25ядреакц
.pdf
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ ЗВЕДЕННЯ ОСНОВНИХ ФОРМУЛ
25.1 Символічний запис ядерної реакції
ZA X +a → ZA′′Y +b або ZA X (a,b)→ ZA′′Y ,
де ZA X і ZA′′Y - початкове і кінцеве ядра відповідно з зарядо-
вими числами Z та Z′ і масовими числами А і A′; a –частинка, що бомбардує ядро, b - частинка, що утворюється в результаті реакції.
При позначенні частинок використовуються символи:
р - протон; n - нейтрон; d - дейтон; α - альфа - частинка; γ - гамма – фотон.
Під час ядерної реакції виконуються закони збереження : а) масового числа; б) зарядового числа;
в) релятивістської повної енергії; г) імпульсу.
25.2 Енергія ядерної реакції
Q = [(m1 + m2 )−(m3 + m4 )]c2 ,
де m1 і m2 - маса спокою ядра-мішені і частинки, що його бомбардує; (m3 + m4 ) - сума мас спокою ядер продуктів реакції.
Поріг ядерної реакції - це мінімальне значення кінетичної енергії частинки, що бомбардує нерухому мішень - ядро, при якій відбувається ця реакція. При цьому швидкості частинок, які утворюються внаслідок реакції, дорівнюють нулю.
173
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 25.1 Знайти енергію реакції 49 Be+11p→24 He+36Li , якщо відомо, що кінетична енергія протона Wp = 5, 45 МеВ, ядра гелію WHe = 4 МеВ і що ядро гелію вилетіло під кутом α = 900 до напряму руху протона. Ядро-мішень 49 Be нерухоме.
ω −?
Wp = 5, 45 МеВ,
WHe = 4 МеВ,
α =900.
Розв’язання
Енергія реакції Q є різницею між
сумою кінетичних енергій ядер-продуктів реакції і кінетичною енергією ядра, що спричиняє реакцію
Q =WLi +WHe −Wp . |
(1) |
У цьому виразі невідома кінетична енергія WLi літію. Для її визначення скористаємося законом збереження імпульсу
prp = prHe + prLi . |
(2) |
Вектори prH і prHe за умовою задачі взаємно перпендикулярні і, отже, разом з вектором prLi утворюють прямокутний трикутник. Тому
(pLi )2 = (pHe )2 +(pp )2 . |
(3) |
Виразимо в цій рівності імпульси ядер через їх кінетичні енергії. Оскільки кінетичні енергії ядер за умовою набагато менші від енергій спокою цих ядер, то можна скористатися формулою класичної фізики:
174
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
p2 = 2mW . |
(4) |
Замінивши у рівнянні (3) квадрати імпульсів ядер їх виразами (4), після спрощення отримаємо
mLiWLi = mHeWHe +mpWp ,
звідки
WLi = mHeWHe +mpWp .
mLi
Підставивши цей вираз у співвідношення (1), знайдемо
Q = |
mHeWHe +mpWp |
+W |
−W . |
(5) |
|
||||
|
|
He |
H |
|
|
mLi |
|
|
|
Після підставлення у вираз (5) числових значень величин у МеВ та а.о.м., одержимо
Q = |
4, 00260 4 +1, 00728 5, 45 |
+4 −5, 45 = 2,13(МеВ). |
|
6, 01513 |
|||
|
|
Відповідь: Q == 2,13 МеВ.
Приклад 25.2 В результаті розпаду радіоактивне ядро магнію 1223 Mg вивільнило позитрон і нейтрино. Визначити енергію Q β + - розпаду ядра.
175
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
Розв’язання. Реакцію β + - розпаду ядра магнію можна записати так:
1223 Mg→1123Na+10 e+00ν .
Припускаючи, що ядро магнію було нерухомим, і враховуючи, що маса спокою нейтрино практично дорівнює нулю, напишемо рівняння енергетичного балансу. На підставі закону збереження релятивістської повної енергії маємо
|
m |
c2 = m |
Na |
c2 +W |
+m c2 |
+W +W , |
|
(1) |
||
|
Mg |
|
Na |
e |
e |
ν |
|
|
||
де m c2 |
- енергія спокою ядра магнію; |
m |
Na |
c2 |
- енергія |
|||||
Mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спокою ядра натрію; WNa - кінетична енергія ядра натрію; mec2 - енергія спокою позитрона; We - кінетична енергія позитрона; Wν - енергія нейтрино.
Енергія розпаду дорівнює |
|
Q =WNa +We +Wν =(mMg −mNa −me )c2 . |
(2) |
Виразимо маси ядер магнію і натрію через маси відповідних нейтральних атомів
Q =((mMg −12me )−(mNa −11me )−me )c2 . |
(3) |
Оскільки маси спокою електрона і позитрона однакові, то після спрощень співвідношення (3) отримаємо:
Q =(mMg −mNa −2me )c2 .
176
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
Зробивши підставлення числових значень фізичних величин у МеВ та а.о.м. у цей вираз, знайдемо
Q = (22,99414 −21,99444 −2 0,00055) 931,4 =3,05 (МеВ).
Відповідь: Q =3,05 МеВ.
Приклад 25.3 Яку масу води, взятої при 00 С, можна заки- п'ятити, використовуючи енергію термоядерного синтезу гелію
здейтерієм і тритієм, якщо ККД перетворення енергії дорівнює
η=10% ? Маса гелію, що утворився, m =1г.
|
|
Розв’язання |
|
mB −? |
|
Запишемо рівняння ядерної |
|
|
|||
η =10%, |
|
реакції синтезу гелію: |
|
|
|
|
|
m =1г =10−3 кг, |
|
12 H +13H →24He+01n . |
|
T = 00 C, |
|
Маса спокою |
частинок, |
c = 4200 Дж (моль К). |
|
||
|
що утворилися, менша за маси |
||
|
|||
|
|
спокою частинок, що вступили в |
|
реакцію, тому в процесі синтезу ядер вивільниться енергія |
|||
Q0 =(m12 H +m13 H −mHe −mn )c2 . |
(1) |
||
При одиничному акті термоядерного синтезу вивільняється енергія Q0 і витрачається маса m0 = 5 а.о.м.=5 1,67 10-27 кг
дейтерію і тритію. Отже, використавши паливо масою m , ми вивільнимо енергію
Q = Q |
m |
. |
(2) |
|
|||
0 |
m0 |
|
|
177
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
Вода при цьому отримає таку кількість теплоти:
|
|
|
|
|
QВ =ηQ . |
|
(3) |
|
|||
|
|
|
Використавши зв'язок між кількістю теплоти і теплоємні- |
||||||||
стю води, можна записати |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
QВ = cВmB t . |
|
(4) |
|
||||
|
|
|
Прирівнявши співвідношення (3) та (4), отримаємо |
|
|
||||||
|
|
|
|
ηQ = cВmB |
t , |
|
|
|
|||
|
|
|
звідки |
|
ηQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mB |
= |
|
. |
|
(5) |
|
|
|
|
cВ t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Підставивши в даний вираз співвідношення (1) |
та (2), |
||||||||
отримаємо остаточно |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
η(m12 H +m13 H −mHe −mn )c2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
m = |
|
|
|
|
|
. |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
B |
|
cВm0 |
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мо: |
|
Після підставлення числових значень у цей вираз знайде- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mB |
|
|
0,1 (2,01410 +3,01605 −4,00260 −1,00867) 1,67 10-27 |
(3 108 )2 |
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
4190 5 |
1,67 10 |
-27 100 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
=50 103 (кг).
178
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
Це у 50 млн. разів більше за масу термоядерного палива, яке було використано на нагрівання!
Відповідь: mB =50 т.
Приклад 25.4 У реакції 147 N (α, p)178 O кінетична енергія α - частинки дорівнює Wα = 7,7 МеВ. Визначити, під яким ку-
том до напрямку руху α - частинки вилітає протон, якщо відомо, що його кінетична енергія дорівнює Wp = 7, 7 МеВ.
|
|
Розв’язання |
||||
|
|
|
vr |
2 |
||
ϕ −? |
vr1 |
|
m3 |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
||
Wα = 7, 7 МеВ, |
m1 |
M |
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
||
Wp =8,5 МеВ. |
|
|
|
|
||
|
|
vr |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Позначимо, як показано на рисунку m1, m2 , m3 - масові числа відповідно α - частинки, протона та ядра віддачі (у нашому випадку це ядро атома кисню), W1,W2 ,W3 - їх кінетичні енергії.
Оскільки ядро атома азоту не рухається (його масове число дорівнює M ), то закон збереження енергії має вигляд:
W1 +Q =,W2 +W3 , |
(1) |
де Q - енергія ядерної реакції. |
|
Запишемо закон збереження імпульсу |
|
pr1 = pr2 + pr3 . |
(2) |
З співвідношення (2) та рисунка маємо для числових значень імпульсу рівняння
179
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
p2 |
= p2 |
+ p2 |
−2 p p cosϕ . |
(3) |
|
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Оскільки
p2 = (mv)2 = m2v2 2m =W 2m ,
то рівняння (3) набуде вигляду:
2m3W3 = 2m1W1 +2m2W2 −2cosϕ |
2m1W1 2m2W2 , |
|
|||||||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
= |
m1 |
W |
+ |
m2 |
W |
− |
2cosϕ |
m m WW . |
(4) |
|
m |
m |
m |
|||||||||
3 |
|
1 |
|
2 |
|
1 2 1 2 |
|
||||
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|||
Виключимо з (1) та (4) енергію W3 та отримаємо формулу,
яка пов’язує кінетичну енергію частинок, що бомбардують, з кінетичною енергією отриманих частинок:
W |
|
m3 −m1 |
|
+Q =W |
|
m2 +m3 |
|
− |
2cosϕ |
m m WW . |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
m3 |
2 |
|
m3 |
|
1 2 1 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
m3 |
|||
Знайдемо енергію ядерної реакції
Q = (m1 +M )−(m2 +m3 ) c2 .
Розв’яжемо (5) відносно cosϕ та отримаємо
(5)
(6)
180
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
cosϕ = |
m2 +m3 |
|
W2 |
|
− |
m3 −m1 |
|
|
W1 |
|
− |
|
m3Q |
|
|
. (7) |
||
|
m m W |
|
|
m m W |
2 |
|
|
|
||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
m m WW |
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
||
Візьмемо значення мас частинок, які беруть участь в реакції, з таблиць А7 та А8 додатка А
m1 = 4, 00388 а.о.м. , M =14, 00752 а.о.м., m2 =1,00814 а.о.м., m3 =17, 00453а.о.м.
та підрахуємо енергію реакції
Q = (4, 00388 +14, 00752)−(1, 00814 +17, 00453) 931, 4 = = −1,183(МеВ).
Підставимо числові значення у співвідношення (7) та отримаємо
cosϕ = |
1+17 |
8,5 |
− |
17 −4 |
|
7, 7 1 |
− |
17 (−1,183) |
= |
||
|
2 |
|
4 1 7, 7 |
2 |
4 1 8,5 |
2 4 1 7, 7 8,5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
= 0,59 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ = arctg0,59 =30,50 .
Відповідь: ϕ =30,50 .
Приклад 25.5 Позитрон та електрон анігілюють з утворенням двох фотонів. Визначити: а) енергію кожного з утворених фотонів Wф за умови, що кінетична енергія електрона та по-
зитрона до їх зіткнення дорівнювала нулю; б) довжину хвилі λ цих фотонів.
181
25 ЯДЕРНІ РЕАКЦІЇ ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ
Розв’язання
Запишемо реакцію анігіляції елект-
Wф −? λ −? |
|
рона та позитрона |
|
|
|
|
|
|
|
m = 9,1 10−31 |
кг. |
e0 |
+e0 |
→ 2γ . |
e |
|
−1 |
1 |
|
Енергія γ -квантів, які утворилися, згідно з формулою Ейнштейна для зв’язку маси та енергії дорівнює
2Wф = 2mec2 ,
де me - маса спокою електрона (позитрона); c - швидкість
світла у вакуумі. Тоді
Wф = mec2 .
Підставимо числові значення фізичних величин у це співвідношення та отримаємо
Wф =9,1 10−31 (3 108 )2 =8,19 10−14 (Дж)= −0,51(МеВ).
Енергія фотона визначається за формулою
Wф = hcλ ,
де h = 6, 63 10−34 Дж c - стала Планка. Тоді
182