Исследование функций

						11
				2.5
				2
				1.5
				1
				0.5
f(x)	− 5	− 4	− 3 − 2	− 1 0 1	2	3	4	5
				− 0.5
				− 1
				− 1.5
				− 2
				− 2.5				►
				x

1.5. Исследование функций, заданных параметрически

Пусть функция y = f (x) задана параметрическими уравнениями

x =ϕ(t),	α ≤ t ≤ β.
y =ψ (t),
Если функция ϕ(t) монотонна и непрерывна, то
t = ϕ−1(x) y = ψ(ϕ−1(x))= f (x).
Пусть функции ϕ(t) , ψ(t) дифференцируемы и						′	. По теореме о
					ϕ (t) ≠ 0
производной обратной функции:
yx' = ψ' (t) (ϕ−1(x))′ =	ψ' (t)		yx '=	y'(t)		.
	ϕ' (t)
				x'(t)

Данная формула позволяет находить производную y′x от функции, заданной параметрически, не находя явной зависимости y от x .

П р и м е р 4. Вычислить производную функции, заданной параметрически:

x

= acost,

0

≤ t

≤ 2π

(параметрические уравнения эллипса).

= bsint,

y

Решение.

y' (t)

b cost

b

yx' =

=

= −

ctg t , 0 < t < 2π .►

x' (t)

−a sin t

a

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.

Из

определения

второй

производной

следует,

что

′′

′ ′

′ ′

′

=

(y′x )′t

, то есть

yxx = (yx )x = (yx )t tx

xt′

(y′x )′t

′′

или

′′

yt′′* xt′ − xt′′* yt′

.

yxx

=

yxx =

xt′

(xt′)3

					12
	′′′		(y′′	)′t		iv		(y′′′		)′t
			xx						xxx
Аналогично получаем yxxx =					, y		=				,….
			xt′			xxxx			xt′
З а д а н и е	4. Построить график функции, заданной параметрически
x = 2 cost −cos(2t),	(кардиоида)	и		произвести					исследования с помощью

y = 2sin t −sin(2t),

производных.

Решение.

Строим график функции.

y(t) := 2 cos (t) − cos (2t) x(t) := 2 sin(t) − sin(2t)

			2
			0.75
y(t)	− 4	− 2	− 0.5 0	2	4
			− 1.75
			− 3

x(t)

Вычислим производную первого порядка:

px(t) := d x(t)		→ 2 cos (t) − 2 cos (2 t)
	dt
py(t) := d y(t)		→ 2 sin(2 t) − 2 sin(t)
	dt
	p(t) := py(t)	→ −	2 sin(t) − 2 sin(2 t)
			2 cos (t) − 2 cos (2 t)
	px(t)

Найдем критические точки.

Given

p(t) 0

Find(t) →				0	π	5 π
					3	3
Given
	2 cos (t) − 2 cos (2 t)								0
Find(t) →				0	2 π	4 π
					3	3

Получили критические точки

x(0) = 0

y(0) = 1

13

π

= 0.866

π

= 1.5

x 3

y 3

2 π

= 2.598

2 π

= −0.5

x

3

y

3

4 π

= −2.598

4 π

= −0.5

x

3

y

3

5 π

= −0.866

5 π

x

3

y

3

= 1.5

Анализируем поведение функции в этих точках с помощью графика производной и графика самой функции, заданной параметрически.

	40
	20
p(t)	− 0.524 1.178	2.88	4.581	6.283
	− 20
	− 40
		t

Вычисляем производную второго порядка.

ppx(t) := d2 x(t) → 4 sin(2 t) − 2 sin(t) dt2

ppy (t) := d2 y(t) → 4 cos (2 t) − 2 cos (t) dt2

	pp(t) :=	ppy (t) px(t) − ppx(t) py(t)							→ −	(2 cos (t) − 2 cos (2 t)) (2 cos (t) − 4 cos (2 t)) + (2 sin(t) − 2 sin(2 t)) (2 sin(t) − 4 sin(2 t))
		px(t)3								(2 cos (t) − 2 cos (2 t))3
			Given
					pp(t)		0

Find(t) → 0

Given

2 cos (t) − 2 cos (2 t) 0

	Find(t) →		0	2 π	4 π
				3	3

14

60
30
pp (t) − 1.047 0.785	2.618	4.451	6.283
− 30
− 60
	t

Из графика второй производной следует, что есть точки перегиба:

2 π			= 2.598			2 π			= −0.5
x	3					y	3
4 π			= −2.598			4 π			= −0.5
x	3					y	3

Эти выводы соответствуют виду графика функции, заданной параметрически. ►

1.6. Кривые в полярной системе координат

Пусть задана полярная система координат с началом в точке О и лучом Oρ . Положение точки А на плоскости однозначно определяется с помощью координат (ρ,ϕ) , где ϕ - угол между лучом Oρ и лучом, на котором расположена данная точка А, выходящим из начала координат, ρ - расстояние от начала координат до точки А, причем ϕ [0,2π) , а ρ ≥ 0 .

y

A

y

O

x

x

Рис. 4

Декартовы координаты (x, y) связаны с полярными (рис. 4) по формулам

x = ρcosϕ,y = ρsinϕ.

Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции ρ = ρ(ϕ) .

З а д а н и е 5. Построить кривую, заданную в полярной системе координат формулой ρ(ϕ) = sin(3ϕ) .

15

	Решение. Так как			π		2π			4π			5π
		ρ ≥ 0 , то sin(3ϕ) ≥ 0	и ϕ 0,					,π			,		.
				3			3			3		3

Вычислим производную и определим точки минимума и максимума на

промежутке 0,	π	.
	3

ρ(φ) := sin(3φ)

p(φ) := d ρ(φ) → 3 cos (3 φ) dφ

Given

p(φ) 0

Find(φ) →			π
			6
	φ := 0,	π	..	π
						φ =			ρ(φ) =
		25		3
						0			0
						0.126			0.368
						0.251			0.685
						0.377			0.905
						0.503			0.998
						0.628			0.951
						0.754			0.771
						0.88			0.482
						1.005			0.125

Получили, что ϕ = π6 - точка максимума, при ϕ = 0 функция принимает наименьшее значение. Строим график функции.

	90
	120	60
	0.8
150	0.6	30
	0.4
	0.2
ρ(φ) 180	0	0
210		330
	240	300
	270

φ

►

16

1.7. Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Построить график функции с помощью производной первого порядка.

1.	y = 123 6(x − 2)2 .			2.	y =16x2 (x −1)2 .			3.	y = 6x −6 −93 (x −1)2 .
		x2	+8
4.	y = 3 x2 + 4x +3 .			5.	y = 27(x3 + x2 ) 4 −5 .				6. y = − 63 6(x + 3)2 .
										x 2 +10x + 33
7.	y = −(x +1)2 (x −3)2 16 . 8.				y = −123 6(x −1)2			9.	y = 2 − 3 x2 +3x − 4 .
						x2	+ 2x +9
10.		y = 3 x2	−9 .	11.		y = 33	6(x − 4)2 .		12.	y = x(12 − x2 ) 8 .
						x2	− 4x +12
13.		y = 2 + 3	8x(x + 2) .	14.		y = (2x +1)2 (2x −1)2 .			15.	y = 93 (x +1)2 + x .

Задача 2. Построить график функции с помощью асимптот.

	y =		x 2 −6x +13
1.				x −3					.
	y =			1
4.			x 2 −1 .
	y =			1
7.		x3 + 2x 2				.
	y =			x 2 + 2x
				x 2 − 4 .
10.

	y =			x
2.			x 2		−1 .
	y =				1
5.			x 2		− 2x +3 .
	y =			x − 2
8.			x 2 (x + 2)					.
	y =				1
				x	2 − x .
11.

		y =			x2 + 2x +3
	3.					x + 2 .
		y =				x +1
	6.			x 2 + 2x .
		y =				x(x +1)
	9.				(x −1)(x + 2)					.
			y =			x2	+ x
	12.					x	−2 .

				17
	x 2				x + 2			1
13. y =				y =		.		y =		.
			14.		x 2 +1		15.		x 2 − x
	1− x .

Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

1. y = 3 x(x +1)2 .

4. y = x 2 (1− x).

7. y = x(x −1).

10. y = 3 x(x +1)2

13. y = 3 (x + 4)2 − 3

x 2 + x +1

2.y = x 2 − x +1 .

5.y = x 2 (x −1).

8.

.

(x − 2)2 .

y = x(x +1)

(x − 2)2 .

	11.	y = 3 (x − 2)(x
		y =	x + 2
	14.		x 2 +1 .

3. y = xe−x2 .

6.y = x(x + 2).

9.y = 3 (x + 2)2 − 3 (x −1)2 .

	y =	1
		x 2 +1 .
+ 3)2 .	12.

15. y = (x +1)e x+1 .

Задача 4. Построить график функции, заданной параметрически, и провести его исследование с помощью производных.

1.	x = 4 cost,	2.	x = cos 3t,		3.	x = t − sin t,
	y = 2sin t.		y =sin3 t.			y = 2(1 − cost).
4.	x =3cos 2t,	5.	x =10(t	− sin t),	6.	x = cos 2t,
				− cost).
	y =3sin2 t.		y =10(1			y =sin 2t.
7.	x =8cos 3t,	8.	x =5cost,		9.	x = 2(t − sin t),
	y =sin3 t.		y = 3sin t.			y = 6(1 − cost).

						18
10.	x = 7cost,		11.	x =3cost − cos(3t),
	y =sin t.			y = 3sin t − sin(3t).
13.	x = 6(t − sin t),			14.	x =t 3	− t,
	y =1	− cost.			y =t 2	+1.

x = cos 3t,

y =4sin3 t.

x =cos3t,

y =2sin3t.

Задача 5. Построить кривую, заданную в полярной системе координат.

1.	ρ = sin(2ϕ) .		2.	ρ = cos(3ϕ) .		3.	ρ =ϕ2 .
4.	ρ =1 + sinϕ .		5.	ρ = 2 − cosϕ .		6.	ρ = 3sin(4ϕ) .
7.	ρ = cos2 (2ϕ) .		8.	ρ = 1 + 3sinϕ .		9.	ρ = eϕ .
					2
10.		ρ = cos(4ϕ) .	11.		ρ = cosϕ + sinϕ .	12.		ρ = 1 − sin(2ϕ) .
								2
13.		ρ =ϕ3 .	14.		ρ = 1 sin(5ϕ) .	15.		ρ = 2 + cos(2ϕ) .
					2

19

2. Функции нескольких переменных

2.1 Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня

Определение 1.	Если каждой	точке M	из множества точек
{M } Rn евклидова	пространства по	известному	закону ставится в

соответствие некоторое число u , то говорят, что на множестве {M } задана

функция u = f (M ) n переменных x1, x2 ,..., xn , обозначение u = f (x1, x2 ,..., xn ).

Множество {M } называется областью определения функции и обозначается D(f ). Множество {u} значений функции u = f (M ) называется множеством значений функции и обозначается E(f ). Значение u0 = f (M 0 )

называется частным значением функции. Очевидно, что

1){M } R y = f (x) – функция одной переменной x ;

2){M } R2 z = f (x; y) – функция двух переменных x и y ;

3) {M } Rn	u = f (x , x ,..., x )– функция n			переменных x , x	,..., x	n	.
	1	2	n	1 2
П р и м	е р ы.	1.	z = ax +by +c –	линейное уравнение			называется

уравнением плоскости с нормальным вектором n −(a;b;−1), где числа a, b, c R , D(f )= R2 , E(f )= R .

2. Для функции z = 4 − x2 − y2

D(f )= {(x, y): 4 − x2 − y2 ≥ 0}– круг x2 + y2 ≤ 4 ,

E(f )= [0;2].

Пусть мы имеем поверхность σ. Если координаты любой точки M (x, y, z) σ удовлетворяют некоторому уравнению z = f (x, y), то поверхность σ будет называться графиком функции z = f (x, y).

Функция трёх, четырёх и т.д. переменных не имеют геометрического изображения в трёхмерном пространстве.

В примере 1 графиком функции является плоскость, в примере 2 – полусфера радиусом 2 с центром в начале координат.

Линией уровня функции двух переменных z = f (x; y) называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию f (x; y)= c , где

c - константа.

З а д а н и е 1. С помощью линий уровня исследовать поведение функции

z =	x 2	−	y 2	и построить ее график.
	9
		4

Решение. Задаем функцию и стоим графики линий уровня.

	z(x,y) :=	x2	−	y2
		9		4

20

z

Вывод: при c = 0 линии уровня – это пара пересекающихся прямых, при

c ≠ 0 линии уровня – гиперболы. Строим график самой функции z =	x 2	−	y 2	и
	9
		4

находим эти линии уровня на графике самой функции.

►

z

2.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных

Пусть функция u = f (x1, x2 ,..., xn ) определена на некотором открытом множестве {M } Rn .

Определение 2. Частным приращением f в точке M 0 {M } по

переменной xk называется