- •Глава 13. Математическая статистика.
- •§1. Выборка, способы её записи, графическое представление и числовые характеристики.
- •13.9 13.10
- •§2. Статистические оценки параметров распределения.
- •2.1 Точечные оценки.
- •13.32 Геометрическое распределение с параметром (вероя-тность появления некоторого события а в одном испытании):,
- •2.2 Интервальные оценки. Необходимый объём выборки.
- •§3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1 Проверка гипотез о параметрах нормально распределённой генеральной совокупности.
- •Проверка гипотез о средних нормального распределения.
- •3.2 Проверка гипотез о параметре биномиального распределения.
- •3.3 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
- •§4. Корреляционно-регрессионный анализ.
- •13.96 13.97
§2. Статистические оценки параметров распределения.
2.1 Точечные оценки.
13.29 По выборке объёма из нормально распределённой генеральной совокупностинайдено значение смещённой оценкигенеральной дисперсии. Найти значение несмещённой оценкидисперсии генеральной совокупности, если:а) ; б).
В задачах 13.30-13.34 по выборке объёманайти значения точечных оценок параметров указанных распределений, используя:а) метод моментов; б) метод максимального правдоподобия.
13.30 Биномиальное распределение с параметром (вероятность появления некоторого события А в одном испытании):
,
где - число появлений события А в-ом опыте,- количество испытаний в одном опыте,- число опытов.
13.31 Распределение Пуассона с параметром :
,
где - число появлений события в-ом опыте,- количество испытаний в одном опыте,- число опытов.
13.32 Геометрическое распределение с параметром (вероя-тность появления некоторого события а в одном испытании):,
где - число испытаний до появления события А.
13.33 Показательное распределение с параметром , функция плотности которого.
13.34 Нормальное распределение с параметрами с функцией плотности.
13.35 Найти методом моментов по выборке объёмазначения оценок параметровиравномерного распределения, плотность которого
().
13.36 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёмазначение оценки параметрараспределения «хи-квадрат», функция плотности которого
.
13.37 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёмазначение оценки параметрагамма-распределения (известно), функция плотности которого.
2.2 Интервальные оценки. Необходимый объём выборки.
13.38 Предполагая, что распределение генеральных совокупностей является нормальным, найти 90%-ные доверительные интервалы для математического ожидания (среднего) и дисперсии следующих характеристик: а) ёмкость конденсатора, если ,,;б) время безотказной работы электролампы, если ,,;
в) диаметр вала, если ,,;г) содержа-ние углерода в ед. продукта, если ,,.
13.39 Измерения диаметров (в см) случайно отобранных из большой партии 250 валов дали следующие результаты:
[7.8,8.0) |
[8.0,8.2) |
[8.2,8.4) |
[8.4,8.6) |
[8.6,8.8) |
[8.8,9.0] | |
5 |
20 |
80 |
95 |
40 |
10 |
Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего диаметра вала во всей партии.
13.40 Получены следующие данные о годовом товарообороте (в млн. руб.) 100 случайно отобранных продовольственных магазинов города:
[100,120) |
[120,140) |
[140,160) |
[160,180) |
[180,200] | |
17 |
40 |
32 |
8 |
3 |
Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего товарооборота продовольственного магазина в городе.
Доверительные интервалы для параметров инормально распределённой генеральной совокупности.
Параметр |
Точечная оценка |
Доверительный интервал |
(неизвестна) |
, где , | |
(неизвестно) |
, где , , . |
Доверительный интервал для параметра биномиального распределения.
Параметр |
Точечная оценка |
Доверительный интервал |
(,, ) |
, где |
Объём выборки: или
Здесь: - корень уравнения (приложение 6.2); -критическая точка распределения Стьюдента (приложение 6.4);,- критические точки распределения(приложение 6.3); -предельная ошибка выборки; - доверительная вероятность;- число элементов в выборке, обладающих данным свойством.
13.41 Измерения твёрдости 16 образцов легированной стали (в условных единицах) дали следующие результаты:
13.1, 12.8, 11.9, 12.4, 13.5, 13.7, 12.0, 13.8,
10.6, 12.4, 13.5, 11.7, 13.9, 11.5, 12.5, 11.9.
В предположении, что выборка измерений получена из нормально распределённой генеральной совокупности, найти 95%-ные доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.
13.42 Результаты 10 измерений ёмкости конденсатора дали следующие отклонения от номинального значения (пкФ):
.
Найти 90%-ный доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратичного отклонения, предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение.
13.43 Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100 штук. У 36 транзисторов коэффициент усиления оказался меньше 10. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии.
13.44 При осмотре 60 ящиков обнаружено 10 повреждённых. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли повреждённых ящиков во всей партии.
13.45 Для оценки уровня безработицы в городе были отобраны случайным образом 100 человек рабочих специальностей. Из них 6 человек оказались безработными. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли безработных рабочих в городе.
13.46 При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.
13.47 С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 400 штук, причём 10 оказались бракованными. Найти 90%-ный доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника. Сколько подшипников надо проверить, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что вероятностьпоявления бракованного подшипника отличается от относительной частотыего появления не более чем на 5%?
13.48 В 10000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности выигрыша. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что вероятностьвыигрыша отличается от его относительной частотыне более чем на 1%?
13.49 По результатам социологического исследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента (т.е. процент опрошенных, одобряющих его деятельность) составил 70%. Найти границы, в которых с доверительной вероятностью заключён рейтинг президента (при опросе всех жителей страны). Сколько респондентов надо опросить, чтобы
с вероятностью гарантировать предельную ошибку, допускаемую при определении рейтинга в результате социологического исследования, не превышающую 1%?
13.50 Высота самолёта определяется с помощью высотомера, средняя квадратичная ошибка которого . Считая, что ошибки измерения высоты самолёта распределены по нормальному закону, определить, сколько надо иметь таких приборов на самолёте, чтобы с вероятностьюпредельная ошибка измерения средней высоты самолёта была не более.
13.51 Оценка величины сопротивления для большой партии однотипных резисторов, определённая по результатам измерений 100 случайно отобранных экземпляров, равна . Считая, что среднее квадратичное отклонение измерения известно:, найти вероятность того, что для резисторов всей партии величина сопротивления лежит в пределах. Сколько измерений нужно произвести, чтобы с вероятностьюутверждать, что для всей партии резисторов величина сопротивления лежит в пределах?