23тв

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

Q =

0,02

2,87

8,31 2 =16,3(Дж).

58,5 10−3

У випадку б) при T θD для знаходження

Q скористає-

мося граничним законом Дебая, а саме:

CM = 12π4

R

T

3 ,

5

θD

Q =

12π4

R m T2 +ΔT

T 3dT =

12π

4 R m

(T2 +

T )4

−

T

4

2

.

θD3 M T∫

θD3 M

5

5

4

4

2

Враховуючи, що T2 +ΔT = 2T2 , отримаємо

Q =

12π4 R m

(2T2 )4

−

T 4

=

3π4

R m

15T 4 .

2

5 θD3 M

4

4

5

θD3 M

2

Виконаємо обчислення

	Q =	3π4	8,31 0, 02		15	24 =1, 22 10−3 (Дж).
		5	3203 58,5 10−3
	Відповідь: а)		Q =16,3 Дж ; б)			Q =1, 22 мДж.

142

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

Приклад 23.2 Визначити енергію Фермі для міді, виходячи з припущення, що кількість вільних електронів дорівнює кількості атомів металу.

Розв’язання

εF −?

Енергія Фермі в металі при

ρ =8,93 103 кг м3 ,

T = 0 визначається

співвідно-

шенням

M = 63,5 10−3 кг моль,

2

h =1, 05 10

−34

Дж с.

εF =

h

(3π

2

n)

2 3

,

(1)

2m

де m - маса електрона;

n – концентрація вільних носіїв;

h - стала Планка – Дірака.

Концентрація атомів міді дорівнює

n =

ρNA

,

(2)

M

де NA - стала Авогадро;

ρ - густина міді; M - молярна

маса міді.

Підставимо формулу (2) у співвідношення (1) та отримає-

мо

	h	2		3π	2		2 3
εF =						ρNA .
	2m				M

Підставимо числові значення та виконаємо розрахунки

143

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

εF =

1,052

10−68

3 3,142

8,93 103 6,02 1023 2 3

=

2 9,1 10

−31

63,5 10

−3

=1,13 10−18 (Дж).

Виконаємо перевірку розмірності

[εF ]=

[h] [ρ][NA ]

2 3

кг м

моль

2 3

= (Дж с)

2

3

=

2

−1

[m]

[M ]

кг

[кг моль]

=

Дж с2 кг м м

=

Дж .

кг с2

м2

Відповідь: εF =1,13 10−18 Дж.

Приклад 23.3 Визначити максимальну енергію ωmax фонона, який може виникнути у кристалі, температура Дебая якого θD = 300 К . Яку довжину хвилі мав би фотон з такою самою енергією?

ωmax −? λ −?

θD =300 К.

Розв’язання

Найбільша частота ωmax , яка

може виникнути у кристалічній решітці, пов’язана з температурою Дебая співвідношенням

hωmax = kθD ,

144

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

де h - стала Планка –	Дірака, h =1, 05 10−34 Дж с;
k - стала Больцмана, k =1,38 10−23	Дж К .

Звідси випливає, що максимальна енергія фотона

εmax = hωmax = kθD .

Довжина хвилі фотона з частотою ωmax дорівнює

λ = 2πc = 2πhc .

ωmax kθD

Підставимо числові значення фізичних величин та виконаємо розрахунки:

εmax =1,38 10−23 300 = 4,14 10−21 (Дж),

λ= 2 3,14 1, 05 −10−34 3 108 = 4,8 10−5 (м). 1,38 10 23 300

Відповідь: εmax		= 4,14 10−21 Дж ; λ = 4,8 10−5 м.
Приклад	23.4	Питома провідність	кремнію дорівнює
γ1 =19См м при температурі Т1 = 600 К і			γ2	= 4095См м при
температурі Т2	=1200 К . Визначити ширину			W забороненої
зони кремнію.

145

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

Розв’язання

	W −?			Залежність			питомої	елект-
γ1 =19См м,				ропровідності		власного		напів-
				провідника від температури ви-
Т1 = 600 К,
				значається за формулою
γ2	= 4095См м,						W
Т2	=1200 К,			γ =γ		−		(1)
k =1,38 10		−23	Дж К.		0 exp		,
							2kT
				де	W - ширина забороне-

ної зони матеріалу; γ0 - стала, на значення якої температура

практично не впливає; k - стала Больцмана.

.

Злогарифмуємо вираз (1) та отримаємо

ln γ = ln γ0		−	W	ln γ = ln γ0 −	W	.
	+ln exp				2kT
			2kT

Тоді

ln γ1	= ln γ0	−		W	,		(2)
			2kT1
ln γ2 = ln γ0 −				W		.	(3)
				2kT2

Віднімемо співвідношення (2) від (3) та отримаємо

	ln γ2 −ln γ1 =	W		1	−	1
							.
		2k				T2
			T1

146

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

Тоді ширину забороненої зони кремнію можна визначити з виразу

W = 2k ( ln γ2 γ1 ). 1 T1 −1 T2

Підставимо числові значення фізичних величин та виконаємо розрахунки

W = 2 1,38 10−23 ( ln (409519) ) =1,78 10−19 (Дж)=1,11(еВ). 1 600 −1 1200

Відповідь: W =1, 78 10−19 (Дж)=1,11(еВ).

Приклад 23.5 У скільки разів зміниться при підвищенні температури від Т1 =300 К до Т2 =310 К електропровідність

власного напівпровідника, ширина забороненої зони якого дорівнює W = 0,3еВ.

Розв’язання

W −?

Т1 = 300 К, Т2 = 310 К,

W = 0,3еВ = 0,3 1, 6 10−19 Дж, k =1,38 10−23 ДжК.

147

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

Залежність питомої електропровідності власного напівпровідника від температури визначається за формулою

γ =γ0		−	W	,	(1)
	exp
			2kT
де W - ширина забороненої зони матеріалу; γ0					- стала, на

значення якої температура практично не впливає; k - стала Больцмана.

Тоді для двох різних температур отримаємо:

	γ1	=γ0		−	W
			exp					,
					2kT1
	γ2	=γ0		−	W
			exp				.
					2kT2

Звідки

γ

0 exp −

W

γ

2kT

W

1

1

2

=

2

= exp

−

.

W

2k

γ1

γ

−

T1

T2

0

exp

2kT1

Підставимо числові значення фізичних величин та виконаємо обчислення

148

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

γ

2

= exp

0,3 1,6 10−19

1

−

1

=1, 21.

2 1,38 10

−23

300

310

γ1

Відповідь:

γ2

=1, 21, питома

електропровідність збіль-

γ1

шиться у 1,21 разу.

149

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ

23.1 У скільки разів зміниться середня енергія <ε> квантового осцилятора, що припадає на один ступінь вільності, при підвищенні температури від T1 =θE 2 до T2 =θE ? Врахувати нульову

енергію.

Відповідь: у 3,74 разу.

23.2 Користуючись теорією теплоємності Ейнштейна, визначити зміну UM молярної внутрішньої енергії кристала при нагрі-

ванні його від нуля до T1 = 0,1θE . Характеристична температура Ейнштейна дорівнює θE =300 K .

Відповідь: UM =340 Джмоль.

23.3 Визначити максимальну частоту ωmax власних коливань у

кристалі золота за теорією Дебая. Характеристична температура θD дорівнює 180 К.

Відповідь: ωmax = 2,36 1013 c−1 .

23.4 Користуючись теорією теплоємності Дебая, визначити зміну UM молярної внутрішньої енергії кристала при нагріванні

його від нуля до T = 0,1θE . Характеристична температура Дебая для даного кристала дорівнює θD = 300 K . Вважати T <<θD .

Відповідь: UM =14, 6 кДж.

23.5 Знайти відношення θE θD характеристичних температур

Ейнштейна і Дебая.

Примітка: Використати вирази для нульової енергії за теоріями Ейнштейна і Дебая

Відповідь: θE θD =3 4 .

23.6 Визначити відношення <W ><WT >середньої енергії кван-

тового осцилятора до середньої енергії теплового руху молекул ідеального газу при температурі T =θE .

150

23 ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА

Відповідь: <ε ><εT > =1,16 .

23.7 Розрахувати, використовуючи теорію Дебая, молярну нульову енергію UM 0 кристала міді. Характеристична температура

θD міді дорівнює 320 К.

Відповідь: UM 0 = 2,99 MДж.
23.8 Швидкість поперечних		пружних хвиль у алюмінії
- v =3131 м с, поздовжніх - v		= 6400 м с. Визначити темпера-
туру Дебая θD	для алюмінію.
Відповідь: θD	= 410 K .

23.9 Нижче наведені значення швидкості поперечних хвильv , швидкості поздовжніх хвиль v і концентрація n атомів для:

а) берилію; б) срібла; в) свинцю. Визначити температуру Дебая θD для цих металів.

Метал	v , м с	v , м с	n,1023 м−3
Берилій	8830	12550	1,23
Срібло	1590	3600	0,586
Свинець	700	2160	0,328

Відповідь: а) θD =1420 K ; б) θD = 208 K ; в) θD = 76 K .

23.10 Визначити енергію U0 нульових коливань охолодженого

до затвердіння одного моля аргону (температура Дебая

θD =92 K ).

Відповідь: U0 =860 Дж.

151