координаты (5; 0), а ось ординат служит директрисой;

в) парабола симметрична относительно оси X, проходит через начало координат и точку M(1; –4);

г) парабола симметрична относительно оси Y, проходит через начало координат и через точку M(6; –2);

д) симметрична относительно оси Y, фокус помещается в точке (0; 2) и вершина совпадает с началом координат.

11

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Матрицы и действия над ними

		2	0	1
Пример 1. Вычислить 3A 2 AT 7E , если		1	2	0
	A				.
		4	3	5

Решение.

2		0	1		2		0	1 T		1 0			0
	1 2		0			1 2		0			0	1	0
3A 2 AT 7E 3					2					7
	4	3	5			4	3	5			0	0	1

	6 0	3		2 1			4		7 0			0
	3 6	0			0	2	3			0	7	0
				2
	12 9	15			1	0	5			0	0	7

6			2 2 7				0 2 ( 1)					0		3			2 4 0					9				2 5
	3 2 0 0 6								2 2			7		0			2 3 0						3			9 6
																												.
	12 2 1 0						9		2 0			0	15				2 ( 5) 7						10 9 2
	Пример 2. Найти произведение матриц А и В:																										6	1
																	5	0	2		3
			1 2				3		5																		2	3
					, B							б)		A			4 1 5				3		, B
а) A
			3 4																								7	0
							5		9								3	1 1			2
																											4	5
			8 0		1					2		3		7
			1 2 0				, B			2		4		5
в) A															.
			4 2 3							1		2 6
												Решение.
а) A		B		C					1 2			3 5		1 3 2 5					1 5 2 9								13	23
2 2			2 2		2 2							5 9			3 3 4 5 3 5 4 9
									3 4																		29	51

12

			5	0	2	3			6	1
									2	3
б)	A3 4 B4 2 C3 2		4	1	5	3
									7	0
			3	1	1	2
									4	5

5 6				0 ( 2) 2 7							3 4			5 ( 1) 0 3 2 0 3 5																	56			10
	4		6	1 ( 2) 5 7 3 4										4 ( 1) 1 3 5 0 3															5			69		14
																																				.
	3		6	1 ( 2) 1 7 2 4											3 ( 1) 1 3 1 0 2														5			17		10
										8	0		1					2			3		7
в) A3 3 B3 3 C3 3										1	2		0					2			4		5
										4 2			3					1			2
																								6
8 2 0 ( 2) 1 1											8 3 0 ( 4) 1 2												8 7 0 5 1 ( 6)
		1	2 2 ( 2)				0 1				1 3 2 ( 4) 0 2												1 7 2 5 0 ( 6)
		4 2 2 ( 2)					3 1				4 3		2 ( 4) 3 2										4 7 2 5 3 ( 6)
												17				26				50
													6			11
																				3 .
													7			10				20
Пример 3. Найти значение многочлена f (x) от матрицы А, если
																						1		2			3
						f (x) 3x2 2x 5,																2		4 1
																			A									.
																						3		5			2
													Решение.
f (x) 3A2
					2A 5E , где E								– единичная матрица размера 3 3.
							3					3
							1				2		3			1				2 3					6				9		7
								2			4		1				2			4 1						3 7					4
			A2 A A																														.
								3			5		2				3			5 2						1 4					8
				6		9	7				1		2					3			1		0 0						21					23 15
f (A) 3					3 7		4					2	4					1				0	1 0										34 10
									2												5								13								.
					1 4		8					3	5					2				0	0 1							9
																																	22 25

13

Задачи для самостоятельного решения.

			6	4
Пример 4. Вычислить 4 A 5AT 3E , если A					.
			- 3	5
		2		3	1
Пример 5. Вычислить A 4B 2CT , если		4		0	5		,
	A
		1	1		6

								1		0	1				7 8			1
									2	3 5				C		2	0	4
							B						,						.
									4	6		7				3	5	9
	Пример 6. Найти произведение матриц A B :
		2		1			5								1		1	2			1 0 4
а)													б)	A		3	4	5		, B		3 1 5		,
	A			,			B			,
		3						6
				4												7	6	0				1 2 8
									3	1
		5	3	2
в)							, B		8	2		.
	A
		0	1	4
									6	0
	Пример 7.						Найти			значение многочлена								f (x) 2x2 4x 3					от
					2		3	1
					4		0		5
матрицы A										.
					1		1		2

2.2. Определители

Пример 1. Вычислить определители первого, второго и третьего

порядков: а)		3		, б)		2	3		, в)		1	2	3		.
											4	0	2
						4	5				6	5	1

Решение.

а) 3 3,

14

б)				2 3			2 5 ( 3) 4 10 12 22 ,
				4	5
в)			1		2		3
			4		0		2		1 0 ( 1) 2 ( 2) 6 4 5 ( 3) ( 3) 0 6
			6		5		1
									5 ( 2) 1 4 2 ( 1) 66 .

Пример 2. Вычислить определитель, используя теорему Лапласа

3 1 15 1 3 . 2 0 1

Решение.

Воспользуемся теоремой Лапласа и разложим определитель по элементам третьей строки.

		3	1		1				2 A31 0 A32 1 A33
		5	1		3
		2	0		1
2 ( 1)3 1				1	1				1 ( 1)3 3		3	1		2 4 8 16.
				1	3						5	1

Пример 3. Вычислить определители, предварительно упростив их, используя свойства определителя:

							а)		191	391				,		б)			2		1			2		.
																			3	5				4
									227	427									1	2				1
												Решение.
а)		191	391				191	191 200								191	191						191		200
		227	427				227	227 200								227	127						227		200

0 191 200 227 200 200 (191 227) 7200 .

15

	2	1	2	I III ( 2)		0	5	4		I II 4		0	49	0
б)				II III( 3)
	3	5	4			0	11	1				0	11	1	49 1 1 49
	1	2	1			1	2	1				1	2	1

Задачи для самостоятельного решения.

Пример 4. Вычислить определители первого, второго и третьего

порядков: а)		12		, б)		3	6		, в)		4	2	8		.
											7	5	1
						9	5				3	2	6

Пример 5. Вычислить определители, используя теорему Лапла-

са:

а)		2	3	4		,	б)		2	1	0		.
		2	5	9					4	2	8
		0	3	7					0	1	1

Пример 6. Вычислить определители, предварительно упростив их, используя свойства определителя:

а)		3171	2161		, б)		1	2	3		.
							5	6	4
		3172	2162				3	1	5

2.3. Обратная матрица. Системы линейных однородных и неоднородных уравнений.

Пример 1. Найти матрицу A 1 , обратную данной матрице А, если она существует:

	2	3				1	2	3				3	5	0
				, б)		4	1 0			, в)		1	2 4			.
а)
	1	4
						1	3	5				5	1	8

		2	3			Решение.
а)					3	11. Так как определитель матрицы отли-
	det			8
		1	4

чен от нуля, то матрица невырожденная и, следовательно, существует

16

единственная обратная матрица. Для ее определения вычислим алгебраические дополнения данной матрицы.

A ( 1)1 1					4		4 ,															A ( 1)1 2																1				1,						A ( 1)2 1													3								3,
11																							12																									21
																							A ( 1)2 2																			2		2 .
																								22
Следовательно,										для матрицы																										A										2		3		обратной матрицей
																																														1		4
будет матрица A 1								1									4											3							4 /11											3 /11
																																																.
								11														1						2
																																			1/11											2 /11
		1	2					3
б)		4	1					0									5							0 36 3 0 40 12 0.
	det
		1	3					5
							1 1						1 0															5							,							A						1 2						4 0													20			,
	A ( 1)																																														( 1)
		11											3										5													12																				1		5
								1 3									4 1																	11,								A					( 1)		2 1					2 3					1,
	A ( 1)
		13																	1									3								21																		3			5
	A ( 1)2 2																				1							3						8 ,								A ( 1)2 3														1			2								5 ,
		22																			1							5								23																				1		3
	A ( 1)3 1																2							3				3,														A ( 1)3 2														1			3								12 ,
		31															1							0												32																				4		0
	A ( 1)3 3																		1									2						9 .
		33																	4									1
										1														5											1			3										5 /12									1/12													1/ 4
Следовательно, A 1
																							20												8	12												5 / 3										2 / 3												1	.
										12
																							11												5	9												11/12									5 /12													3 / 4
		3	5					0
в)		1	2					4						48 100 0 0 12 40 0 .
	det
		5	1					8

Так как определитель матрицы равен нулю, то матрица является вырожденной и, следовательно, для нее не существует обратной матрицы.

17

Замечание: для матрицы А обратная матрица A 1 найдена вер-

но, если выполняется условие A 1 A A A 1 E , где Е – единичная матрица.

Пример 2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:

1)по формулам Крамера;

2)с помощью обратной матрицы (матричным методом);

3)методом Гаусса.

x1 5x2 3x3 8				x1 5x2 3x3 6
а) 2x1 4x2 x3 7 ,				б) 3x1 x2 x3 2 .
x 3x		2	x 6	x 11x		2	5x 3
	1		3		1		3

Решение.

а) Совместность данной системы поверим по теореме Кронеке- ра-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг

					1		5		3
матрицы системы					2		4		1		и ранг расширенной матрицы
				A
					1		3
									1
	~	1		5	3		8
системы			2	4	1		7
	A							.
			1	3 1			6

1		5	3		8
	2	4	1
					7
	1	3	1		6

II I ( 2) III I

1	5	3		8	III II (4 / 7)	1		5	3		8
	14	5					0	14	5
0				23							23 .
		2		14			0 0		6 7		6 7
0 8

Следовательно, rA r~ 3 (т.е. числу неизвестных). Значит, исходная

A

система совместима и имеет единственное решение. 1) По формулам Крамера.

	x		1	,	x			2	, x	3	,	где		1	5	3			12 ,
						2								2	4	1
	1								3
														1	3	1

18

		8	5	3				12 ,						1	8	3			24 ,
1		7	4	1							2			2	7	1
		6	3	1										1	6	1
								1		5	8		12 .
			3					2		4	7
								1		3	6
Таким образом, x			12	1, x					2	24	2, x			12 1.
1			12							12	3				12

2) Система уравнений записанная в матричной форме имеет вид AX B , где

	1						5		3							8							x
		2				4						,	B			7		,			X		1
A									1														x2	.
		1														6
							3 1																x3
Следовательно, решением будет матрица X A 1B .
Так как det A 12 0 ,													то матрица А невырожденная и для
нее существует единственная обратная матрица
									1				1	14		17
						A 1
													1	2		5			.
									12
													2	8
Решение системы:																14
x					1	1 14							17		8			1				12			1
1
X x2							1 2						5	7								24			2 .
			12															12
							2	8				14			6
x3																						12			1
Итак, x1 1, x2 2 , x3						1.

3) Решим систему методом Гаусса.

Так как система совместна и имеет единственное решение, то с помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме и последовательно выразим неизвестные. Выполняя аналогичные преобразования, как и при нахождении ранга расширенной матрицы системы, получим:

19

x		5x	2	3x	8
	1			3
	14x2 5x3 23.
		6 7 x3			6 7
Из полученной системы находим x1 1, x2 2 , x3						1.

б) Проверим совместность системы с помощью теоремы Кроне- кера-Капелли.

						II I 3							III II ( 1)
1		5	3		6	III I	1		5	3		6		1		5	3		6
	3	1	1		2			0 16		8					0 16		8
												16							16 .
	1	11	5		3			0	16	8		3			0	0
																	0		13

Ранг матрицы системы rA 2 , ранг расширенной матрицы системы

r~ 3. Так как rA r~ , то из теоремы Кронекера-Капелли следует не-

A A

совместность исходной системы.

Пример 3. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее.

x	2x		x 4			3x1 4x2 x3 1 0
1		2			3
а) 3x1 x2 4x3 1 ;						б) x	2x		2x 3 0	.
x 5x				2	6x 7	1		2	3
	1				3	Решение.
Так как метод Гаусса позволяет одновременно и проверять со-

вместность системы уравнений и решать ее, то воспользуемся этим
методом.													~	и находим rA				и
		а) Составим расширенную матрицу системы A
rA с помощью элементарных преобразований строк.
	~
					II I ( 3)						4 III II
1		2 1		4	III I	1		2	1			1		2	1		4
	3	1 4		1			0	7	7				0	7	7
											11						11 .
	1	5 6		7			0 7						0 0		0		0
									7		11
Следовательно,					rA rA 2 3 (количества неизвестных).										Поэтому
					~

система совместна и имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного (3 2 1) параметра.

20