Интегрирование рациональных функций

Задача 4. Разложить данные дроби на простейшие:

Решение. Для представления правильных дробей в виде суммы простейших дробей следует использовать схему разложения правильной дроби на простейшие дроби

Задача 5. Найти интегралы

Решение. а) Для нахождения данного интеграла следует разложить подынтегральную функцию на слагаемые, деля числитель почленно на знаменатель. Затем проинтегрировать каждое слагаемое отдельно, воспользовавшись таблицей интегралов:

б) Дробь, стоящая под знаком интеграла – неправильная, поэтому сначала требуется выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель углом, затем проинтегрировать полученную сумму:

в) Интегрирование начать с разложения знаменателя на множители, затем воспользоваться схемой разложения дроби на простейшие:

Для нахождения коэффициентов A, B, C воспользоваться методом частных значений:

Тогда:

г) Нахождение интеграла следует начать с выделения полного квадрата в знаменателе:

Интегрирование тригонометрических функций

Задача 6. Найти интегралы:

Решение. а) Интегралы вида берутся с помощью подстановки. Для этого от функции, стоящей в нечетной положительной степени отделить множитель и кофункцию для него обозначить новой переменной.

б) Интегралы вида где числаm и n четные положительные берутся понижением степени синуса и косинуса по формулам

в) Интегралы вида берутся с помощью подстановки соответственно

Определенный интеграл

Методы замены переменной и интегрирования по частям

в определенном интеграле

Задача 7. Вычислить интегралы:

Решение. а) Использовать метод замены переменной:

б) Использовать метод интегрирования по частям:

Несобственный интеграл

Задача 8. Исследовать несобственные интегралы на сходимость. В случае их сходимости вычислить: Решение.

следовательно, интеграл расходится.

б) При , то есть при приближенииx к нижнему пределу интегрирования, подынтегральная функция неограниченно возрастает, а в самой точкетерпит разрыв. Промежуток непрерывности для данной функции будет иметь вид:

)

1

Тогда

следовательно, интеграл расходится.

Приложения определенного интеграла

Задача 9. Пользуясь однократным интегралом, вычислить площадь области, ограниченной линиями:

Решение. Начать следует с построения области, площадь которой требуется найти.

1. ‑гипербола, ‑ ось Ох, ‑ прямые параллельные оси Оу (рис.1).

Рис.1

Так как область интегрирования прилегает к оси Ох, то для нахождения площади области следует воспользоваться формулой где‑ уравнение линии, ограничивающей область сверху. Тогда

2) ‑ парабола, которая пересекает ось Ох в точках , и имеет вершину в точке,– прямая, являющаяся биссектрисой 1 и 3 координатных углов (рис.2).

Рис.2

Так как область заключена между двумя линиями, то для нахождения её площади следует воспользоваться формулой

уравнение линии, ограничивающей область сверху, а снизу. Для нахождения пределов интегрирования нужно найти абсциссы точек пересечения параболы и прямой, решив совместно эти уравнения.

Задача 10. Решить задачу:

а) Скорость движения точки м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

б) При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?

Решение. а) Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от

t₁ до t₂, вычисляется по формуле

Скорость точки равна нулю в момент начала движения и в момент остановки. Для нахождения момента остановки точки надо решить уравнение:

откуда Тогда

б) Работа, произведенная переменной силой при перемещении по осиматериальной точки отдонаходится по формулеПри решении задачи используетсязакон Гука F=kx, где F- сила (в Н), х- абсолютное удлинение (в м), вызванное силой F, а k-коэффициент пропорциональности ( в Н/м).

Зная величину сжатия пружины (0,05 м) и произведенную при этом работу (25 Дж), воспользоваться формулой работы:

откуда (Н/м). Теперь по этой же формуле найти: