Математика / 4015

Отложим от центра O эллипса на его большой оси отрезки OP1 OP2 a . Прямые p1 , p2 , проходящие соответственно через точ-

ки P1, P2 параллельно малой оси, называются директрисами эллипса. Таким образом, директрисы эллипса (1.24) задаются уравнениями:

x a , x a . Тогда справедливо следующее утверждение: для любой

точки M эллипса отношение расстояния от нее до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы равно эксцентриситету , т. е.

MMFK . Так как для эллипса 1, то каждая точка эллипса ближе к

фокусу, чем к соответствующей директрисе. Если большая ось эллипса остается неизменной, а эксцентриситет стремится к нулю (т. е. эллипс все меньше отличается от окружности), то директрисы неограниченно удаляются от центра. У окружности директрис нет. Параметрическое уравнение эллипса имеет вид:

x acost;	(1.26)
y bsint.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой же плоскости есть величина постоянная и равная 2a

(рис. 1.19), т. е.

F1M F2M 2a .

Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, расстояние F1 F2 – фокусным расстоянием, оно обозначается через 2c:

F1F2 2c.

Таким образом, фокусы гиперболы имеют координаты

F1( c,0), F2 (c,0). Так как F1F2 F1M F2M , то c a .

Гипербола симметрична относительно точки O, которая называется центром гиперболы. Она также симметрична относительно прямой F1 F2 и относительно прямой, перпендикулярной F1 F2 и про-

ходящей через центр гиперболы. Прямая F1 F2 пересекает гиперболу в двух точках A1( a,0) и A2 (a,0) – они называются вершинами гипер-

21

болы. Отрезок A1A2 2a (а часто и прямая						A1A2 ) называется дейст-
вительной осью гиперболы. Прямая OY не пересекает гиперболу, од-
нако на ней откладывают отрезки OB1 OB2						b и называют отрезок
B1B2 2b (а также и прямую B1B2 ) мнимой осью гиперболы. Гипер-
бола с равными осями называется равносторонней.
Расстояние	от вершины гиперболы					до конца мнимой оси
(например, A1B1)	равно половине фокусного расстояния, т. е. c. Та-
ким образом, b	c2 a2 ;	c	a2 b2 .
u1		K1	Y	K2		u2
						M
			B1
	F1	P1	b	a	A2	F2
	A1		О	P2		X
			B2
		p1			v
					р2
			Рис. 1.19
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

	x2		y2	1,	(1.27)
	a2		b2

где a – действительная полуось гиперболы; b – мнимая полуось гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния 2c к длине действительной оси 2a:

ac .

Асимптотами гиперболы называют прямые u1, u2 , определяемые уравнениями:

y b x;	y b x .	(1.28)
a	a

22

	Отложим от точки		O		на		действительной оси отрезки
OP OP a . Тогда прямые			p	,	p		, проходящие соответственно че-
1	2		1			2

рез точки P1, P2 перпендикулярно действительной оси, называются директрисами гиперболы. Таким образом, директрисы гиперболы определяются уравнениями:

x a	;	x a .	(1.29)

Справедливо следующее утверждение: для любой точки M гиперболы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответст-

вующей директрисы равно эксцентриситету , т. е.	MF1		MF2		.
	MK		MK	2
	1

Так как для гиперболы 1, то каждая точка гиперболы ближе к директрисе, чем к соответствующему фокусу.

Геометрический смысл мнимой оси. Через вершину гиперболы проведем прямую, перпендикулярную действительной оси. Тогда отрезок этой прямой, заключенный между асимптотами гиперболы, равен мнимой оси 2b.

Парабола

Парабола есть геометрическое место точек M , равноудаленных от данной точки F и данной прямой l (рис. 1.20), т. е.

FM KM .

Точка F называется фокусом, а прямая l – директрисой параболы. Расстояние PF p от фокуса до директрисы называется пара-

метром параболы. Точка O называется вершиной параболы. Парабола симметрична относительно прямой FC – она называется осью па-

	раболы. Вершина параболы является серединой отрезка			PF. Таким
	образом, OP OF	p	. Каноническое уравнение параболы, проходя-
		2
	щей через начало координат и симметричной относительно оси OX ,
	имеет вид:
			y2 2 px .	(1.30)

23

	Y
K			M
	p	p
	2	2
P	0	F	X
l
		Рис. 1.20

Уравнение директрисы в этой же системе координат x 2p ,

а координаты фокуса F( 2p ,0).

Y

F X

q

Рис. 1.21

Парабола, симметричная относительно оси OY и проходящая через начало координат, определяется уравнением

x2 2qy.

(1.31)

Фокус этой параболы находится в точке F(0, q2) , уравнение директрисы имеет вид:

y q2 .

24

Пример 1.9

Какую линию определяет уравнение 3x2 4 y2 12 ?

Решение. Так как x и y входят в уравнение во второй степени, то сразу понятно, что это не парабола. Разделим это уравнение почленно

на 12: x2 y2 1. Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1.24), 4 3

заключаем, чтооноопределяетэллипссполуосями a 2, b 3 .

Пример 1.10

Эксцентриситет эллипса 0,8. Вычислить фокусное расстояние, написать каноническое уравнение и уравнения директрис эллип-

са, если известно, что эллипс проходит через точку M (3,12) .
	Решение.		Воспользуемся второй			5
						из формул (1.25). Имеем
0,8	b 2		. Отсюда находим	b	0,6,	b 0,6a . Так как точка M
	1			a
	a

принадлежит эллипсу, то ее координаты удовлетворяют каноническому уравнению эллипса (1.24). Подставим координаты точки в дан-

	ное уравнение, а вместо				b	подставим	0,6a . Тогда:	32			2,4	2	1;
								a	2		(0,6a)2
		5,76
	9		a2 ;	a2 25; b2	0,36a2 9 . Итак, каноническое уравнение
		0,36

эллипса имеет вид:

x2 y2 1. 25 9

Из формулы (1.25) получим c a 5 0,8 4 . Значит, фокусное расстояние эллипса равно 2c 8. Наконец, получим уравнения дирек-

трис

x a

5

6,25.

0,8

Пример 1.11

Записать

уравнения

асимптот

и

директрис

гиперболы

4x2 9 y2 36 .

Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду

x2

y2

1. Таким образом,

a2 9, b2 4,

т. е. a 3, b 2. В соответ-

9

4

ствии

с

формулой (1.28) записываем

уравнения

асимптот:

25

y	2 x,	y	2 x . Находим	c	a2 b2		9 4 13 . Тогда экс-
	3		3

центриситет гиперболы равен ac 313 . Наконец, по формуле (1.29) получаем уравнения директрис:

	x	9	, x	9	.
		13		13

26

Глава 2 МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 2.1. Матрицы. Действия над матрицами

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида:

a		a		a
	11	12		1m
a21		a22	a2m
A
		an2
an1			anm

Элемент aij таблицы имеет два индекса. Первый индекс означа-

ет номер строки, в которой находится элемент, второй – номер столбца. Данная таблица имеет n строк и m столбцов, поэтому она называ-

ется	матрицей размера n m . Пишут	An m или Anm . Элементы
ai1,	ai2 , , aim называются элементами i-й строки матрицы A, а эле-

менты ak1, ak 2 , , akn – элементами k-го столбца матрицы A.

Две матрицы называются равными, если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевую матрицу обозначают буквой O:

	0	0		0
	0	0		0
O
	0	0		0

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной матрицей, т. е. матрицей вида:

a		a		a
	11	12			1n
a21		a22		a2n
A
a		a	n2	a
	n1				nn

Квадратная матрица размера n n называется матрицей поряд-

ка n.

27

Диагональ, содержащая элементы a11, a22, , ann , называется

главной диагональю квадратной матрицы A, а вторая диагональ, со-

держащая элементы a1n , a2n 1, , an1, – побочной диагональю.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю:

	1	0		0
	0	1		0
E
	0	0		1

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой E .

Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

a		a	a
	11	12		1n
	0	a22	a2n
A
	0	0
			аnn

Для матриц рассмотрим следующие операции:

1)сложение (вычитание) матриц;

2)умножение матрицы на число;

3)произведение матриц.

Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров по правилу: каждый элемент cij матри-

цы C, являющейся суммой матриц A и B, равен сумме сответствующих элементов этих матриц, т. е. cij aij bij .

Пример 2.1

2		0	3		1		4	2		2		( 1)	0 4	3 2		1		4	1
	7	2	9			3	0	5			7	( 3)	2 0	9 5			4	2	14

Разность двух матриц определяется аналогичным образом.

28

Пример 2.2

2		0	3		1		4	2		2		( 1)	0 4	3 2		3	4	5
	7	2	9			3	0	5			7	( 3)	2 0	9 5				4
																10 2

Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы.

Пример 2.3

5		2				3 5	3 ( 2)		15		6
	0	4				3 0	3 4			0	12
3
	1	7			3	( 1)	3 7			3	21

Произведение матриц. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т. е. An m Bm l Cn l , при этом элемент

i-й строки k-го столбца матрицы C равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B.

Пример 2.4

			a			a			a				b					b
															11			12
				11			12		13					b			b
			a			a			a						21			22
				21			22		23	2 3			b					b
															31			32		3 2
	a b a b a b											a b a b a b
		11 11		12		21			13 31			11 12					12		22		13 32
	a b			a	b			a b				a b				a		b			a b
		21 11			22	21			23 31			21 12						22	22		23 32 2 2
Убедитесь в справедливости равенства
2		1														11 16 2
	7	3					3		9 1								6				69 7
	0	4					5 2 0										20				8	0
												2 3
	1																8				7	1
		1 4 2																					4 3

Из того, что матрицу A можно умножить на матрицу B, не сле-

дует, что матрицу B можно умножать на матрицу A.

Если матрицы A и B квадратные, то произведение A B всегда существует. Следует помнить, что A B B A. Если A B B A, то матрицы A и B называются перестановочными.

29

Пример 2.5

Пусть

1		2			3	0
A			,	B
	0	1			0	5

Тогда

3		10		3		6
A B			,	B A
	0	5			0	5

§ 2.2. Определители. Вычисление определителей

Определитель (детерминант) – число, которое ставится в соответствие квадратной матрице A порядка n и вычисляется по опреде-

ленному правилу. Обозначается det A, A, .

Матрица первого порядка – это число. Определитель такой матрицы равен этому числу. Приведем правило вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях:

a	a						A				a	a		a a	a a .
A 11	12			,							11	12
														11 22	21 12
a21	a22										a21	a22
Пример 2.6
			3	8			3 4 1 ( 8) 20 .
			1	4

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользо-

ваться правилом треугольников (правилом Саррюса), которое симво-

лически изображено на рис. 1.21.

Рис. 2.1

30