Metodichki / Матрицы практикум1

из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение

элементов побочной диагонали.

3)Для определителя третьего порядка применяют следующее правило:

1)Правило параллельного переноса.

		a11	a12	a13	a11	a12
det A		a21	a22	a23	a21	a22
		a31	a32	a33	a31	a32		(2.3)

а11а22а33 а12а23а31 а21а32а13 а13а22а31 а21а12а33

а11а23а32.

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

2) Правило треугольника.

a11

a12

a13

a11

a12

a13

a11

a12

a13

det A

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a33

(2.4)

а11а22а33

а12а23а31 а21а32а13

а13а22а31 а21а12а33

а11а23а32.

4)Детерминантом матрицы

					a	a	...	a
	a				11	12		1n
A		ij			a21	a22	...	a2n
n n			n n			...	...	...
					...
						an2	...
					an1			ann

порядка n n, при n 1, называется число, определяемое формулой:

11

n
det A ( 1)k i aijMij		(2.5)
j 1
или
n
det A ( 1)i j aijMij		(2.6)
i 1
где Mij - определитель матрицы А, порядка		n 1, полученный
вычеркиванием из начальной матрицы i–ой	строки	и j–го столбца, и
называемый минором элемента aij матрицы А.	Формула (2.5) называется

разложением определителя по строке, формула (2.6) – разложением по столбцу.

Алгебраическим дополнением элементаaij				матрицы А, называется
произведение числа ( 1)i j на минор данного элемента и обозначается
A	( 1)i j M	ij	.	(2.7)
ij

Свойства определителя:

1)(равноправность строк и столбцов) Определитель не изменится, если поменять местами строки со столбцами (т.е. det A det AT ).

2) Перестановка двух строк определителя (или двух столбцов)

равносильна умножению определителя на ( 1). Четное количество перестановок не меняет знака определителя.

3)Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

4)Умножение всех элементов некоторой строки на число равносильно умножению определителя на число .

5)Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю.

6)Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя пропорциональны какой-нибудь другой строке (столбцу), то определитель равен нулю. (Следует из свойств 3 и 4).

12

7)(Линейное свойство определителя) Если в определителе n-го порядка

некоторая i-ая строка (ai1,ai1,...,ain ) является линейной комбинацией двух

других строк (b1,b2,...,bn ) и (c1,c2,...,cn )с коэффициентами и , то

det A det A1 det A2 ,

где det A1- определитель у которого	i-ая строка равна (b1,b2,...,bn ), а
det A2 - определитель у которого i-ая	строка равна (c1,c2,...,cn ), а все

остальные строки те же, что и у основного определителя.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1)умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2)прибавление к одной строке (столбца) другую строку (столбец);

3)перестановка строк(столбцов).

8)Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

9.)Треугольный определитель равен произведению диагональных элементов

a11	0 ...	0		a11	a12	...	а1п
a21	a22 ...	0		0	a22	...	а2п	=a	a	22	... a	nn	.
...	... ... ...			...	...	...	...	11
an1	an2 ...	апп		0	0	...	апп

нижний треугольный	верхний треугольный
определитель	определитель
Матрица Ап п -	называется невырожденной (неособенной или
несингулярной) матрицей	если det A 0. В противном случае	Ап п -

особенная (вырожденная или сингулярная).

Теорема: Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу,

вычисляемую по формуле:

13

A 1	1	Aij T .
	det A		(2.8)

Свойства обратной матрицы:

1.det A 1 (det A) 1,

2.(A 1)T (AT ) 1,

3.(AB) 1 B 1A 1 если A,B - неособенные матрицы одного порядка.

5.Практикум

1.Для данной матрицы А вычислить определитель:

1)методом параллельного переноса;

2)методом треугольника;

3)разложением по i-ой строке и по j-му столбцу;

4)вычислить, получив нулевые элементы в первом столбце используя элементарные преобразования со строками;

5)вычислить обратную матрицу A 1.

	2	1 1										3		1	1
1) А	0	4		3		,			i 2,	j 1,	2) А	2		0 2			,	i 3,	j 2;
		1		1									1	1	3
	1
	4	1	2									1 2		3
3) А	1	0		3		,			i 2,	j 3,	4) А	0 1		1	,			i 3,	j 1;
			1
	1 2											1 1		1
	2	3 1										1		1 1
5) А	0	5 1			,				i 3,	j 3,	6) А		3	2 0	,			i 3,	j 2;
	1	1 1										1 1 2
	0	3		3								1		2 1
7) А	1	4		1			,		i 2,	j 1,	8) А		0	4 2		,		i 3,	j 3;
		1		1									1	0 1
	2
	1	1 1											0	4 3
9) А	1	1		1				,	i 2,	j 3,	10) А		2	1	1		,	i 3,	j 2.
		1		1										2
	1												0		1

14

6. Решение типового варианта

	2	7	1
Для данной матрицы А	3	2	4		,	i 2,	j 3	вычислить
		3	5
	1

определитель:

1)методом параллельного переноса;

2)методом треугольника;

3)разложением по i-ой строке и по j-му столбцу;

4)вычислить, получив нулевые элементы в первом столбце используя элементарные преобразования со строками;

5) вычислить обратную матрицу A 1 и проверить равенство

А А 1 I.

Решение.

1) Согласно правила параллельного переноса, допишем к нашему определителю две первые строки и сделаем действия согласно схеме (2.3)

2	7	1
				2	7	1	2	7
3	2	4		3	2	4 3		2
1 3 5				1	3	5	1	3

2 2 5 7 ( 4) 1 1 3 ( 3) 1 2 1 2 ( 4) ( 3) 7 3 5

148.

2)согласно схеме (2.4) вычислим определитель методом треугольников:

2	7	1		2	7	1		2	7	1
3	2	4		3	2	4		3	2	4
1 3		5		1 3		5		1 3 5

2 2 5 7 ( 4) 1 1 3 ( 3) 1 2 1 2 ( 4) ( 3) 7 3 5

148.

3)разложением по элементам 2-ой строки:

15

2	7	1
3	2	4
1	3	5

а21( 1)2 1M21 а22( 1)2 2 M22 а23( 1)2 3M23

Выпишем миноры и вычислим их:

M21		7	1	38,	M22			2	1		9,	M23		2	7		13.
		3	5					1	5					1	3

Наше разложение по второй строке имеет вид:

	( 3)	7	1	2	2	1	( 4)	2	7
		3	5		1	5		1	3

( 3) 38 2 9 4 ( 13) 148.

Разложением по элементам 3-его столбца:

2	7	1
3	2	4
1	3	5

а13( 1)1 3M13 а23( 1)2 3M23 а33( 1)3 3M33

Аналогично предыдущего пункта записываем миноры, вычисляем их,

получаем:

	1	3	2	( 4)	2	7	5	2	7
		1	3		1	3		3	2

1 ( 11) 4 ( 13) 5 ( 17) 148.

4) Используя элементарные преобразования со строками, получим нулевые элементы в первом столбце. Для этого:

1) умножим третью строку на (-2) и прибавим к первой строке,

	2 1		2 ( 3)		2 5
	2			7	1 ;
	0		13	9

2) умножим третью строку на (-3) и прибавим ко второй строке.

16

					3 1		3 ( 3)								3 5
					3							2			4			;
					0		11					19
Получили определитель эквивалентный исходному
			2		7		1							0	13		9
			3		2		4							0	11		19
			1		3		5							1	3			5
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца
				0	13 9				0 M11 0 M21 1 M31
				0 11 19
				1	3		5
13 ( 19) 11 ( 9) 148
																	5	0			1
5) Вычислить							обратную								А		1	1			5	матрицу и проверить равенство
																		5
																	0				2

А А 1 1.

Решение:

Вычислим определитель матрицы:

5 0 1

det A 1 1

5 5 ( 23) 0 1 5 110.

0 5 2

Т.к. определитель отличен от нуля, то матрица не является вырожденной и для нее определена обратная матрица. Для её нахождения протранспонируем матрицу А и вычислим её алгебраические дополнения по формулам (2.7)

5 1 0 AT 0 1 5 ;

1 5 2

17

A ( 1)2					1									5								2 25 23;					A ( 1)3														0	5	5;
11					5									2																	12										1	2
A ( 1)4										0				1								1;			A ( 1)3				1					0				2;
13										1				5												21			5					2
A ( 1)4												5		0									10;		А ( 1)5								5			1				24;
22												1		2												23							1	5
A ( 1)4								1						0				5;							A ( 1)5						5			0				25;
31								1						5												32					0			5
A ( 1)6									5					1				5.
33									0					1
Тогда обратная матрица согласно формуле (2.8)																															запишется в виде:
														23										5	1
А	1			1
														2										10	24 .
			110											5										25 5
Сделаем проверку и убедимся, что А А 1																											1
5 0				1																			23		5	1
														1
1 1				5																			2		10 24
														110										5	25
0 5				2																						5

Вынесем числовой множитель и перемножим матрицы согласно формуле

(1.4)

			1	115 0 5		25 0 25	5 0 5
				23 2 25		5 10 125	1 24 25
		110
					0 10 10	0 50 50	0 120 10

		110		0	0		1		0	0
	1
			0	110	0		0		1	0	I .
	110
			0	0	110			0	0	1

Обратная матрица вычислена верно.

18

7. Дополнительные задания
1. Решить уравнение АХ В, если	7	1	,	2	1
	А			В
	3	5		1	5

(воспользоваться свойством единичной матрицы).

								2х	4			1
2.			Решить уравнение:					3	0			1	0.
								1	3х			2
3.			Вычислить определитель:								1200		2400	3600
											0,001		0,002	0,003
											27		98	622
			(воспользоваться свойствами определителя).
4.			Вычислить определитель,									приведя		его к треугольному виду:
		3	5	7	1
		2	3	8	2
		5	6	4	4		.
		1	3	1	2

8.Список используемой литературы

1.Любимова О.Н., Дегтярева Н.Е. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Владивосток.: изд-во ДВГТУ, 2008г. - 167с.

2.Клиот-Дашинский М.И. Алгебра матриц и векторов. С-Петербург.: изд-во

«Лань», 2001г. – 160с.

	Оглавление
1.	Матрицы и действия над ними.....................................................................	1
2.	Практикум .....................................................................................................	5
3.	Решение типового задания...........................................................................	7
4.	Определитель матрицы. Обратная матрица ..............................................	10
5.	Практикум ...................................................................................................	14
6.	Решение типового варианта .......................................................................	15
7.	Дополнительные задания............................................................................	19
8.	Список используемой литературы.............................................................	19

19

МАТРИЦЫ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Методические указания Составители: Дегтярева Н.Е., Агеева Е.В.

Корректор: Технический редактор Подписано в печать . Формат Печать офсетная. Усл.печ.л. Уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Заказ

__________________________________________________________________

Издательство ДВГТУ.690650, Владивосток, Пушкинская, 10 Типография издательства ДВГТУ, 690650, Владивосток, Пушкинская, 10

20