ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

23.7. Метод Йохансена				673
где		1/2	c.
	c = Mpp

Напомним еще раз, что β определяется только с точностью до некоторой нормировки. Мы уже использовали нормировку β Mppβ = Ir , которая выбрана из соображений удобства вычислений. Однако нормировку предпочтительнее выбирать, исходя из экономической теории рассматриваемых процессов. Поэтому следует умножить полученную оценку β справа на квадратную неособенную r × r матрицу, которая бы привела коинтеграционные вектора к более удобному для экономической интерпретации виду.

После того как найдена оценка максимального правдоподобия для β, вычисляются оценки других параметров. Для этого можно использовать в обратном порядке все те подстановки, которые мы сделали при упрощении задачи максимизации функции правдоподобия. Можно также использовать эквивалентную процедуру: сразу получить оценки α и Γj , применив метод наименьших квадратов к исходной регрессии.

Для проверки гипотез о ранге коинтеграции r используется статистика отношения правдоподобия. Пусть нулевая гипотеза состоит в том, что ранг коинтеграции равен r0, а альтернативная гипотеза — что ранг коинтеграции равен ra ( ra > r0 ). Обозначим максимальное значение функции правдоподобия, полученное в предположении, что ранг равен r, через Lr . Тогда статистика отношения правдоподобия равна (см. раздел 18.3.3):

LR(r0, ra) = 2(ln Lra − ln Lr0 ).

Подставив в функцию правдоподобия полученные оценки, можно вывести следующее выражение для максимального значения логарифма функции правдоподобия (с точностью до константы):

	T r
ln Lr = −		i=1 ln(1 − λi) + const.
	2
Поэтому
LR(r0, ra) = −T			ra
			ln(1 − λi).
			i=r0+1

Особенно полезны с точки зрения поиска коинтеграционного ранга два частных случая статистики отношения правдоподобия.

Статистика следа используется для проверки нулевой гипотезы о том, что ранг коинтеграции равен r, против альтернативной гипотезы о том, что ранг равен k (количеству переменных). Статистика имеет вид:

LRtrace = LR(r, k) = −T	k
	ln(1 − λi).
	i=r+1

674	Глава 23. Векторные авторегрессии

Проверка гипотез проводится последовательно для r = k − 1, . . . , 0 и заканчивается, когда в первый раз не удается отклонить нулевую гипотезу. Можно проводить проверку гипотез и в обратном порядке r = 0, . . . , k − 1. В этом случае она заканчивается, когда нулевая гипотеза будет отвергнута в первый раз.

Можно также использовать статистику максимального собственного значения, которая используется для проверки нулевой гипотезы о том, что ранг равен r, против альтернативной гипотезы о том, что ранг равен r + 1. Эта статистика равна:

LRλ−max = LR(r, r + 1) = − ln(1 − λr+1).

Обе статистики имеют нестандартные асимптотические распределения. Эти асимптотические распределения не зависят от мешающих параметров, а зависят только от k −r, и от того, как входят в модель константа и тренд (см. перечисленные на стр. 668 пять основных случаев).

Методом Монте-Карло получены таблицы LRtrace и LRλ−max для всех пяти случаев и нескольких значений k − r (на данный момент имеются таблицы для k − r = 1, . . . , 12). Также в последние годы разрабатываются различного рода аппроксимации для этих нестандартных распределений.

Как и в случае критерия ADF (см. п. 17.4), очень важным вопросом является выбор длины лага p (порядка авторегрессии). Способы, по сути дела, являются теми же самыми. Для проверки гипотез о длине лага можно использовать критерий отношения правдоподобия, который в данном случае имеет обычное распределение χ2 . Если процесс состоит из k компонент, и проверяется гипотеза о том, что следует увеличить p на единицу, то количество степеней свободы соответствующей статистики равно k. Важно также, чтобы в выбранной модели отсутствовала автокорреляция остатков, поскольку это одно из предположений модели.

Метод Йохансена можно использовать также для оценивания моделей с линейными ограничениями на матрицу коинтегрирующих векторов β или на матрицу корректирующих коэффициентов α. Для проверки таких ограничений удобно использовать все тот же тест отношения правдоподобия, который здесь имеет обычное асимптотическое распределение χ2.

23.8. Коинтеграция и общие тренды

Рассмотрим модель VAR(1) с интегрированными переменными и ее представление в виде модели исправления ошибок:

∆xt = xt−1βα + vt.

(23.7)

Поскольку матрица β состоит из коинтегрирующих векторов, то отклонения от равновесия xtβ являются I(0), и для них существует разложение Вольда. Выведем

23.8. Коинтеграция и общие тренды

675

его. Для этого сначала умножим уравнение модели на β:

∆xtβ = xt−1βα β + vtβ,

откуда:

xtβ = xt−1β(α β + I) + vtβ.

Имеем для стационарного вектора xtβ авторегрессию, из которой можем представить xtβ в виде бесконечного скользящего среднего (разложение Вольда):

∞

xtβ = vt−iβ(α β + I)i.

i=0

Подставив это выражение в исходную модель (23.7), получим также разложение Вольда для приростов ∆xt:

∞

∆xt = vt−iβ(α β + I)i−1α + vt,

i=1

или

∞

∆xt = vt−iCi = vtC(L),

i=0

где мы ввели обозначения Ci для матричных коэффициентов скользящего среднего. Несложно подсчитать, пользуясь формулой бесконечной геометрической прогрессии, что соответствующий долгосрочный мультипликатор равен

		C(1) = I	−	β(α β)−1	α .	(23.8)
Обозначим C =	∞	Ci и C (L) = ∞ C Li. При этом выполнено следующее
i	−j=i+1		i=0 i

разложение для C(L):

C(L) = ∆C (L) + C(1).

Кроме того, можно показать, что C (L) соответствует стационарному процессу. Все это позволяет разделить процесс ∆xt на сумму двух составляющих:

∆xt = ∆vtC (L) + vtC(1).
Следовательно, xt можно представить следующим образом:
xt = vtC (L) + vt C(1),	(23.9)

676	Глава 23. Векторные авторегрессии

где vt — это векторный процесс случайного блуждания, построенный на основе vt (проинтегрированный vt): vt = ∆vt .

Первое слагаемое в разложении xt (23.9) стационарно, а второе представляет собой линейную комбинацию процессов I(1).

Если воспользоваться тождеством

I = α (β α )−1β + β(α β)−1α ,

где α и β — это (k − r) × k матрицы полного ранга, такие что α α = 0 и β β = 0, то матрицу C(1), опираясь на (23.8), можно представить как

C(1) = α (β α )−1β .

Таким образом, процесс xt можно представить в виде6: xt = vtC (L) + vt α (β α )−1β .

Элементы вектора vt α являются общими стохастическими трендами. Отсюда видно, что k-мерный VAR-процесс с рангом коинтеграции r можно выразить через k − r линейно независимых общих трендов. Матрица (β α )−1β содержит коэффициенты («нагрузки») этих общих трендов.

Представление через общие тренды служит основой для еще одного метода оценивания коинтеграционных регрессий — метода Стока—Уотсона.

23.9. Упражнения и задачи

Упражнение 1

Втаблице 23.2 приведены данные о потребительских расходах C и доходах Y

вСША в млрд. долл., очищенные от сезонности.

1.1.Нарисуйте график потребления и доходов. Что можно сказать об этих рядах по графикам?

1.2.Создайте первые разности логарифмов для обоих рядов. Нарисуйте график и сделайте выводы.

1.3.Предположим, что существует структурная зависимость между потреблением и доходами. А именно, потребление C зависит от текущих доходов и, вследствие привычек, от лагов потребления:

Ct = α1 + α2Yt + α3Ct−1 + εCt .

6Это так называемое разбиение на цикл и тренд Бевериджа—Нельсона (см. п. 17.2).

23.9. Упражнения и задачи

677

Таблица 23.2. (Источник: Temple University Department of Economics Econometrics II Multivariate Time Series;

)

Квартал	C	Y		Квартал	C	Y		Квартал	C
1947.1	192.5	202.3		1952.1	220	231.1		1957.1	268.9	291.1
1947.2	196.1	197.1		1952.2	227.7	240.9		1957.2	270.4	294.6
1947.3	196.9	202.9		1952.3	223.8	245.8		1957.3	273.4	296.1
1947.4	197	202.2		1952.4	230.2	248.8		1957.4	272.1	293.3
1948.1	198.1	203.5		1953.1	234	253.3		1958.1	268.9	291.3
1948.2	199	211.7		1953.2	236.2	256.1		1958.2	270.9	292.6
1948.3	199.4	215.3		1953.3	236	255.9		1958.3	274.4	299.9
1948.4	200.6	215.1		1953.4	234.1	255.9		1958.4	278.7	302.1
1949.1	199.9	212.9		1954.1	233.4	254.4		1959.1	283.8	305.9
1949.2	203.6	213.9		1954.2	236.4	254.8		1959.2	289.7	312.5
1949.3	204.8	214		1954.3	239	257		1959.3	290.8	311.3
1949.4	209	214.9		1954.4	243.2	260.9		1959.4	292.8	313.2
1950.1	210.7	228		1955.1	248.7	263		1960.1	295.4	315.4
1950.2	214.2	227.3		1955.2	253.7	271.5		1960.2	299.5	320.3
1950.3	225.6	232		1955.3	259.9	276.5		1960.3	298.6	321
1950.4	217	236.1		1955.4	261.8	281.4		1960.4	299.6	320.1
1951.1	223.3	230.9		1956.1	263.2	282
1951.2	214.5	236.3		1956.2	263.7	286.2
1951.3	217.5	239.1		1956.3	263.4	287.7
1951.4	219.8	240.8		1956.4	266.9	291

В свою очередь, текущие доходы зависят от лагов доходов (из-за инерции) и от лагов потребления (по принципу мультипликатора):

Yt = β1 + β2Yt−1 + β3Ct−1 + εYt .

Оцените параметры структурной формы модели при помощи МНК по исходным данным. Затем проделайте то же самое, используя преобразованные данные из пункта 1.2 (разности логарифмов). Объясните, имеют ли два полученных набора оценок одинаковый смысл. Какие оценки предпочтительнее

и почему?

1.4.Перепишите модель в приведенной форме. Укажите взаимосвязь между коэффициентами структурной и приведенной форм. Оцените приведенную форму модели по исходным данным и по преобразованным данным. Какие оценки предпочтительнее и почему?

678	Глава 23. Векторные авторегрессии

1.5.Добавьте еще по одному лагу в оба уравнения приведенной формы. Оцените коэффициенты по исходным данным и по преобразованным данным и проведите тесты причинности по Грейнджеру. Что можно сказать о направлении причинности по полученным результатам?

1.6.Проверьте ряды на наличие единичных корней, используя тест Дики— Фуллера.

1.7.Примените к исходным данным и к логарифмам исходных данных метод Йохансена, используя в модели 4 лага разностей.

Упражнение 2

В таблице 23.3 даны макроэкономические показатели по США (поквартальные данные получены на основе помесячных данных): Infl — темп инфляции, рассчитанный по формуле: 400(ln(CPIt) − ln(CPIt−1)), где CPI — индекс потребительских цен, т.е. логарифмический темп прироста цен в процентах из расчета за год; UnRate — уровень безработицы (процент населения); FedFunds — эффективная процентная ставка по межбанковским краткосрочным кредитам овернайт (в процентах годовых).

2.1.Оцените параметры векторной авторегрессии 4-го порядка, предполагая, что текущая инфляция влияет на текущую безработицу и процентную ставку, а текущая безработица влияет на текущую процентную ставку (рекурсивная система).

2.2.Оцените модель в приведенной форме, пропуская последнее наблюдение, и получите точечный прогноз на один период. Сравните прогнозы с фактическими значениями.

Упражнение 3

В таблице 23.4 приведены данные из статьи Турмана и Фишера, посвященной вопросу о том, что первично — куры или яйца. Это годовые данные по США за 1930–1983 гг. о производстве яиц в миллионах дюжин и о поголовье кур (исключая бройлерные).

3.1.Проведите тест причинности по Грейнджеру между двумя рядами. Сделайте выводы относительно направления причинности.

3.2.Для каждого ряда проведите тест Дики—Фуллера на наличие единичных корней, используя лаги от 0 до 12. Выберите нужную длину лага, используя

23.9. Упражнения и задачи

679

Таблица 23.3. (Источник: The Federal Reserve Bank of St. Louis, database FRED II,

)

Квартал	Infl	UnRate	FedFunds
1954–3	–1.490	5.967	1.027
1954–4	0.000	5.333	0.987
1955–1	0.000	4.733	1.343
1955–2	–1.495	4.400	1.500
1955–3	2.985	4.100	1.940
1955–4	0.000	4.233	2.357
1956–1	0.000	4.033	2.483
1956–2	4.436	4.200	2.693
1956–3	2.930	4.133	2.810
1956–4	2.909	4.133	2.927
1957–1	4.324	3.933	2.933
1957–2	2.857	4.100	3.000
1957–3	2.837	4.233	3.233
1957–4	2.817	4.933	3.253
1958–1	5.575	6.300	1.863
1958–2	0.000	7.367	0.940
1958–3	0.000	7.333	1.323
1958–4	1.382	6.367	2.163
1959–1	0.000	5.833	2.570
1959–2	1.377	5.100	3.083
1959–3	2.740	5.267	3.577
1959–4	1.363	5.600	3.990
1960–1	0.000	5.133	3.933
1960–2	2.712	5.233	3.697
1960–3	0.000	5.533	2.937
1960–4	2.694	6.267	2.297
1961–1	0.000	6.800	2.003
1961–2	0.000	7.000	1.733
1961–3	2.676	6.767	1.683
1961–4	0.000	6.200	2.400
1962–1	2.658	5.633	2.457
1962–2	0.000	5.533	2.607
1962–3	2.640	5.567	2.847

Квартал	Infl	UnRate	FedFunds
1962–4	0.000	5.533	2.923
1963–1	1.314	5.767	2.967
1963–2	1.309	5.733	2.963
1963–3	1.305	5.500	3.330
1963–4	2.597	5.567	3.453
1964–1	0.000	5.467	3.463
1964–2	1.292	5.200	3.490
1964–3	1.288	5.000	3.457
1964–4	2.564	4.967	3.577
1965–1	0.000	4.900	3.973
1965–2	3.816	4.667	4.077
1965–3	0.000	4.367	4.073
1965–4	3.780	4.100	4.167
1966–1	3.744	3.867	4.557
1966–2	2.477	3.833	4.913
1966–3	4.908	3.767	5.410
1966–4	1.218	3.700	5.563
1967–1	1.214	3.833	4.823
1967–2	3.620	3.833	3.990
1967–3	3.587	3.800	3.893
1967–4	4.734	3.900	4.173
1968–1	3.514	3.733	4.787
1968–2	4.638	3.567	5.980
1968–3	4.585	3.533	5.943
1968–4	5.658	3.400	5.917
1969–1	5.579	3.400	6.567
1969–2	5.502	3.433	8.327
1969–3	5.427	3.567	8.983
1969–4	6.417	3.567	8.940
1970–1	6.316	4.167	8.573
1970–2	5.188	4.767	7.880
1970–3	4.103	5.167	6.703
1970–4	6.076	5.833	5.567

680	Глава 23. Векторные авторегрессии

Таблица 23.3. (продолжение)

Квартал	Infl	UnRate	FedFunds
1971–1	2.005	5.933	3.857
1971–2	4.969	5.900	4.563
1971–3	2.952	6.033	5.473
1971–4	2.930	5.933	4.750
1972–1	2.909	5.767	3.540
1972–2	2.888	5.700	4.300
1972–3	3.819	5.567	4.740
1972–4	3.783	5.367	5.143
1973–1	8.382	4.933	6.537
1973–2	7.306	4.933	7.817
1973–3	8.949	4.800	10.560
1973–4	9.618	4.767	9.997
1974–1	12.753	5.133	9.323
1974–2	9.918	5.200	11.250
1974–3	12.853	5.633	12.090
1974–4	10.147	6.600	9.347
1975–1	6.877	8.267	6.303
1975–2	5.268	8.867	5.420
1975–3	8.141	8.467	6.160
1975–4	7.260	8.300	5.413
1976–1	2.867	7.733	4.827
1976–2	4.969	7.567	5.197
1976–3	6.299	7.733	5.283
1976–4	5.517	7.767	4.873
1977–1	8.136	7.500	4.660
1977–2	5.995	7.133	5.157
1977–3	5.255	6.900	5.820
1977–4	6.473	6.667	6.513
1978–1	7.001	6.333	6.757
1978–2	9.969	6.000	7.283
1978–3	9.126	6.033	8.100
1978–4	8.334	5.900	9.583
1979–1	11.612	5.867	10.073

Квартал	Infl	UnRate	FedFunds
1979–2	12.950	5.700	10.180
1979–3	12.006	5.867	10.947
1979–4	13.220	5.967	13.577
1980–1	16.308	6.300	15.047
1980–2	11.809	7.333	12.687
1980–3	6.731	7.667	9.837
1980–4	11.745	7.400	15.853
1981–1	10.058	7.433	16.570
1981–2	8.487	7.400	17.780
1981–3	11.330	7.400	17.577
1981–4	4.274	8.233	13.587
1982–1	2.542	8.833	14.227
1982–2	9.599	9.433	14.513
1982–3	2.876	9.900	11.007
1982–4	0.000	10.667	9.287
1983–1	1.634	10.367	8.653
1983–2	5.266	10.133	8.803
1983–3	4.004	9.367	9.460
1983–4	3.964	8.533	9.430
1984–1	5.874	7.867	9.687
1984–2	3.098	7.433	10.557
1984–3	3.839	7.433	11.390
1984–4	3.045	7.300	9.267
1985–1	4.899	7.233	8.477
1985–2	2.613	7.300	7.923
1985–3	2.226	7.200	7.900
1985–4	5.147	7.033	8.103
1986–1	–1.464	7.033	7.827
1986–2	1.098	7.167	6.920
1986–3	2.188	6.967	6.207
1986–4	2.899	6.833	6.267
1987–1	5.022	6.600	6.220
1987–2	4.608	6.267	6.650

23.9. Упражнения и задачи

681

Таблица 23.3. (продолжение)

Квартал	Infl	UnRate	FedFunds
1987–3	4.207	6.000	6.843
1987–4	3.126	5.833	6.917
1988–1	3.102	5.700	6.663
1988–2	5.117	5.467	7.157
1988–3	5.053	5.467	7.983
1988–4	3.997	5.333	8.470
1989–1	4.940	5.200	9.443
1989–2	6.171	5.233	9.727
1989–3	2.250	5.233	9.083
1989–4	4.779	5.367	8.613
1990–1	7.219	5.300	8.250
1990–2	4.023	5.333	8.243
1990–3	7.927	5.700	8.160
1990–4	5.099	6.133	7.743
1991–1	1.784	6.600	6.427
1991–2	3.545	6.833	5.863
1991–3	2.930	6.867	5.643
1991–4	3.488	7.100	4.817
1992–1	2.596	7.367	4.023
1992–2	2.865	7.600	3.770
1992–3	2.845	7.633	3.257
1992–4	3.387	7.367	3.037
1993–1	2.801	7.133	3.040
1993–2	2.782	7.067	3.000
1993–3	1.936	6.800	3.060
1993–4	3.570	6.633	2.990
1994–1	2.181	6.567	3.213
1994–2	2.169	6.200	3.940
1994–3	3.769	6.000	4.487
1994–4	2.138	5.633	5.167
1995–1	2.921	5.467	5.810
1995–2	3.162	5.667	6.020
1995–3	1.833	5.667	5.797

Квартал	Infl	UnRate	FedFunds
1995–4	2.085	5.567	5.720
1996–1	4.137	5.533	5.363
1996–2	3.075	5.500	5.243
1996–3	2.545	5.267	5.307
1996–4	3.535	5.333	5.280
1997–1	1.756	5.233	5.277
1997–2	1.000	5.000	5.523
1997–3	2.489	4.867	5.533
1997–4	1.486	4.667	5.507
1998–1	0.494	4.633	5.520
1998–2	1.970	4.400	5.500
1998–3	1.716	4.533	5.533
1998–4	2.196	4.433	4.860
1999–1	0.972	4.300	4.733
1999–2	3.143	4.267	4.747
1999–3	4.073	4.233	5.093
1999–4	2.377	4.067	5.307
2000–1	5.180	4.033	5.677
2000–2	3.029	3.967	6.273
2000–3	3.007	4.067	6.520
2000–4	2.298	3.933	6.473
2001–1	3.195	4.167	5.593
2001–2	4.295	4.467	4.327
2001–3	0.449	4.833	3.497
2001–4	–1.801	5.600	2.133
2002–1	2.698	5.633	1.733
2002–2	2.903	5.833	1.750
2002–3	2.440	5.767	1.740
2002–4	1.545	5.900	1.443
2003–1	5.034	5.767	1.250
2003–2	–0.653	6.167	1.247
2003–3	3.039	6.133	1.017

682	Глава 23. Векторные авторегрессии

Таблица 23.4. (Источник: Thurman, Walter N. and Mark E. Fisher, “Chickens, Eggs, and Causality”,

American Journal of Agricultural Economics 70 (1988), p. 237–238.)

	куры	яйца			куры	яйца
1930	468491	3581		1957	391363	5442
1931	449743	3532		1958	374281	5442
1932	436815	3327		1959	387002	5542
1933	444523	3255		1960	369484	5339
1934	433937	3156		1961	366082	5358
1935	389958	3081		1962	377392	5403
1936	403446	3166		1963	375575	5345
1937	423921	3443		1964	382262	5435
1938	389624	3424		1965	394118	5474
1939	418591	3561		1966	393019	5540
1940	438288	3640		1967	428746	5836
1941	422841	3840		1968	425158	5777
1942	476935	4456		1969	422096	5629
1943	542047	5000		1970	433280	5704
1944	582197	5366		1971	421763	5806
1945	516497	5154		1972	404191	5742
1946	523227	5130		1973	408769	5502
1947	467217	5077		1974	394101	5461
1948	499644	5032		1975	379754	5382
1949	430876	5148		1976	378361	5377
1950	456549	5404		1977	386518	5408
1951	430988	5322		1978	396933	5608
1952	426555	5323		1979	400585	5777
1953	398156	5307		1980	392110	5825
1954	396776	5402		1981	384838	5625
1955	390708	5407		1982	378609	5800
1956	383690	5500		1983	364584	5656