Оптимизационная модель размещения производственных объектов дома быта
(Рассмотрена на практическом занятии)
Задача 1.
В универсаме было выделено 50 м2 для размещения следующих видов услуг:
- прием и выдача одежды на химчистку, одно рабочее место занимает 6 м2 и требует для его оборудования 1 тыс. руб.;
- мелкий ремонт одежды, одно рабочее место занимает 4 м2 и требует для его оборудования 10 тыс. руб.
Известно, что с одного рабочего места химчистки и ремонта одежды можно получить за один день соответственно 3 тыс. руб. и 5 тыс. руб.
Необходимо определить такое количество рабочих мест химчистки и ремонта одежды, при которых будут соблюдены ограничения ресурсов по площади и финансовым затратам и получении максимальной прибыли.
Решение.
Введем следующие обозначения:
Х1 - количество каналов химчистки;
Х2 - количество каналов ремонта одежды.
|
|
|
|
Искомые переменные |
|
|
| ||
|
|
|
|
Х1 |
Х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,0714 |
3,3929 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормативы: |
|
|
|
|
Ресурсы: |
| ||
|
площади аi (м2/1канал) |
6 |
4 |
|
50 |
м2(A) | |||
|
финансовые затраты bi |
1 |
10 |
|
40 |
тыс. руб. (B) | |||
|
(тыс.руб./1канал) |
|
|
|
|
|
|
| |
|
прибыль di |
|
3 |
5 |
|
|
|
| |
|
(тыс.руб./1канал) |
|
|
|
|
|
|
| |
|
Ограничения |
|
|
|
|
| |||
|
Формулы |
|
|
|
Содержание формул |
| |||
|
50 |
|
< = |
50 |
|
a1Х1 + a2Х2 b1Х1 + b2Х2 |
A | ||
|
40 |
|
< = |
40 |
|
B | |||
|
6,071429 |
|
> = |
1 |
|
Х1 |
1 |
|
|
|
3,392857 |
|
> = |
1 |
|
X2 |
1 |
|
|
Целевая функция
d1X1 + d2X2 max
35,179
Обратимся к функции "поиск решения" (сервис, поиск решения), заполним все необходимые параметры и получим решение см. рис. 1.
Рис. 1. Окно ввода параметров функции "Поиск решения"
Вывод. Если в универсаме разместить 6 пунктов химчистки и 3 пункта по мелкому ремонту одежды, то вся выделенная площадь будет полностью использована, все выделенные финансы будут полностью истрачены, прибыль составит 35 тыс. руб. Безусловно, это решение будет корректно, при соблюдении ограничения на то, что все каналы обслуживания полностью загружены клиентами.
Вопросы для обсуждения.
Почему для Х1 и Х2 указаны ограничения на то, чтобы они были больше 1?
Примечание. Приводим усложненный вариант решения задачи 1, которое при первом чтении можно пропустить, но к нему необходимо вернуться после проведения практических занятий.
Задача 2.
Анализ решения задачи 1 показывает, что с точки зрения здравого смысла наличие в универмаге 6 пунктов химчисток и 3 пункта по мелкому ремонту одежды является убыточным, так как они не будут полностью загружены клиентами. Следовательно, необходимо в условии задачи ввести ограничение на учет потока клиентов и критического значения потока клиентов, при которых услуги будут выполняться с прибылью, то есть найти точку безубыточности.
Решение.
Допустим все затраты на зарплату и обслуживание технических средств химчистки для одного канала обслуживания составляют в месяц 30 тыс. руб. или 1 тыс. руб. в день. Средняя заявка на обслуживание составляет 100 руб., тогда точка безубыточности для одного канала обслуживания составит 10 заявок в день. Это означает следующее, если количество заявок будет больше
f = 10 штук в день, то химчистка будет работать с прибыльно.
Среднее время выполнения одной заявки составляет 0,5 часа, тогда пропускная способность одного канала обслуживания равна
е1 = 8/0,5 = 16 заявок/день.
Максимальный поток заявок наблюдается в пятницу и равен
Е = 30 заявок/день.
Введем условие соблюдение ограничения на то, чтобы пропускная способность всех каналов была меньше или равна потоку заявок
е1Х1 Е
Введем условие соблюдение ограничения на то, чтобы количество заявок, приходящихся на один канал был бы больше f.
Е/Х1 f1
Проведите самостоятельно аналогичные рассуждения для проверки безубыточного выполнения услуги мелкого ремонта одежды.
Введите необходимые ограничения, найдите решение, проведите анализ полученного решения.
|
|
|
|
Искомые переменные |
|
| |||
|
|
|
|
|
Х1 |
Х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,875 |
1,9231 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормативы: |
|
|
|
|
Ресурсы: |
| ||
|
площади аi (м2/1канал) |
|
6 |
4 |
50 |
м2(A) | |||
|
финансовые затраты bi |
|
1 |
10 |
40 |
тыс. руб. (B) | |||
|
(тыс.руб./1канал) |
|
|
|
|
|
|
| |
|
Пропускная способность одного |
16 |
13 |
|
|
| |||
|
канала обслуживания еi |
|
|
|
|
|
| ||
|
(заявок/день) |
|
|
|
|
|
|
| |
|
Точка безубыточности fi |
|
10 |
8 |
|
|
| ||
|
(заявок/день) |
|
|
|
|
|
|
| |
|
Максимальный поток заявок для Х1 |
30 |
|
|
Е1 заявок/день | ||||
|
Максимальный поток заявок для Х2 |
|
25 |
|
Е2 заявок/день | ||||
|
Прибыль di |
|
|
3 |
5 |
|
|
| |
|
(тыс.руб./1канал) |
|
|
|
|
|
|
| |
|
Ограничения |
|
|
|
|
| |||
|
Формулы |
|
|
|
Содержание формул |
|
| ||
|
18,94231 |
|
|
50 |
|
a1Х1 + a2Х2 = |
A | ||
|
21,10577 |
|
|
40 |
|
b1Х1 + b2Х2 |
B | ||
|
1,875 |
|
|
1 |
|
Х1 |
1 |
|
|
|
1,923077 |
|
|
1 |
|
X2 |
1 |
|
|
|
30 |
|
|
30 |
|
е1Х1 Е1 |
|
| |
|
16 |
|
|
10 |
|
Е1/Х1 f1 |
|
| |
|
25 |
|
|
25 |
|
е2Х2 Е2 |
|
| |
|
13 |
|
|
8 |
|
Е2/Х2 f2 |
|
| |
Целевая функция
d1X1 + d2X2 max
15,24
Вывод. Если в универсаме разместить 1,8 пунктов химчистки и 1,9 пункта по мелкому ремонту одежды, то выделенная площадь на 32 м^2 будет не использованы, 19 тыс. руб. выделенных финансов не будут истрачены, прибыль составит 15,24 тыс. руб. Все ограничения по точкам безубыточности выполнены. Удивительное решение- все ограничения выполнены.
1Спирин А. А., Фомин Г. П. Экономико-математические методы и модели в торговле. - М.: Экономика, 1988, с. 62.
1Маклаков С. В. Моделирование бизнесс-процессов. - М.: ДИАЛОГ МИФИ. 2002, с. 6 - 7.
1Анфилатов В. С., Емельянов А. А., Кукушкин А. А. Системный анализ в управлении. - М.: Финансы и статистика , 2002, с. 43 - 53.
2Анфилатов В. С., Емельянов А. А., Кукушкин А. А. Системный анализ в управлении. - М.: Финансы и статистика , 2002, с. 53 - 58.
1Анфилатов В. С., Емельянов А. А., Кукушкин А. А. Системный анализ в управлении. - М.: Финансы и статистика , 2002, с. 58 - 61.