Исследование функций

21

∆xk f = f (x10 , x20 ,..., x(k −1)0 , xko + ∆xk , x(k +1)0 ,..., xn0 )− − f (x10 , x20 ,..., xn0 ).

Определение 3. Частной производной по xk функции f

в точке

M 0

называется

∆xk f

lim

, если он существует.

∆xk →0 ∆xk

Функция

f (M ) при изменении только одной переменной

xk становится

функцией одной переменной xk . Частная производная обозначается так:

∂u

,

∂f

, u′xk , fx′k .

∂xk

∂xk

∂z = 2x cos y

П р и м е р ы. 3.

z = x2 cos y .

Частные производные

и

∂z

∂x

= −x2 sin y . ►

∂y

z = exy ln(x2 + y2 −3x +2).

4.

Частные

производные

∂z

= yexy ln(x2

+ y2 −3x +2)+

(2x −3)exy

и

∂x

x2 + y2 −3x +2

∂z

= xexy ln(x2

+ y2 −3x +2)+

2 yexy

. ►

∂y

x2 + y2 −3x +2

Определение 4. Выражение

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y)− f (x, y)

(1)

называется полным приращением функции z = f (x, y) в любой фиксированной точке M (x, y) D .

Если функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные в точке M (x, y) D , то выражение (1) можно записать как

∆z = f x′(x, y)∆x + f y′(x, y)∆y + β∆x + β∆y .	(2)
Линейная часть полного приращения функции ∆z относительно ∆x	и ∆y

в равенстве (2) z′x∆x + z′y ∆y называется главной частью полного приращения

∆z .	z = f (x, y) в точке
Определение 5. Полным дифференциалом функции
M (x, y) называется главная часть полного приращения ∆z	и обозначается dz .
Таким образом,
dz = z′x∆x + z′y ∆y .

Приращения ∆x и ∆y независимых переменных x и y называются дифференциалами и обозначается символами dx и dy : ∆x = dx , ∆y = dy .

Тогда формула полного дифференциала примет вид: dz = z′xdx + z′y dy .

З а м е ч а н и е 1. Для функции трех переменных u = f (x, y, z) полный дифференциал можно найти по формуле du = u′x dx +u′y dy +u′z dz .

22

Определение 6. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в области D , если для любой точки M D полное приращение находится по формуле

∆z = ∂∂xz ∆x + ∂∂yz ∆y +α∆x + β∆y ,

где α и β – бесконечно малые функции вместе с ∆x и ∆y .

Теорема 1. Для того чтобы z = f (x, y) была дифференцируема в области

D , необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна вместе со своими частными производными z′x и z′y в области D .

Если z′x и z′y – дифференцируемы в некоторой области D′, то функции z′x и z′y имеют частные производные, которые назовём частными производными второго порядка (вторыми частными производными) функции z = f (x,y).

Введём обозначения:

∂2z

∂

∂z

,

∂2z

∂

∂z

,

∂2z

∂

∂z

,

∂2z

∂

∂z

или соответственно

2

=

=

=

2

=

∂x

∂x ∂x ∂x∂y

∂y

∂y ∂x ∂y∂x ∂x

∂y

∂y

∂y

z′xx′ , z′xy′ , z′yx′ , z′yy′ .

П р и м е р 5. Найти частные производные второго порядка функции z = x3 + y2 +ln(sin y +5).

Решение. z′

cos y

cos y

′

= 3x2 , z′

= 2 y +

, z′′ = 6x ,

z′′

= 0 ,

z′′

=

2 y +

x = 0 ,

x

y

sin y +5

xx

xy

yx

sin y

z′′yy = 2 +

−sin y(sin y +5)−cos y cos y

= 2 −

1+5sin y

. ►

(sin y +5)2

(sin y +5)2

Аналогично можно ввести частные производные третьего, четвёртого, …, n -ого порядков.

Определение 7. Функция z = f (x,y), имеющая непрерывные частные производные до n -ого порядка включительно в области D , называется n раз

непрерывно дифференцируемой в области D .

Теорема 2. Если функция n раз непрерывно дифференцируема в области D , то смешанные частные производные m -ого порядка (m = 2,3,..., n) не

зависят от порядка дифференцирования.

Определение 8. Полным дифференциалом второго порядка (вторым полным дифференциалом) называется полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка:

d 2 z = d (dz).

Найдём d 2 z .

d 2 z = d (z′xdx + z′ydy)= (z′xdx + z′ydy)′x dx +(z′xdx + z′ydy)′y dy =

=z′xx′ dx2 + z′yxdydx + z′xy′ dxdy + z′yy′ dy2 =

=z′xx′ dx2 +2z′xy′ dxdy + z′yy′ dy2 .

23

З а м е ч а н и е 2. Для функции трех переменных u = f (x, y, z) полный дифференциал второго порядка

d 2u = u′xx′ dx2 +u′yy′ dy 2 +u′zz′ dz 2 + 2u′xy′ dxdy + 2u′xz′ dxdz + 2u′yz′ dydz .

	Аналогично можно найти полные дифференциалы d 3 z ,				d 4 z ,	…, d n z ,
	используя определение: d k z = d (d k −1z).
	З а д а н и е 2. Для функции	u = 3x * y *tg(z) −	x	3z	найти	полные
			y

дифференциалы первого и второго порядка в точке M 0 (0,2,0) .

Решение. Находим частные производные функции первого порядка и подставляем их в формулу для полного дифференциала первого порядка.

u(x,y ,z) := 3xy tan(z) − yx 3z

3z

ux(x,y ,z) := d u(x,y ,z)

x

dx

ux(x,y ,z) → 3 y ln(3)

tan(z)

−

y

ux(0,2,0) → −

1

2

3z x

uy(x,y ,z) :=

d

u(x,y ,z)

uy(x,y ,z) → 3x tan(z) +

dy

y2

uy(0,2,0) → 0

uz(x,y ,z) := d u(x,y ,z)

uz(x,y ,z) → 3x y ln(3) tan(z) −

3z

dx

y

uz(0,2,0) → −

1

2

du(x,y ,z) := ux(x,y ,z) dx + uy(x,y ,z) dy + uz(x,y ,z) dz

du(0,2,0) → −dx −

dz

2

2

Вычисляем частные производные второго порядка и полный дифференциал.

d2

uxx(x,y ,z) :=

u(x,y ,z)

uxx(x,y ,z) → 3x y ln(3)2 tan(z)

dx2

uxx(0,2,0) → 0

uyy (x,y ,z) :=

d2

u(x,y ,z)

uyy (x,y ,z) → −2 3z x

dy2

y3

24

uyy (0,2,0) → 0

uzz(x,y ,z) := d2 u(x,y ,z) dz2

uzz(0,2,0) → 0

uxy(x,y ,z) := d ux(x,y ,z) dy

uxy(0,2,0) → 14

uxz(x,y ,z) := d ux(x,y ,z) dz

uxz(0,2,0) → 3 ln(2 3)

uyz(x,y ,z) := d uy(x,y ,z) dz

uyz(0,2,0) → 1

uzz(x,y ,z) → 2 3x y tan(z) (tan(z)2 + 1)− 3z x ln(3)2 y

uxy(x,y ,z) → 3z + 3x ln(3) tan(z) y2

uxz(x,y ,z) → 3x y ln(3) (tan(z)2 + 1)− 3z ln(3) y

uyz(x,y ,z) → 3x (tan(z)2 + 1)+ 3z x ln(3) y2

ddu(x,y,z) :=uxxx(,y,z) (dx)2 + uyy(x,y,z) (dy)2 + uzz(x,y,z) (dz)2 + 2 uxy(x,y,z) dxdy + 2 uxzx(,y,z) dxdz + 2 uyz(x,y,z) dy dz

ddu (0,2,0) →	dx dy	+ 2 dy dz + 3 dx dz ln(3)
	2		►

2.3. Производная по направлению и градиент

Частные производные z′x и z′y представляют собой производные от

функции z = f (x, y)

по двум частным направлениям осей Ox

и

Oy . Пусть

z = f (x, y)

- дифференцируемая

функция

в некоторой

области D ,

M 0 (x0 , y0 ) D . Пусть

- некоторое направление, а

h

h0 = (cosα,sinα) - орт этого

направления. Пусть M (x0

+ ∆x, y0 + ∆y) - точка в направлении

от

M 0 (x0 , y0 ) .

h

Обозначим ∆ρ = ∆x2 + ∆y 2

. Тогда

∆x

= cosα ,

∆y

= sinα .

∆ρ

∆ρ

Определение 9. Предел отношения

lim

∆h f

= lim

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )

=

∂

f

(x0 , y0 )

∆ρ

∆ρ

∆ρ→0

∆ρ→0

∂h

называется производной функции z = f (x, y) по направлению

.

h

Так как ∆h f

=

f (x0 + ∆ρ cosα, y0 + ∆ρsinα) − f (x0 , y0

+ ∆ρsinα)

cosα +

∆ρ

∆ρ

			25
+	f (x0 , y0 + ∆ρsinα) − f (x0 , y0 )	sinα →	∂f	cosα +	∂f	sinα при ∆ρ → 0 , то
			∂x		∂y
	∆ρ

∂∂hf = ∂∂fx cosα + ∂∂fy sinα .

Теорема 3. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z = f (x, y) , равна нулю.

З а м е ч а н и е. По аналогии со случаем двух переменных для функции

трех переменных u = f (x, y, z)

производная по направлению вектора

равна

h

∂f

= ∂f cosα +

∂f

cos β + ∂f cosγ ,

∂y

где

∂h

∂x

∂z

h0 = (cosα, cos β, cosγ) - орт направления h .

Определение 10. Градиентом функции

u = f (x, y, z)

называется вектор с

координатами grad u = (∂f ,

∂f

,

∂f ) .

∂x

∂y

∂z

Теорема 4. Имеет место равенство

∂f

= grad u *

,

т. е. производная по

h

∂h

направлению h равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления h .

Следствие. Вектор grad u в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.

З а д а н и е 3. Найти производную функции u = ln(x2 + xy2 −3z 4 ) по направлению вектора h = (2,−2,2) в точке M 0 (1,2,1) .

Решение. Вычисляем частные производные функции в точке M 0 (1,2,1) .

u(x,y ,z) := ln(x2 + x y2 − 3z4)

ux(x,y ,z) := d u(x,y ,z) dx

ux(1,2,1) → 3

uy(x,y ,z) := d u(x,y ,z) dy

uy(1,2,1) → 2

uz(x,y ,z) := d u(x,y ,z) dx

uz(1,2,1) → 3

y2 + 2 x

ux(x,y ,z) →

x2 + x y2 − 3 z4

2 x y

uy(x,y ,z) →

x2 + x y2 − 3 z4

y2 + 2 x

uz(x,y ,z) →

x2 + x y2 − 3 z4

Тогда градиент функции в точке M 0 (1,2,1) имеет вид:

uz(x,y ,z)

ux(x,y ,z)

26

gradu (x,y ,z) := uy(x,y ,z)

3

gradu (1,2,1) → 2

3

Находим орт вектора h = (2,−2,2) .

			2
	h :=			−2
											dl(h) :=					2	+ (−2)	2	2
																2			+ 2
			2
											3
											3
h		:=		1		h →			−		3
	0		dl(h)								3
											3
											3

Откуда производная функции по направлению вектора h = (2,−2,2) равна

uh(x,y ,z) := gradu (x,y ,z) h0 →				2	3 (y2 + 2 x)	−	2 3 x y
				3 (x2	+ x y2 − 3 z4)		3 (x2 + x y2 − 3 z4)
	uh(1,2,1) →	4 3		►
		3

2.4. Экстремум функции двух переменных

Определение 11. Точка P1 (x1, y1 ) называется точкой максимума функции z = f (x, y), определённой в области D , если существует δ –окрестность

U (P ,δ ) D	точки	P	такая, что для всех точек		o	полное
					P(x, y) U (P ,δ)
1		1			1
приращение ∆f (x1, y1 )= f (x, y)− f (x1, y1 )< 0 .
Определение 12. Точка				P2 (x2 , y2 ) называется точкой минимума функции
z = f (x, y),	определённой в			области D , если существует δ –окрестность
U (P2 ,δ ) D	точки P2 такая, что для всех точек				o	полное
					P(x, y) U (P2 ,δ )
приращение ∆f (x2 , y2 )= f (x, y)− f (x2 , y2 )> 0 .

Определение 13. Точка max или точка min функции z = f (x, y) называется

точкой экстремума (точкой ext).

Определение 14. Значения функции z = f (x, y) в точках max и точках min

называются соответственно максимальными (max) и минимальными (min) значениями функции z = f (x, y).

Теорема 5(необходимые условия существования ext).

Если точка P0 (x0 , y0 ) D	является точкой ext, то в этой точке обе
частные производные z′x и z′y	равны нулю.

27

З а м е ч а н и е. В точках ext частные производные могут и не

существовать.	– конус. Точка P0 (0;0) – точка ext, в которой z′x и
П р и м е р 6. z2 = x2 + y2
z′y не существуют.
Обратная теорема не верна.
П р и м е р 7. z = xy ; z′x = y , z′y = x ,
z′ = 0,	y = 0			имеем точку (0;0).
x
z′y = 0	x =	0

В любой малой окрестности точки (0;0) приращение ∆f (0,0) не сохраняет знака. Следовательно, точка (0;0) не является точкой экстремума.

Определение 15. Точки, в которых z′x и z′y равны нулю или не

существуют, называются критическими точками на ext.

Теорема 6(достаточный признак). Пусть функция z = f (x, y) трижды непрерывно дифференцируема и точка P0 (x0 , y0 ) критическая, т.е. z′x = 0 и

z′y

= 0 в точке P0 .

d 2 f (P0 )

Если полный

дифференциал

знакопостоянен,

то

точка

P0

является точкой экстремума, причем точкой max, если d 2 f (P0 )< 0

и точкой

min, если d 2 f (P0 )> 0 .

– квадратичная

форма относительно

d

2

′′

2

′′

′′

2

f (P0 )= zxxdx

+2zxy dxdy

+ zyy dy

приращений

dx

и

dy . Введём

обозначения:

′′

P

= a20 ,

′′

′′

= a11 ,

zxx

zxy

= zyx

0

P

P

0

0

′′

P = a02 .

zyy

0

Определение 16. Квадратичная форма d 2 f (P0 )

называется положительно

определённой (отрицательно определённой), если a20

a20

a11

и

a02 −a112 =

> 0

a

a

02

11

a20 > 0 ( a20 < 0 ).

Таким образом,

1)

a20

a11

> 0 , a20

> 0 точка P0 (x0 , y0 )

– точка min;

a

a

02

11

2)

a20

a11

> 0 , a20 < 0 точка P0 (x0 , y0 )

– точка max,

a

a

02

11

3)

a20

a11

< 0 точка P0

не является точкой экстремума;

a

a

02

11

4)

a20

a11

= 0 требуется дополнительное исследование для точки P0 .

a

a

02

11

З

а

д

а

н

и

е

4.

Найти

критические точки

функции

z =

1

xy + (47 − x − y)(

x

+

y

) и исследовать их характер.

2

3

4

Решение. Найдем частные производные первого порядка.

28

z(x,y) :=

1

x y + (47 − x − y)

x

+

y

2

3

4

zx(x,y) := d z(x,y)

zx(x,y) →

47

−

y

−

2 x

3

12

3

dx

d

zy(x,y) :=

z(x,y)

zy(x,y) →

47

−

y

−

x

dy

4

2

12

Для нахождения критических точек решим систему.

Given

zx(x,y) 0

zy(x,y) 0

Find(x,y) → 21

20

Точка (21,20) – критическая. С помощью частных производных второго порядка проверим достаточное условие существования экстремума.

a20(x,y) :=

d2

z(x,y)

a02(x,y) :=

d2

z(x,y)

a11(x,y) :=

d

zx(x,y)

dy2

dx2

dy

∆ (x,y) :=

a20(x,y)

a11(x,y)

a02(x,y)

a11(x,y)

2

47

a20(21,20) → −

∆ (21,20) →

3

144

Получили, что точка (21,20) является точкой максимума.►

2.5. Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. С помощью линий уровня исследовать поведение функции и построить ее график.

1.	z =		x2		+	y 2	.	2.	z =	x2	− y 2 .	3.	z = xy .
										9
	4				25						4
4.	z = x2 + y 2 .							5.	z = x * y .			6.	z = −	x2	+ y 2 .
													5
7.	z =		x	.				8.	z = − x2 + y 2 .			9.	z = x2 −10 .
			y								16

29

10.	z = −		x2		−		y 2		.	11.	z = 3x2 y 2 .	12.	z =	y .
	4				4									x
13.	z =	x2		−		y 2		.		14.	z = x2 +1 .	15.	z = 2x − y 2 .
	25				9

Задача 2. Для указанной функции найти полные дифференциалы первого и второго порядка в точке P .

1.	u = (x + z)y + x ln(yz), Р(1,2,3);		2. u = ln(x2z)+ x yz , Р(1,-1,2);
3.	u = z y + yx ,	Р(2,3,4);	4. u = z ln(x + y)+ z y , Р(1,1,1);
5.	u = x y + yz ,	Р(1,2,2);	6. u = ln(x + yz)+ xyz , Р(3,1,2);

				z
	7.	u = xe y ,				Р(1,1,2);
	9.	u = xyz + x 2 + exy , Р(1,-1,0);
			u = x ln			y
	11.					z , Р(1,4,2);
	13.		u = ln(x 2 + y2 + z2 )
							, Р(1,3,4);

15. u = z y + yx , Р(2,2,3).

8. u = z2ex + z2 y ,		Р(1,2,3);
			π
10.	u = cos(xyz),	P 1,1,
			2 ;
12.	u = xyz , Р(3,3,1);
					π
14. u = cos(xy)+sin(yz)+ zx			P 1,		2	,1
			,			;

Задача 3. Для указанной функции найти производную по направлению вектора h в точке M 0 .

1.u = x +z y , M 0 (0,1,1), h = (−1,1, 2) .

2.u = z x+y , M 0 (0,0,2), h = (1,−1,1) .

3.u = z sin(x + y), M 0 (π4 , π4 ,0), h = (1,1,1) .

4.u = (xy)z , M 0 (1,1,0), h = (0,3,4) .

30

5.u = x ln( y + z ), M 0 (0,1,4), h = (2,2,−1) .

6.u = arctg x −y z , M 0 (3,−1,3), h = (3,4,−5) .

7.u = e xyz , M 0 (1,1,1), h = (6,3,−6) .

8.u = x2 − y2 + z 2 , M 0 (2,2,1), h =OM 0 .

9.u = 2 x2 +y2 +z2 , M 0 (−2,0,1), h = (8,−4,8) .

10.u = x ln yz , M 0 (3,−1,3), h = (−6,3,6) .

11.u = x +z y , M 0 (0,1,1), h = (1,0.5,1) .

	12. u = ln	x2 + y2	, M 0 (0,1,1),		= (1,−1,1) .
				h
		z

13.u = z x+y , M 0 (0,0,2), h = (1,−1,1) .

14.u = 2x2 + y4 + e3 z , M 0 (0,2,0), h = (3,−4,0) .

15. u = tg xy	, M	0	(	π	,1,1), h = ( 3, 3, 3) .
z				4

Задача 4. Найти критические точки функции и исследовать их характер.

1.	z = 2x 2 − 4xy + y2 − 2x + 6y +3;		2.	z = 3x + 6y − x			2 − xy + y2 = 7 ;
3.	z = x 2 − xy + y2 + 9x −6y + 20 ;		4.	z = x 2 + 2xy +			4y2 + 2x −8y +1;
5. z = 5x 2 −8xy + 2y2 + 2y + 2 ;			6.	z = 2x 2 + 4xy − y2 + 4x − 4;
7.	z = 3x 2 −3xy + 2y2 + 4y + 2 ;		8.	z = x 2 + xy + 2y2 +8x + 4y − 2 ;
9.	z = 2x 2 −5xy − y2 + 4x − y +3;		10.		z = 3x 2	+ 4xy + y2		− x + 2y + 7 ;
11.		z = 4x 2 −3xy + 2y2 −5x +3y +8 ;	12.		z = 5x 2	− xy + 2y2		−3x +5y +9 ;
13.		z = 3x 2 + 2xy + y2 − 4x + y + 7 ;	14.		z = 3x 2 −5xy + 2y2 − x + 2y + 5;
15.		z = 5x 2 − xy + 2y2 −3x + y +1.