Рефлексивность развития культуры.
«Лучшая приправа к пище - голод».
Сократ 470-399 гг.до н.э.
Способность массового использования языка общения в сообществе рождает возможность общения человека самого с собой (например, перечитывая дневник), т.е. рефлексии. Вероятно, это самое человеческое занятие – думать о том как он думает (а это рефлексия). Осознание того, что мышление есть операции со специфическими знаковыми системами (моделями) позволяет сознательно развивать как культуру мышления так и его эффективность (на основе обобщения приемов рефлексии).
Следствием рефлексии социума в целом оказываются и все науки – они развиваются на основе «отражения отражений» реальности в своих предметных областях. Математика при этом оказывается не «сверхнаукой», а всего лишь рефлексивным обобщением наиболее общих качественных и количественных закономерностей при моделировании познания и самого реального мира.
Абстрактная вычислительная машина.
«У солнца есть один недостаток: оно не может видеть самого себя».
Сократ 470-399 гг.до н.э.
В 30-х годах ХХ века А.М.Тьюринг исследовал действия человека, выполнявшего вычисления (т.е. последовательные формальные преобразования знаковых систем) в соответствии с некоторым планом достижения поставленной цели. Анализ был необходим ему для поиска точного математического эквивалента интуитивного понятия алгоритм. Этот процесс в математике называют экспликация исследуемого понятия. Им была предложена абстрактная машина, которую потом развил Пост в более удобной для понимания трактовке.
Они рассмотрели и исследовали абстрактную машину в виде автоматически функционирующего устройства (автомата) с конечным числом внутренних состояний и бесконечной памятью (лентой). Среди состояний есть два особых: начальное и конечное. На ленте содержится последовательность клеток, в каждой из которой можно записать букву алфавита (содержащего и «пустую букву»).
В каждый момент времени автомат находится в некотором (допустим, что не конечном) состоянии и может воспринимать только одну букву в текушей клетке ленты. Машина Тьюринга совершает шаг, который определяется её текущим состоянием и обозримым символом алфавита. Произвольный шаг может заключаться в следующем:
в доступной клетке ленты записывается любой символ алфавита (совпадающий со старым или пустой);
автомат машины переходит в другое состояние (возможно конечное) или остается в текущем;
лента сдвигается влево или вправо на одну клетку или остается на прежднем месте.
Заметим, что при минимальных и очень наглядных правилах работы машина Тьюринга обладает поразительной мощностью - не просто для отражения представления реального мира, а отражения динамически (во времени) изменяющегося мира, т.е. его абстрактной вычислительной модели.
Главная идея, которую явно выражает абстракция машины Тьюринга можно сформулировать своими словами следующим образом. Если мы наблюдаем реальный мир, то мы можем описать его мгновенное состояние в рамках некоторой знаковой системы. Такое декларативное представление реальности с конечной точностью нетрудно закодировать как информацию. Однако для динамического описания мира этого недостаточно. Изменение состояния реального мира можно моделировать только имея возможность изменять знаковое представление этого мира. Время выступает особым фактором развития реальности. Поэтому его моделью в абстрактном мире знаков оказывается применение функций преобразования знаковых представлений. Динамические процессы в реальном мире можно моделировать только динамическими процессами со знаками, отражающими его в абстрактных представлениях.
Если внимательно разобраться с последним утверждением, то станет ясно, что ядром моделей динамических процессов в реальном мире будет процесс вычисления в знаковой системе. Но разнообразие методов и накопленного опыта динамического моделирования реальности настолько велико, что выходит далеко за рамки данного курса. Он весь, прямо или косвенно, посвящен решению проблем построения «знаковых систем», позволяющих оперировать с динамическими представлениями реального мира.