ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

17.8. Упражнения и задачи

563

Этот взгляд на коинтеграцию развили в 1988 г. Сток и Уотсон: пусть есть k интегрированных переменных, которые коинтегрированы. Тогда каждая из этих переменных может быть записана как стационарная компонента плюс линейная комбинация меньшего количества общих трендов.

17.8. Упражнения и задачи

Упражнение 1

Сгенерируйте 20 марковских процессов xt = ϕxt−1 + εt при различных коэффициентах авторегрессии: а) ϕ = 0.1; б) ϕ = 0.9; в) ϕ = 1; г) ϕ = 1.02. В качестве ошибки используйте нормально распределенный белый шум с единичной дисперсией и возьмите x0 = 0.

1.1.Изобразите графики для всех 20 рядов для каждого из четырех случаев. Какой вывод можно сделать?

1.2.Рассчитайте для каждого из четырех случаев дисперсию значений соответствующих 20 рядов, рассматривая их как выборку для t = 1, . . . , 100. Нарисуйте график дисперсии по времени для всех четырех случаев. Сделайте выводы.

1.3.Оцените для всех рядов авторегрессию первого порядка и сравните распределения оценок для всех 4 случаев с истинными значениями. Сделайте выводы.

Упражнение 2

Покажите эффект ложной регрессии для переменных I(1) с помощью метода Монте-Карло. Сгенерируйте по 100 рядов xt и zt по модели случайного блуждания:

xt = xt−1 + εt и zt = zt−1 + ξt,

где ошибки εt N (0, 1) и ξt N (0, 1) неавтокоррелированы и некоррелированы друг с другом.

2.1. Оцените для всех 100 наборов данных регрессию xt по константе и zt:

xt = azt + b + ut.

Рассчитайте соответствующие статистики Стьюдента для коэффициента a и проанализируйте выборочное распределение этих статистик. В скольки

564	Интегрированные процессы...

процентах случаев нулевая гипотеза (гипотеза о том, что коэффициент равен нулю) отвергается, если использовать стандартную границу t-распределения

суровнем доверия 95%? Найдите оценку фактической границы уровня доверия 95%.

2.2.Проанализируйте для тех же 100 регрессий выборочное распределение коэффициента детерминации.

2.3.Возьмите пять первых наборов данных и проверьте ряды на наличие единичных корней с помощью теста Дики—Фуллера.

2.4.Повторите упражнения 2.1, 2.2 и 2.3, сгенерировав данные xt и zt по стационарной модели AR(1) с авторегрессионным коэффициентом 0.5 и сравните

сполученными ранее результатами. Сделайте выводы.

Упражнение 3

Сгенерируйте 100 рядов по модели случайного блуждания с нормально распределенным белым шумом, имеющим единичную дисперсию. Проверьте с помощью сгенерированных данных одно из значений в таблице статистики Дики—Фуллера.

Упражнение 4

Рассмотрите данные из таблицы 15.3 на стр. 520.

4.1.Преобразуйте ряды, перейдя к логарифмам, и постройте их графики. Можно ли сказать по графику, что ряды содержат единичный корень?

4.2.Проверьте формально ряды на наличие единичных корней с помощью дополненного теста Дики—Фуллера, включив в регрессии линейный тренд и 4 лага разностей.

4.3.Используя МНК, оцените параметры модели Ct = αYt + β + εt, вычислите остатки из модели. К остатком примените тест Энгла—Грэйнджера.

4.4.Используя коэффициенты из упражнения 4.3, оцените модель исправления ошибок с четырьмя лагами разностей.

Задачи

1.Задан следующий процесс: xt = 0.8xt−1 + 0.2xt−2 + εt −0.9εt−1 . При каком d процесс ∆dxt будет стационарным?

17.8. Упражнения и задачи

565

2.Изобразите графики автокорреляционной функции и спектра для второй разности стохастического процесса, содержащего квадратический тренд.

3.Дан процесс xt = ft + εt , ft = ft−1 + νt, где εt N(0, 2) и νt N(0, 1). Определить тип процесса, перечислить входящие в его состав компоненты и вычислить условное математическое ожидание и условную дисперсию процесса xt.

4.Чем отличается стохастический тренд от обычного линейного тренда с точки зрения устранения проблемы ложной регрессии?

5.	Процессы xt и yt	заданы уравнениями xt = αxt−2 + εt и yt = βxt +
	+ ξt + γξt−1 , где εt		и ξt — стационарные процессы. При каких условиях
	на параметры α, β и γ можно было бы сказать, что xt и yt коинтегрированы
	как CI(1, 0)?
6.	Известно, что zt =		t
			i=1 xi , где xi — процесс случайного блуждания,

а yt = εt + 0.5εt−1 + 0.25εt−2 + 0.125εt−3 + . . . . Можно ли построить регрессию zt от yt? Ответ обосновать.

7.Пусть xt = ε + bxt−1 + εt , где εt N(0, 1) и b 1, а zt — стохастический процесс, содержащий линейный тренд. Можно ли установить регрессионную связь между xt и zt ? Если да, то как?

8.Получены оценки МНК в регрессии xt = ϕxt−1 + εt. Приведите вид статистики, используемой в тесте Дики—Фуллера.

9.Правомерно ли построение долгосрочной зависимости yt по xt, если yt — процесс случайного блуждания с шумом, xt — процесс случайного блуждания с дрейфом? Если нет,— ответ обосновать. Если да, — изложить этапы построения регрессии с приведением формул, соответствующих каждому этапу.

10.В чем преимущества дополненного теста Дики—Фуллера по сравнению с обычным DF-тестом? Привести формулы.

Рекомендуемая литература

1.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс.— М.: «Дело», 2000 (гл. 12 — стр. 240–249).

2.Banerjee A., Dolado J.J., Galbraith J.W. and Hendry D.F., Co-integration, Error Correction and the Econometric Analysis of Non-stationary Data, Oxford University Press, 1993 (гл. 3–5)

566	Интегрированные процессы...

3.Davidson, R., and J.G. MacKinnon. Estimation and Inference in Econometrics. Oxford University Press, 1993 (Гл. 20.)

4.Dickey, D.A. and Fuller W.A., «Distributions of the Estimators for Autoregressive Time Series With a Unit Root», Journal of American Statistical Association, 75 (1979), 427–431.

5.Enders, W. Applied Econometric Time Series. John Wiley & Sons, 1995.

6.Engle, R.F. and Granger C.W.J., «Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing», Econometrica, 55 (1987), 251–276.

7.Granger, C.W.J., and Newbold P. «Spurious Regressions in Econometrics», Journal of Econometrics, 21 (1974), 111–120.

8.Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (гл.18 — стр. 776– 784)

9.Said, E.S. and Dickey D.A., «Testing for Unit Roots in Autoregressive-Moving Average Models of Unknown Order», Biometrica, 71 (1984), 599–607.

10.Stock, J.H. and Watson M.W., «Testing for Common Trends», Journal of the American Statistical Association, 83 (1988), 1097–1107.

11.Stock, J.H., «Asymptotic Properties of Least Squares Estimators of Cointegrating Vectors», Econometrica, 55 (1987), 1035–1056.

12.Wooldridge Jeffrey M. Introductory Econometrics: A Modern Approach, 2nd ed., Thomson, 2003. (Ch. 18).

Часть IV

Эконометрия — II

567

Это пустая страница

Глава 18

Классические критерии проверки гипотез

18.1.Оценка параметров регрессии при линейных ограничениях

Рассмотрим модель линейной регрессии X = Zα + ε в случае, когда известно, что коэффициенты α удовлетворяют набору линейных ограничений

Rα = r,

где R — матрица размерности k×(n+1), а r — вектор свободных частей ограничений длины k. Метод наименьших квадратов для получения более точных оценок в этом случае следует модифицировать, приняв во внимание ограничения. Оценки наименьших квадратов при ограничениях получаются из задачи условной минимизации:

(X − Zα) (X − Zα) → min!

α

Rα = r.

Запишем для этой задачи функцию Лагранжа:

L = (X − Zα) (X − Zα) + 2λ (Rα − r),

570	Глава 18. Классические критерии проверки гипотез

где λ — вектор-столбец множителей Лагранжа. Возьмем производные (см. Приложение A.2.2):

∂L∂λ = −2(Rα − r),

∂L = −2(Z (X − Zα) − R λ). ∂α

Следовательно, оценки наименьших квадратов при ограничениях, a1 , находятся из уравнений:

Ra1 − r = 0,

Z (X − Za1) − R λ = 0.

Умножим второе уравнение слева на (Z Z)−1. Получим a1 = Z Z −1 Z X − Z Z −1 R λ.

Пусть a0 — оценки α без учета ограничений, то есть a0 = (Z Z)−1 Z X . Тогда

a = a	0 −	Z Z −1 R λ.			(18.1)
1
Если умножим это уравнение слева на R, то получим
R Z Z	−1 R λ = Ra		0 −	r.

Отсюда

λ = A−1 (Ra0 − r) ,

где мы ввели обозначение A = R (Z Z)−1 R . Это можно проинтерпретировать следующим образом: чем сильнее нарушается ограничение на оценках из регрессии без ограничений, тем более значимы эти ограничения. Подставим множители Лагранжа обратно в уравнение (18.1):

a	= a	−	Z Z	−1 R A−1 (Ra	0	−	r) .	(18.2)
1	0

Таким образом, оценки a1 и a0 различаются тем сильнее, чем сильнее нарушается ограничение Rα = r в точке a0, т.е. чем больше невязки Ra0 − r.

Докажем несмещенность оценок. Для этого в выражении для a везде заменим a¯ на

Z Z −1 Z X = Z Z −1 Z (Zα + ε) = Z Z −1 Z (Zα + ε) = α + Z Z −1 Z ε.

18.1. Оценка параметров регрессии при линейных ограничениях							571
Получим
a = α + Z Z −1	Z ε	−	Z Z −1	R A−1	Rα + R Z Z −1 Z ε	−	r .
1

При выполнении нулевой гипотезы Rα = r можем упростить это выражение:
a	= α + Z Z −1	Z ε	−	Z Z −1	R A−1R Z Z −1 Z ε =
	1				= α + I		Z Z −1 R A−1R Z Z −1	Z
						−			ε.

Но по предположению классической модели регрессии E(ε) = 0, следовательно, математическое ожидание второго слагаемого здесь равно нулю. А значит, E(a1) = α. Несмещенность оценки a1 доказана.

Величина I − (Z Z)−1 R A−1R (Z Z)−1 Z ε представляет собой отличие a1 от α.

Найдем теперь ковариационную матрицу оценок a. После преобразований получаем

cov(a ) = E (a	1 −	α)(a	1 −	α)	= σ2	I	−	Z Z −1	R A−1R Z Z −1 ,
1

где используется еще одно предположение модели регрессии — отсутствие автокорреляции и гетероскедастичности в ошибках, т.е. E(εε ) = σ2I .

В то же время cov(a0) = σ2 (Z Z)−1 . Таким образом, ковариационные матрицы оценок различаются на положительно (полу-) определенную матрицу σ2 (Z Z)−1 R A−1R (Z Z)−1 , что можно интерпретировать в том смысле, что оценки a являются более точными, чем a¯, поскольку учитывают дополнительную информацию о параметрах.

Насколько отличаются между собой суммы квадратов остатков в двух рассматриваемых моделях? Ясно, что в регрессии с ограничениями сумма квадратов не может быть ниже (так как минимизируется та же функция при дополнительных ограничениях). Вычислим разность между двумя суммами квадратов остатков.

Пусть e0 = X − Za0 — вектор остатков при оценке параметров регрессии без ограничений, а e1 = X − Za1 — вектор остатков при оценке параметров с ограничениями, и пусть RSS(a0) = e1e1, RSS(a0) = e0e0 — соответствующие суммы квадратов остатков. Из (18.2) получаем

X − Za1 = X − Za0 + Z Z Z −1 R A−1 (Ra0 − r) ,

или

e1 = e0 + Z Z Z −1 R A−1 (Ra0 − r) .

572	Глава 18. Классические критерии проверки гипотез
Введем обозначение: δ = Z (Z Z)−1 R A−1 (Ra0 − r), тогда
			e1 = e0 + δ.
Поскольку Z e0 = 0, то δ e0 = 0. Следовательно,
	e1e1 = e0e0 + δ e0 + e0δ + δ δ = e0e0 + δ δ.
Здесь
δ δ = Z Z Z	−1 R A−1 (Ra	0 −	r)	Z Z Z −1 R A−1		(Ra	0 −	r) =
		= (Ra		0 −	r) A−1R Z Z	−1 R A−1 (Ra			0 −	r) ,

или, учитывая определение матрицы A,

δ δ = (Ra0 − r) A−1 (Ra0 − r) .

Итак,

RSS(a1) − RSS(a0) = e1e1 − e0e0 = (Ra0 − r) A−1 (Ra0 − r) .

Как и следовало ожидать, эта разность оказывается неотрицательной.

18.2. Тест на существенность ограничения

Пусть, как и раньше,

e0 — вектор остатков в регрессии без ограничений, e1 — вектор остатков в регрессии с ограничениями,

N — число наблюдений, n — количество факторов,

k— общее количество ограничений на параметры регрессии.

Вслучае, если ограничения Rα = r выполнены, то

F c =	(e1e1 − e0e0)/k						F	k, N −n−1	.	(18.3)
	e e0/(N	−	n	−	1)
	0

Иными словами, статистика, равная относительному приросту суммы квадратов остатков в регрессии с ограничениями по сравнению с регрессией без ограничений, скорректированному на степени свободы, имеет распределение Фишера (см. Приложение A.3.2). Чем больше RSS(a1) будет превышать RSS(a0), тем более существенно ограничение и тем менее правдоподобно, что ограничение выполнено.