22ренгспектри
.pdf
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
ЗВЕДЕННЯ ОСНОВНИХ ФОРМУЛ
22.1 Момент імпульсу електрона на стаціонарних орбітах атома Бора
L = mvr = nh (n =1, 2, 3,...),
де m – маса електрона; r - радіус орбіти; v - швидкість електрона на орбіті; n - головне квантове число; h - стала Планка.
22.2 Енергія фотона, що випромінює атом водню при переході з одного стаціонарного стану, з квантовим числом m в інший стан n :
E = 2πhω = Em − En ,
де ω - циклічна частота випромінювання; Em і En – енер-
гії атома у стаціонарних станах з квантовими числами m і n відповідно.
22.3 Енергія електрона, що перебуває на n-й орбіті:
En = − |
me4 |
|
|
. |
|
32π2ε02h2n2 |
||
ε0 - діелектрична стала.
22.4 Серіальна формула (узагальнена формула Бальмера) визначає довжину хвилі світла, що випромінюється або поглинається воднеподібним атомом при переході електрона з однієї орбіти на іншу:
115
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
= Z |
|
R |
|
|
− |
|
|
|
, |
λ |
|
|
2 |
m |
2 |
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
де R – стала Рідберга (R=1,1 107 м−1 ); Z - заряд ядра у
відносних одиницях ( Z =1 для водню).
22.5 Короткохвильова межа λK безперервного рентге-
нівського спектра
λK = eUhc ,
де e - заряд електрона; U - різниця потенціалів, прикладена до рентгенівської трубки; h - стала Планка.
22.6 Закон Мозлі у загальному випадку
N
M
ω =C (Z −σ),
L Kβ
K
Kα
+Ze Lα
де ω - частота ліній рентгенівського спектра; Z - атомний номер елемента, що випромінює цей спектр; σ – стала екранування; С- стала.
Враховуючи, що стала C до-
рівнює C = R′ n12 − m12 , закон Мозлі у загальному випадку набуде вигляду
ω = R′(Z −σ )2 n12 − m12 ,
116
22 |
АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ |
|
де R′ |
- стала Рідберга (R′= 2,07 1016 c−1 ); n = 1, 2, 3,…; |
|
m = n+1, n+2,… - головні квантові числа.
Тоді:
а) для ліній Kα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωKα = R(Z −1) |
2 |
1 |
|
− |
1 |
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
б) для ліній Kβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωKβ = R (Z −1) |
2 |
1 |
|
− |
1 |
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
||
в) для ліній Lα
ωLα = R (Z −7,5)2 212 − 312 .
22.7 Енергія фотона Kα - лінії рентгенівського випро-
мінювання:
WKα = 34 Wi (Z −1)2 ,
де Wi – енергія іонізації атома водню.
117
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 22.1 Визначити енергію електрона, що перебуває на другій орбіті атома водню.
Wn −? n = 2.
Розв’язання
Згідно з теорією Бора радіус r електронної орбіти і швидкість v електрона на ній пов’язані співвідношенням
mvr = nh, |
(1) |
де е і m – заряд і маса електрона; n - головне квантове число (n=1, 2,3,...); h - стала Планка - Дірака..
У цей вираз входять дві невідомі величини r іv . За друге рівняння використаємо рівняння руху електрона. Згідно з теорією Бора електрон обертається навколо ядра. При цьому сила взаємодії між електричним зарядом ядра і електроном надає електрону доцентрового прискорення. З використанням другого закону Ньютона можна записати
mv2 |
= |
1 |
|
e2 |
, |
(2) |
|
r |
4πε |
0 r2 |
|||||
|
|
|
|||||
звідки
2 |
|
e2 |
|
|
|
|
mv |
r = |
|
|
. |
(3) |
|
4πε |
0 |
|||||
|
|
|
|
Розділимо (3) на (2) та отримаємо
v = |
e2 |
|
||
|
|
. |
(4) |
|
4πε |
|
|||
|
0nh |
|
||
118
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
Тоді радіус n - ї орбіти електрона
|
|
|
|
|
|
|
|
r = 4πε |
|
h2n2 |
|
. |
|
|
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 me2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Енергія атома складається з кінетичної енергії електрона та |
||||||||||||||||||||||||
енергії взаємодії електрона з ядром: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
W = |
mv2 |
− |
1 |
|
|
e2 |
. |
|
|
|
|
|
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
4πε0 |
r |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
З використанням співвідношень (4) та (5) одержимо для |
||||||||||||||||||||||||
енергії електрона на n -му рівні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
W |
= |
1 |
|
me4 |
|
− |
|
1 |
|
|
|
me4 |
= − |
|
1 |
|
me4 |
|
. |
|||||
|
|
(4πε0 )2 |
|
(4πε0 )2 h2n2 |
|
|
|
(4πε0 )2 |
|
|||||||||||||||
n |
|
2 |
|
n2h2 |
|
|
|
2 |
|
n2h2 |
||||||||||||||
Після підставлення числових значень фізичних величин знайдемо:
W =− |
1 |
2 9,1 10−31 (1,6 10−19 )4 |
|
1 |
= |
|||||
|
|
( |
|
) |
|
|
||||
n |
|
−12 |
|
−34 |
2 |
2 |
|
|||
|
|
4 3,14 8,85 10 |
|
2 1,05 10 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=5, 47 10−19 (Дж)=3, 42(еВ).
119
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
Проведемо перевірку одиниць одержаної величини:
[W] = |
1 [m][e]4 |
|
|
кг Кл4 |
|
|
|
Кл4 кг м2 |
Ф4 В4 Н м |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
2 |
|
2 |
= |
|
[ε0 |
2 |
|
|
2 |
|
(Ф/м) |
2 |
( Дж c) |
2 |
2 |
2 |
с |
2 |
Дж |
|||||||||||
|
] |
|
[h] |
|
|
|
|
|
Ф |
Дж |
|
|
Ф |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Ф2 |
В4 |
|
Кл2 В4 |
|
Кл2 В2 |
Дж2 |
= Дж. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Дж |
|
В2 Дж |
Дж |
Дж |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Відповідь: Wn =−5,47 10−19 Дж=−3,42 еВ.
Приклад 22.2 Розрахувати, користуючись теорією Бора, період обертання електрона у атомі водня, який є у збудженому стані, з головним квантовим числом n =2.
T −?
n = 2.
Розв’язання
Згідно з теорією Бора радіус r електронної
орбіти і швидкість v електрона |
на ній |
пов’язані співвідношенням |
|
mvr = nh, |
(1) |
де е і m – заряд і маса електрона; n - головне квантове число (n=1, 2,3,...); h - стала Планка - Дірака.
Уцей вираз входять дві невідомі величини r і v .
Звикористанням другого закону Ньютона можна записати:
mv2 |
= |
1 |
|
e2 |
, |
(2) |
|
r |
4πε |
0 r2 |
|||||
|
|
|
|||||
звідки
2 |
|
e2 |
|
|
|
|
mv |
r = |
|
|
. |
(3) |
|
4πε |
0 |
|||||
|
|
|
|
120
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
Розділимо (3) на (2) та отримаємо, що швидкість електрона на n -ій орбіті дорівнює:
v = |
e2 |
|
|
. |
|
(4) |
|
|
|
|
|||
|
4πε0nh |
|
|
|||
Тоді радіус n - ї орбіти електрона |
|
|
||||
r = 4πε |
|
h2n2 |
. |
(5) |
||
0 |
|
me2 |
||||
|
|
|
|
|
||
Період обертання електрона по орбіті визначається співвідношенням
T = |
2πr |
. |
(6) |
|
|||
|
v |
|
|
Підставивши у вираз (6) значення v та r із співвідношень
(4) та (5), отримаємо
T = |
2π4πε0 h2 n2 |
32π3ε02 h3n3 |
|
|
||||
|
|
= |
|
. |
(7) |
|||
me |
2 e2 |
me4 |
||||||
|
|
4πε0 hn |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Після підставлення числових значень фізичних величин у співвідношення (7) отримаємо
T = 32 (3,14)3 (8,85 10(−12 )2 (1,05) 10−34 )3 23 =12,1 10-16 (c). 9,1 10−31 1,6 10−19 4
Проведемо перевірку одиниць одержаної величини:
121
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
[T ] = |
[ε0 ]2 [h]3 |
= |
(Ф/м)2 (Дж с)3 |
= |
Ф2 Дж3с3 |
= |
Кл2 Дж3с |
= |
|
[m][e]4 |
кг Кл4 |
Кл4 кг м2 |
В2 Кл4 Н м |
||||||
|
|
|
|
|
=Дж2 с = Дж2 с = с.
В2 Кл2 Дж2
Відповідь: T =1,21 10-17 с.
Приклад 22.3 Електрон у збудженому атомі гелію перейшов з п’ятого енергетичного рівня на другий. Визначити енергію фотона, що при цьому випромінюється.
|
|
Розв’язання |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Для визначення енергії фотона скори- |
|||||||||||
|
|
стаємося серіальною |
формулою |
для |
|||||||||
W −? |
воднеподібних іонів: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2, |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||
m=5. |
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
= Z |
|
R |
|
|
− |
|
|
, |
(1) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
λ |
|
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
де λ - довжина хвилі фотона; R – стала Рідберга; z – заряд ядра у відносних одиницях (при Z =1 формула набирає вигляду, що є характерним для водню); n – номер орбіти, на яку перейшов електрон; m - номер орбіти, з якої перейшов електрон (n і m – головні квантові числа).
Енергія фотона W визначається співвідношенням
W = hcλ .
Тому, помноживши обидві частини рівняння (1) на hc , одержимо вираз для енергії фотона у вигляді
122
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
W = Z 2hcR n12 − m12 .
Оскільки всі величини у співвідношенні відомі, проведемо розрахунок W :
W=1,1 107 6,63 10−34 3 108 22 212 − 512 =
=1,83 10−18 (Дж)=11, 48(еВ).
Проведемо перевірку одиниць одержаної величини:
[W] =[R][h][c] = м−1 Дж с м/c =Дж.
Відповідь: W =1,83 10−18 Дж =11, 48еВ.
Приклад 22.4 Фотон вибиває з атома водню, який перебуває в основному стані, електрон з кінетичною енергією WK =10еВ. Визначити енергію W цього фотона.
W −?
WK =10 еВ.
Розв’язання
Енергія фотона витрачається на іонізацію атома водню і надання електрону кінетичної енергії:
W =WK +Wi . |
(1) |
Енергія іонізації атома водню дорівнює
123
22 АТОМ ВОДНЮ. РЕНТГЕНІВСЬКІ СПЕКТРИ
W = hν = h |
c |
, |
(2) |
i |
λ |
|
де λ знайдемо, застосувавши серіальну формулу та врахувавши, що відбувається перехід електрону між основним станом n =1 і рівнем вакууму m = ∞:
1 |
|
RZ |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
, |
|
(3) |
||
|
λ |
|
|
2 |
|
m |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де R - стала Рідберга; |
Z – заряд |
|
|
ядра атома |
водню; |
|||||||||||||
n і m - головні квантові числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Підставивши співвідношення (3) у (4), отримаємо |
|
|||||||||||||||||
W = hcRZ 2 |
1 |
|
− |
|
1 |
. |
(4) |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тепер з виразів (1) (4) знайдемо енергію фотона:
W =WK +hcRZ 2 n12 − m12 .
Після підставлення числових значень фізичних величин отримаємо
124