23тв

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

ЗВЕДЕННЯ ОСНОВНИХ ФОРМУЛ

23.1 Молярна внутрішня енергія хімічно простих (що складаються з однакових атомів) твердих тіл у класичній теорії теплоємності визначається формулою

UM =3RT ,

де R – газова стала; T – термодинамічна температура. 23.2 Теплоємність тіла при сталому об’ємі визначається

першою похідною від внутрішньої енергії U за температурою, тобто

C = dUdT .

23.3 Закон Дюлонга і Пті. Молярна теплоємність CM хімічно простих твердих тіл визначається співвідношенням

CM =3R .

23.4 Закон Неймана-Коппа. Молярна теплоємність хіміч-

но складних тіл (що складаються із різних атомів) дорівнює

132

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

CM = n 3R ,

де n – загальна кількість частинок у хімічній формулі спо-

луки.

23.5 Середнє значення енергії <Е> квантового осциля-

тора, що припадає на один ступінь вільності, у квантовій теорії Ейнштейна визначається за формулою

	W =W0	+		hω		,
			exp	(hω kT )−1
	де W0 – нульова енергія,			або енергія при T = 0

(W0 =12 hω); ω - циклічна частота коливань осцилятора;

k– стала Больцмана; T – термодинамічна температура.

23.6Молярна внутрішня енергія кристала у квантовій теорії теплоємності Ейнштейна визначається співвідношенням

UM =UM 0 +3R exp (θθEE T )−1 ,

де UM 0 = 32 RθE - молярна нульова енергія за теорією Ейн-

штейна; θE = hωk - характеристична температура Ейнштейна.

23.7 Молярна теплоємність кристала у квантовій теорії теплоємності Ейнштейна дорівнює

θ	2	exp (θE				T )
CM = 3R	E								.
			(	E		)		2
T					T
		exp	θ				−1

133

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

При низьких температурах (T <<θE ):

CM =3R θTE 2 exp (−θE T ).

23.8 Частотний спектр коливань у квантовій теорії теп-

лоємності Дебая задається функцією розподілу частот g(ω). Кількість dZ власних частот тіла, які припадають на інтервал від ω до ω+dω, визначається виразом

dZ = g(ω)dω .

Для тривимірного кристала, який містить N атомів:

dZ = ω93N ω2 dω ,

max

де ωmax – максимальна частота, яка обмежує спектр коли-

вань.

23.9 Молярна внутрішня енергія кристала за теорією Дебая дорівнює

				T	3 θD T		x	3
UM	=UM ,0	+3RT 3				∫0				dx ,
							exp (x)−1
				θD

134

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

де UM ,0 = 98 RθD - молярна нульова енергія кристала за тео-

рією Дебая; θD = hωmax k - характеристична температура Дебая;

x = hkTω .

23.10 Молярна теплоємність кристала за теорією Дебая визначається співвідношенням

T

3 θD

T

x3dx

3

(θD

T1 )

CM

= 3R 12

1

∫

−

.

θ

e

x

−1

θD T1

−1

D

0

e

В області низьких температур (T <<θD ) остання формула набуває вигляду

		12π	4		T	3
CM	=			R		.
		5
					θD

23.11Енергія ε фонона пов’язана з циклічною частотою

ωколивань класичної хвилі співвідношенням

ε= hω .

23.12Квазіімпульс фонона

p= 2π hλ .

23.13Швидкість фонона є груповою швидкістю звукових хвиль у кристалі:

135

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

u = dWdp .

При малих значеннях енергії фонона дисперсією хвиль можна знехтувати, і тоді групова та фазова швидкості однакові:

u = v =W p .

23.14 Швидкості поздовжніх vl та поперечних vt хвиль

у кристалі визначаються за формулами:

vl = Eρ , vt = Gρ ,

де E і G - модулі відповідно повздовжньої та поперечної пружності (модуль Юнга та модуль зсуву); ρ - густина тіла.

ЕЛЕКТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ

23.15 Закони Ома і Джоуля-Ленца у диференціальній формі мають вигляд:

j =γ E , ωP =γ E2 ,

де j - густина струму; ωP - об’ємна густина теплової потужності; γ - питома провідність; E - напруженість електрич-

ного поля.

23.16 Питома електрична провідність визначається спів-

відношенням

136

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

γ =	1	e2n l	,
	2	m u
де e і m - заряд і маса електрона;			n - концентрація елект-

ронів; l - середня довжина їх вільного пробігу; u - середня

швидкість хаотичного руху електронів.

23.17 Закон Відемана - Франца має вигляд

λ = 3 k2 T , γ e2

де λ - теплопровідність; γ - питома електропровідність;

k- стала Больцмана.

23.18Розподіл Фермі за енергіями для вільних електронів

уметалі має вигляд:

-

при T ≠ 0

1

2m 3 2

ε1 2dε

dn(ε)

=

;

2

2π

2

h

exp

ε −ε

F )

kT +1

(

-

при T = 0

dn(ε)

=

1

2m 3 2

ε

1 2

dε

(при ε <εF ),

2π

2

2

h

де dn(ε ) - концентрація електронів, енергія яких міститься

в інтервалі значень від ε

до ε +dε ; m і ε - маса та енергія еле-

ктрона; εF - рівень (або енергія) Фермі.

23.19 Енергія рівня Фермі в металі при T = 0 визначається співвідношенням

137

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

εF = 2hm2 (3π2n)2 3 ,

де n – концентрація вільних носіїв.

23.20 Температура Tв виродження електронного газу до-

рівнює

Tв = 2πkmh2 n2 3 .

23.21 Питома електропровідність власних напівпровід-

ників визначається за формулою

γ = en(μn +μp ),

де e -	заряд електрона;			n - концентрація носіїв заряду
(електронів та дірок);		μn і μp - рухливості електронів та дірок.
23.22 Концентрація вільних носіїв у власному напівпро-
віднику дорівнює
	ni = pi		2(2πkT mnmp )3 2				W
		=				exp −		,
				h	3
							2kT
де mn ,	mp - ефективні маси електронів та дірок;							W - ши-

рина забороненої зони матеріалу.

23.23 Концентрація вільних носіїв у домішковому напівпровіднику дорівнює

138

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

n =	2	(2πmnkT )3 2			W
				exp	a		,
		h	3
					2kT

де Wa - енергія активації атомів домішки.

23.24 Залежність питомої електропровідності власного напівпровідника від температури визначається за формулою

γ =γ0		−	W	,
	exp
			2kT

де W - ширина забороненої зони матеріалу; γ0 - стала, на

значення якої температура практично не впливає.

23.25 Положення рівня Фермі у власному напівпровід-

нику визначається співвідношенням

	εF	= −	W	+	3	kT ln			mp	.
			2		4				mn
	23.26 Сила струму у p-n-переході
	I = I0 exp eU							−1 .
				kT

де I0 - струм насичення; U – зовнішня напруга на переході.

139

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

Приклад 23.1 Визначити кількість теплоти		Q , необхідну
для нагрівання кристала NaCl масою m = 20 г		на T = 2 K у
двох випадках,	коли нагрівання відбувається від температури:
а) T1 =θD ; б) T2	= 2 K . Характеристична температура Дебая для

NaCl дорівнює θD = 320 K .

Q −?

m = 20 г = 0, 2 кг,

T = 2 K, T1 =θD , T2 = 2 K,

θD =320 K,

R =8,31 мольДжК ,

M =58,5 10−3 кг моль.

Розв’язання

Кількість теплоти Q , необхідну для нагрівання тіла від температури T1 до T2 , можна підрахувати за формулою

T2
Q = ∫CdT ,	(1)
T1

де C - теплоємність тіла. Теплоємність тіла пов’язана з

молярною теплоємністю CM співвідношенням

C = Mm CM ,

де m - маса тіла; M - молярна маса. Тоді вираз (1) набуде вигляду

	Q =	m T2		CM dT .	(2)
		M T∫
		1

140

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

У загальному випадку CM є функцією температури, тому її

не можна виносити за знак інтеграла. Але у випадку а) зміною теплоємності у порівнянні з її значенням при температурі T1

можна знехтувати і вважати, що на всьому інтервалі T вона є сталою. З урахуванням вищевикладеного формула (2) набуде вигляду

Q =

m

C

M

T .

(3)

M

Молярна теплоємність за теорією Дебая

T

3 θD T x3dx

3(θD

T1 )

CM

1

∫

x

−

θD T1

,

= 3R 12

θ

e

−1

−1

D

0

e

де x = hkTω .

У першому випадку при T1 =θD із таблиці інтегралів знаходимо

	θD T	3	1		3	dx
	∫0	x	dx	= ∫0	x			−0, 225 ,
		ex	−1		ex	−1
тоді
							3 1
CM	=3R 12		1 0, 225 −								= 2,87 R .
							1
							e		−1

Підставимо значення CM у співвідношення (3) та отрима-

ємо

141