1.59 А) ; б).

1.60 а) ; б).

В задачах 1.61-1.62 найти вектор из уравнений.

1.61 ,

где ,,.

1.62 ,

где ,,.

В задачах 1.63-1.68 выяснить, являются ли следующие системы арифметических векторов линейно зависимыми или линейно независимыми.

1.63 ,.

1.64 ,.

1.65 ,,.

1.66 ,,.

1.67 ,,,.

1.68 ,,,.

1.69Установить, в каких из нижеследующих случаев векторы линейно зависимы, и в этом случае, представить векторкак линейную комбинацию векторов

а)

б)

в)

1.70Представить вектор как линейную комбинацию векторови:

а) ; б); в).

1.71Найти все значения при которых векторлинейно выражается через векторы:

а) ,,,;

б) ,,,;

в) ,,,;

г) ,,,.

1.72 Найти все базисы системы векторов:

а) ,,;

б) ,,,.

1.73 Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные векторы системы:

а) ,,;

б) ,,,.

1.74 Показать, что векторы образует базис в и вычислить координаты вектора в этом базисе.

1.75 Найти координаты вектора в базисе:

а) ,,,;

б) ,,,;

в) ,,,,

;

г),,,,

, .

1.76Найти координаты вектора в базисе, если он задан в базисе:

а) , б),

; ;

в) , г),

; .

В задачах 1.77-1.87 вычислить ранг матриц.

1.77 . 1.78.

1.79 . 1.80.

1.81 . 1.82.

1.83. 1.84. 1.85.

1.86. 1.87.

В задачах 1.88-1.90 найти ранг системы векторов

1.88 ,,,,

.

1.89,,,.

1.90 ,,.

§4. Системы линейных уравнений.

…Система уравнений вида: называетсясистемой линейных уравнений снеизвестными. В матричной форме система имеет вид: , где,,. Здесь-матрица системы,-матрица-столбец неизвестных,- матрица-столбец свободных членов. Если, где- нулевая матрица-столбец (все её элементы равны нулю), то система называетсяоднородной, в противном случае неоднородной.

Если в системе и определитель матрицы системы(т.е. матрицаимеет обратную), то система имеет единственное решение, определяемое:

а) по формулам Крамера: ,,где - определитель, получаемый из определителя системызаменой-ого столбца на столбец свободных членов;

б) методом обратной матрицы по формуле .

Решение произвольной системы уравнений находят методом Гаусса. Для этого составляют расширенную матрицу системы , приписывая к матрице системысправа столбец свободных членов. Затем расширенную матрицус помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов приводят к специальному виду:. Если хотя бы одно из чиселотлично от нуля, то исходная система уравнений несовместна; если, то система совместна. Совместная система имеет единственное решение, если, и бесконечное множество решений, если. Считаябазисными неизвестными,-свободными, бесконечное множество решений записывают в виде общего решения, придавая свободным неизвестным произвольные значения:и выражая базисные неизвестные через свободные.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы(приэто условие означает:).

Если , то однородная система имеетлинейно независимых частных решений:, называемых её фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид , где-произвольные постоянные. Решения, образующие фундаментальную систему решений, можно получить, если в общем решении однородной системы свободным неизвестным придавать поочерёдно значение, полагая остальные равными.

Общее решение неоднородной системы может быть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системыи произвольного частного решения неоднородной системы:.

В задачах 1.91-1.100 решить системы уравнений:

а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

1.91 . 1.92 .

1.93. 1.94 .

1.95. 1.96 .

1.97. 1.98 .

1.99. 1.100.

В задачах 1.101-1.114 решить системы уравнений методом Гаусса.

1.101. 1.102.

1.103. 1.104.

1.105. 1.106.

1.107. 1.108.

1.109.

1.110.

1.111.

1.112.

1.113.

1.114.

В задачах 1.115-1.118 найти фундаментальную систему решений и общее решение однородных систем уравнений.

1.115. 1.116 .

1.117. 1.118.

В задачах 1.119-1.122 найти общие решения неоднородных систем, используя фундаментальную систему решений соответствующих однородных.

1.119.

1.120.

1.121.

1.122.