§3. Поверхностный интеграл первого рода и его приложения.

В задачах 11.51-11.59 вычислить следующие поверхностные интегралы:

11.51 , где -часть плоскости , выделяемая условиями , , .

11.52 , где -часть поверхности , отсечённая плоскостью .

11.53, где -часть поверхности конуса , .

11.54, где -часть поверхности конуса , расположенная внутри цилиндра .

11.55, где - часть поверхности конуса , .

11.56, где - часть поверхности , отсечённая плоскостями и .

11.57, где - сфера .

11.58, где - полная поверхность тетраэдра , , , .

11.59, где - полная поверхность цилиндра , .

11.60 Найти площадь части параболоида , отсечённой цилиндром и плоскостью .

11.61 Найти площадь части сферы , вырезанной цилиндром .

11.62 Найти массу однородного параболоида (плотность ) , .

11.63 Найти массу, распределённую по сфере с плотностью .

11.64 Найти массу части конуса , , если плотность в каждой точке равна квадрату расстояния до вершины конуса.

11.65 Найти массу части конуса , лежащей внутри цилиндра , если плотность распределения массы .

11.66 Найти координаты центра масс верхней полусферы , , если поверхностная плотность в каждой её точке равна расстоянию от этой точки до оси .

11.67 Найти координаты центра масс однородной поверхности (плотность ): , .

11.68 Вычислить моменты инерции относительно плоскости однородной поверхности (плотность): ,

, , .

11.69 Вычислить моменты инерции относительно оси однородной поверхности (плотность): , .

11.70 Вычислить моменты инерции относительно оси однородной сферической поверхности плотности : , .

§4. Поверхностный интеграл второго рода и его приложения.

В задачах 11.71-11.76 вычислить поверхностные интегралы:

11.71, где - нижняя сторона круга , .

11.72, где - верхняя сторона треугольника , , , .

11.73, где - внешняя сторона сферы

.

11.74, где - внешняя сторона конуса , .

11.75, где - внутренняя сторона поверхности тетраэдра , , , .

11.76, где - внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндрической поверхности и плоскостей , , , .

11.77 Найти поток вектора через часть сферы , в направлении внешней нормали.

11.78 Найти поток вектора через часть конической поверхности , в направлении внешней нормали.

11.79 Найти поток вектора через часть цилиндрической поверхности , , , в направлении внешней нормали.

11.80 Найти поток вектора через часть поверхности параболоида , в направлении внутренней нормали.

§5. Теория поля.

5.1Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.

11.81 Найти линии уровня следующих скалярных полей:

а) ; б) ; в) ; г) .

11.82 Найти поверхности уровня следующих скалярных полей:

а) ; б) ;

в) ; г) .

11.83 Найти градиент скалярного поля в точке , если:

а), ; б) ,.

11.84 Найти угол между градиентами скалярного поля в точках и , если:

а) , , ;

б) , , .

11.85 Найти, полагая , :

а) ; б) ; в) ; г) .

11.86 Найти точки в которых градиент скалярного поля равен вектору .

11.87 Найти точки в которых градиент скалярного поля перпендикулярен радиус-вектору.

11.88 Найти точки в которых модуль градиента скалярного поля равен 2.

11.89 Найти стационарные точки скалярного поля .

11.90 Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля в точке , направленный в сторону возрастания поля.

11.91 Найти производную скалярного поля по направлению вектора в точке , если:

а) , , ;

б) , , .

11.92 Найти производную скалярного поля в точке по направлению радиус-вектора этой точки.

11.93 Найти производную скалярного поля в точке по направлению его градиента (-радиус вектор точки ).

11.94 Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке .