- •Лекция 7. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Вероятность редких событий. Распределение Пуассона.
- •Закон больших чисел
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева.
- •Теорема Бернулли.
- •Теорема Пуассона.
- •Центральная предельная теорема Ляпунова.
Неравенство Чебышева
Для любой случайной величины ( дискретной или непрерывной, распределенной по любому закону с математическим ожиданием и дисперсиейдля любого вещественного числасправедливо неравенство
. (21)
Или (22)
Доказательство.
Докажем справедливость неравенства (21) для непрерывной случайной величины. Из определения вероятности
=
Отсюда и следовательно,.
Неравенство Чебышева (22) не позволяет найти вероятность случайной величине отклониться по абсолютной величине от своего математического ожидания на величину, большую , а устанавливает лишь для нее верхнюю границу. Например, для нормально распределенной случайной величиныв соответствии с правилом. Неравенство Чебышева дает следующую верхнюю границу.
Следствие из неравенства Чебышева.
Если , то почти достоверно, что случайная величина равна своему математическому ожиданию.
Теорема Чебышева.
Если – попарно независимые величины, имеющие ограниченные дисперсии, т.е., то для любого положительного, как бы оно мало ни было,
(23)
Это соотношение означает, что для достаточно большого числа независимых С.В. с ограниченными дисперсиями почти достоверно то, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Доказательство.
Введем в рассмотрение СВ . Тогда. Применим кнеравенство Чебышева (21)
.
Учитывая, что
вследствие ограниченности дисперсий, получим из (21)
. Отсюда и значит
Следствие из т. Чебышева
Если – попарно независимые величины, имеющие ограниченные дисперсии и одно и то же математическое ожидание, то для любого
. (24)
Теорема Чебышева может быть применена к среднему арифметическому значению одной случайной величины.
Пусть в результате испытаний случайная величинапринимает значения. В результате других серийиспытаний случайная величина принимает значения; и т.д. Обозначим черезслучайную величину, которая принимает первые значения в различных сериях испытаний, т.е.Аналогично введем, ,. Все эти величины распределены по одному закону и имеют одно и то же математическое ожиданиеи одну и ту же дисперсию. Тогда.,
Т.е. при безграничном возрастании числа испытаний среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к математическому ожиданию этой величины.
Теорема Бернулли.
Эта теорема устанавливает устойчивость частоты при многократных испытаниях.
Если в каждом из независимых испытаний вероятностьпоявления событияпостоянна и– число испытаний, в которых появилось событие, то
. (25)
Доказательство.
Обозначим через случайную величину – число появлений событияв первом испытании, черезслучайную величину – число появлений событияво втором испытании, …, черезслучайную величину – число появлений событияв- м испытании. Каждая из СВ может принимать только два значения 1 с вероятностьюи 0 с вероятностью.
Применим к таким С.В. теорему Чебышева. Для этого нужно, чтобы эти С.В. были попарно независимы и дисперсии их должны быть ограниченными. Попарная независимость этих величин следует из независимости испытаний. Математическое ожидание каждой С.В. равно=, так как ее ряд распределения
Значения случайной величины |
0 |
1 |
Вероятности |
. Следовательно, дисперсия .
Произведение двух множителей, имеющих заданную сумму наибольшее, если эти множители равны. Следовательно, дисперсия каждой С.В. ограничена. Поэтому на основании теоремы Чебышева
., где .
Каждая из С.В. принимает либо 0, либо 1, поэтому их сумма равна числу появлений событияA в серии из испытаний. Поэтому
.
Это означает, что при неограниченном возрастании числа испытаний частота появления события А сходится по вероятности к его вероятности.